我学得少,不能像大佬一样侃侃而谈(什么时候才能成为大佬呢,发呆(#-.-)),不过可以考虑一个操作性的办法。
在曲线上尽可能取多的点,然后对这些点用最小二乘法拟合一个圆,然后计算残差平方和什么的表示误差。取的点越多就越准确。如果这个残差平方和可以取极限的话,说不定就有理论上的方法了?
然而这对于某些病态曲线可能并没有什么用。。。(哭哭
個人想法: 假設封閉曲線連續,而且長度 L 是有界的。那麼對於以下集合:
可以看成一個無窮維度的度量空間 (metric space)。兩條長度一樣的曲線在這個空間的 "距離" 可以定義如下:
令 為兩曲線的參數表示式,可以平移兩個曲線使得重心位置都在原點。如此每條曲線只可能對應到兩個函數 (差別在於曲線參數化的順時鐘/逆時鐘方向)。我們可以設定規則選取其中一個 (例如曲線第一次跟正x軸相交時 )。我們把 推廣成實數上的週期函數,定義
直觀來說,這就是想辦法在參數空間上 "對齊" 兩條曲線的參數式,兩條曲線的圖像越接近,偏差就越小。(當然,也可以進一步考慮曲線高階導函數的差距...等等)。
在這定義下, d 應該是個 metric。取 為圓形,那麼另一個曲線 的 "圓度" 可以用這個 metric 來定義。