21世纪以来（基础）数学在人文科学中有哪些应用？ 第1页

这个本来是应该放在社会科学那边的，暴露了我的无知23333(不过还是放着吧)

21世纪的不知道，不过我有个20世纪的结果。

阿罗不可能性定理。

1951年，肯尼斯·约瑟夫·阿罗（Kenneth J．Arrow）在他的经济学经典著作《社会选择与个人价值》一书中，使用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是不可能的！

更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理(保证选举公平的一组规则)的选举。或者说，指定一组选举规则，那么能不在通行投票方式中产生矛盾的选举规则一定是「独裁的」。还可以概括为：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。

这个问题源于十八世纪法国思想家孔多塞的投票悖论（The Voting Paradox）。假设有甲乙丙三个人，面对ABC三个备选方案，有偏好排序：甲A>B>C，乙B>C>A，丙C>A>B。由于甲乙都认为B好于C，根据少数服从多数原则，社会也应认为B好于C；同样乙丙都认为C好于A，社会也应认为C好于A。所以社会认为B好于A。但是，甲丙都认为A好于B，就会出现矛盾，从而无法产生令人满意的结果。

阿罗对其一般情形(n个投票者与m个备选项)进行了研究，得出了他的不可能性定理。我把一种证明贴在下面，有一定基础的看官可以了解一下。网络上好像流传有三种证明方法，有一篇论文就是说这个的。可以去查一下「阿罗不可能性定理的三种证明」。

这个定理，应该算是社会学(或者政治学？)上的成果吧。这个定理，对究竟「何为民主」提出了深刻的拷问。即使是现在，人类依然在民主是什么这个问题里挣扎，今之香港即是最好的证明。

最后贴一句马克思的话。

一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。