学习数学一定要用抽象的思维去学吗？ 第1页

《别闹了，费曼先生》

题主后面的问题是来自《别闹了，费曼先生》这本书。

上面简单的讲了那个符号是怎么抽象出来的。

　　看了费曼那本书再结合　数学、　抽象思维　与　拓扑这三个关键词，能引发很多思考。

现在略微举几个例子。

小昭换内裤与抽象的思维

小昭换内裤曾经很火，引发了一阵子热潮

戴着脚铐的小昭是如何换内裤的？于是有了教程。

这个例子很形象，一点也不抽象。 但是如何把这个形象的内容转化成一个一般化的拓扑问题，则需要很严密的数学抽象思维去整理。

从抽象到形象生动的故事

拓扑无处不在，只不过不自知而已。比如博弈的基础就是拓扑不变性。

博弈论里有抽象出一堆天书一样的数学符号，这些符号怪里怪气，再加上翻译的问题，使得其难以推广。而诸如囚徒困境这种形象的故事，使得博弈论很容易被接受，并普及开来。

很多难懂的东西都是靠抽象出来的一个生动的故事，使得它广为人知。

比如，分形跟混沌。这两个东西都跟拓扑有关。抽象出来的英国海岸线有多长，蝴蝶效应这两个好故事使得分形与混沌广为人知。

在具体的学习中，比如离散数学里有全序与偏序两个概念，计算机里还有拓扑排序的概念。

以全序和偏序来说，就让人头疼。如果抽象成直观的层级拓扑图就非常好理解。

比如 全序可以理解为一条棍子的就是全序 ，不是一条棍子的就是偏序。

总之，能抽象出一个好故事，也是一个非常重要的内容。

不请自来。我学数学n年了，是吃这碗饭的。虽然我说的不一定对，但是我说的一般都有些根据。

数学中“抽象”是分成几个层级，据一个例子：现实生活的三维空间，一般的 （欧式空间）、 拓扑空间和“拓扑空间与连续映射构成的范畴”，是几个不同的level。学习数学是可以通过“具体”的例子来学的，但是费曼先生讲的具体和数学中的具体有点不一样。 你理解的“具体例子”一定要还原到现实生活，这就有点过头了。我推荐学习的数学的方法是冯 诺伊曼的学习方法：“熟悉”。

年轻人，在数学里，你不能要求（完全）理解一些事，你只能熟悉它们了。

当你要学习一个高水平的“抽象”的时候，拿出自己熟悉的低一级的例子去理解。比如，通过对n=1,2的欧式空间的一些结果去理解一般的欧式空间。通过欧式空间、 l^2空间去理解希尔伯特空间和巴拿赫空间。 当你娴熟的理解一个级别的抽象后再进军下一级别。 但是，记住，不管哪个级别，学习数学的时候，尽量用数学的例子的来理解。特别是，如果你是一个数学专业的人，要切记这一点。因为数学有很多反直觉的结果，这些非平凡的特例很重要。比如，你学习数学分析／高等数学，当然了，你可以通过日常生活的运动轨迹来理解“连续函数”，但是你很难通过这个来知道一个事实：“存在一个连续函数处处不可导的函数”（比如，威尔斯特拉斯函数）。 第一次，知道这个函数，你会诧异，我也会。对于这样的特例，你要记住 、多算几次然后熟悉它。慢慢地，你会有一个直觉：连续性比可导差很多。这个时候，根据你对威尔斯特拉斯有下面的“想象”。它也变成了你能直接理解的“熟悉的事物”了。 你也可以利用它来理解下一个级别的抽象概念。 但是，这个图只是“想象”，你不能较真，也不能靠这个来“证明”存在一个连续函数处处不可导，具体的证明还得回到它的定义：

我承认很多数学有点为了“抽象而抽象”，但是，大部分数学的抽象是为了处理“更一般的问题”，获得“更深刻”的理解而去做的。了解那些“抽象”的起源会对你理解抽象数学帮助很大，这就是为什么Artin的代数关注很多具体的群，阿提亚自己甚至会搜集一些高度不平凡的反例。

归纳一下吧：学习抽象数学自然可以通过例子，我甚至推荐你多熟悉各种例子，但是这些例子必须是“数学的例子”，如果你把它弄成很形象的“生活例子”也无所谓，但是你一定要小心“它是不准确”的。 当你熟悉一个level的抽象后记得去进军下一个level。这样可以事半功倍。