对 拉马努金 一生的评价就两个字——开挂!
在所有数学家中,最适合用 开挂 二字来形容的恐怕就是拉马努金了. 世人给他这个评价对他来说是实至名归的,因为他的研究成果是那么的诡异且影响巨大,下面我将列举一二.
拉马努金
1916 年,拉马努金研究了函数
这是一个 自守形式. 它的 傅里叶 展开为
其中 称为 拉马努金 函数,这是一个 可乘函数. 拉马努金对 进行了大量的计算得到
并提出了下述三个重要的猜想:
(1). 若令 ,则有
其中 为素数.
(2). 对素数 ,我们有
(3). 对素数 ,我们有
对于 猜想 (1),Mordell 在 1917 年给出了证明. 是 的 L-函数,这个猜想给出了一个 2 次 的 欧拉积,而我非常熟悉的 Dirichlet L-函数 的欧拉积
是 1 次 的.
猜想 (2) 则在 60 年后的 1974 年由著名的数学家 Deligne 利用 代数几何 的方法予以解决,并因此获得了 1978 年的 菲尔兹奖. 由
可知,对每个素数 ,存在唯一的 ,使得
而关于这个 的性质,我们又有迄今尚未解决的相当重要的猜想:
Sato-Tate 猜想:对任意 ,有
这个猜想说的是 集中在 附近.
而 猜想 (3) 现在已经推广成了
上述这些猜想的解决都用到了数学中非常重要的 模形式 理论!
分拆函数
记 为正整数 表示成正整数之和的方法数,我们称 为 分拆函数. 比如
从而我们有
1915 年,拉马努金给出了下述 的性质:
并断言 是使这类公式具有最简单形式的素数. 后来,数学家利用 模形式 这一强大的理论找到了关于 的类似的公式:
可以看出这些公式远比拉马努金给出的公式复杂,由此可知他的论断得到了很好的证实!
是一个增长得非常快的函数,比如
由此可知对于很大的 ,要求出 就相当困难了,那么 是否有计算公式呢?1918 年,哈代 和 拉马努金 首次给出了 的渐近公式
这是一个非常漂亮的公式,因为公式中竟然同时出现了数学中最重要的两个常数 和 .
圆周率
拉马努金一生得到过很多关于 的公式.
其中公式
在 1989 年被 Chudnovsky 兄弟 改造为
这是目前计算 最快的公式之一,它每计算一项可提供不少于 14 位的有效数字. 现在 的世界记录是 31415926535897 位有效数字,用此公式大约要算 2243994752564 项.
Lambert 级数
级数 称为 Lambert 级数, 拉马努金得到过很多关于 Lambert 级数的结果.
(1). 设 ,, ,则有
特别地,当 , 为奇数时,有
由此可知
(2). 设 ,, ,则有
当 , 为奇数时,我们有
由此可知
特别地,我们有
而且这还是一个素数!
当 为偶数时,设 , ,则我们有
特别地,当 ,且 不是 的倍数时,我们有
上式精度很高,且 为整数. 比如
特别地,我们有
(3). 设 , ,则我们有
特别地,当 时,我们有
现在,拉马努金的这些公式已经被数学家 Berndt 等人利用 模形式 的理论人整合成了一个异常强大的公式:
定理:对任意非零整数 和 ,我们有
其中 为 上半平面, 为 伯努利数, 为 伯努利多项式, 为 黎曼 Zeta 函数. 且当 时,我们规定
除此之外,关于 Lambert 级数拉马努金还得到了下述结论:
其中常数
为 双纽线周率.
的士数
话说一次拉马努金生病住院了,哈代乘坐一辆编号为 的的士去看他. 哈代是一个数论迷,所以坐车的时候连的士的编号也要拿出来研究一番,除了 之外,他并没有发现这个数有什么特别之处. 到医院后哈代将这件事告诉给了拉马努金,并说 是一个很没意思的数. 但让哈代万万没想到的是拉马努金却说这是一个很有意思的数,因为它是最小的能用两种不同方法表示成两个正整数立方数和的数:
现在我们把最小的能用 种不同方法表示成两个正整数立方数和的数称为 的士数,记作 . 由拉马努金的结论我们知道
在 之后,现在所有的士数均是用电脑搜寻得到的:
对 等更大的 的士数,目前数学家仍在利用计算机努力搜寻中.
椭圆周长公式
我们在小学就知道半径为 的圆的周长公式是 . 到了高中我们学习了 椭圆
但对很多人来说,到高中毕业了,读大学了,甚至大学毕业了,似乎都还没见过椭圆的周长公式. 其实椭圆也有周长公式,只不过它长下面这个样子:
但这个公式怎么带个积分号呢?能不能把积分号去掉呢?回答是:不能!因为公式中的被积函数的原函数是一个超越函数. 但由 Cauchy-Schwarz 不等式 我们不难知道
由此可以得到椭圆周长的两个近似计算公式
但遗憾的是这两个近似计算公式的精度并不高. 这时拉马努金强势登场,他一出手就是大手笔,他给出了下述椭圆周长的近似计算公式:
与前面两个公式不同,拉马努金的这个近似计算公式精度非常高. 如当 时,我们有
从上述计算结果可以看出,前两个公式大概才精确到整数位,而拉马努金的公式已经精确到小数点后 位去了!正所谓没有对比就没有伤害,拉马努金实在是太强悍了!
上述所列仅仅是拉马努金重要研究成果的冰山一角,他的其他重要且有趣的研究成果请各位同学移步数学家 Berndt 等人帮拉马努金整理的巨著——《拉马努金笔记》!
恐怖如斯的洞察力
绝世天才
共产主义政党长期治理的喀拉拉邦在印度处于人类发展指数的前茅,这就是共产主义对印度的影响。
另外,南亚人是非常非常喜欢取经名的。这也是一个地域特色了。
估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段,将当前包含天使的多边形,按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好,每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。
直观看出,取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积,等分效率最高。令此线段长度 ,三角形边长 ,则:
这样,初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形,易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形,于是根据假设,天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环,至于无穷,天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程:
记魔鬼速度 ,则捉住天使的时间:
这个题目如此离散,不借助于数值离散优化不易得到全局最优解,建议大家来改进这个上界吧。
按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形,上界可以改进为:
估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段,将当前包含天使的多边形,按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好,每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。
直观看出,取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积,等分效率最高。令此线段长度 ,三角形边长 ,则:
这样,初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形,易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形,于是根据假设,天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环,至于无穷,天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程:
记魔鬼速度 ,则捉住天使的时间:
这个题目如此离散,不借助于数值离散优化不易得到全局最优解,建议大家来改进这个上界吧。
按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形,上界可以改进为: