关于group的一些例子可以追随到18世纪Euler关于congruence的研究(mod n)。在此之后,Lagrange、Gauss、Cauthy等数学家研究equation(或polynomial)的解的性质的时候也相继出现,这时,这些group以permutation group为主。Cauthy在19世纪前期已经给出了permutation group的定义,也发现了permutation group和equation解之间有一些关系,但是它并没有在一般性的建立这种关系。在这之后,Galois将permutation group和equation的解联系在一起,创立了人们熟知的Galois theory。这也是19世纪,group theory发展中最重要的结果之一。
ring概念的形成大概在19世纪中期(1840左右),差不多是group theory蓬勃发展的年代。最一开始,人们是在研究几何问题的时候发现一些几何结构可以理解为polynomial的解的集合。由此提出了一个非常代数思想来解决几何问题(也是代数几何的由来)。由Dedekind等一系列数学家在此基础上发展代数方法。但是他们当时并没有明确的定义ring的一般axiom,只是在研究polynomial(或者说polynomial ring)。一直到20世纪初(1900-1920),由Fraenkel最早提出了ring的一般定义并由Noether在此之后完善成现在教科书中的版本。