第一,实际上的真正系数只有 。之所以看起来是 ,是因为把它分成了很多个小区间,每个小区间都用 ,你求一下和就会发现是那一长串。
第二,那你还会问,为什么Simpson公式的系数是 ?这是因为,Simpson公式是Newton-Cotes公式在 的特例。Simpson的系数,其实是从计算Newton-Cotes系数中得到的。
(你可以看到第2行都除以了6,这是为了保证求和为1)
而上面表中这些Cotes系数是怎么算出来的?公式如下:
令 就能推出Simpson公式的系数 , ,
那你又会问这个公式是怎么推出来的?这是因为Newton-Cotes公式是插值型公式, 的意思就是用二次多项式取插值(所以Simpson法的本质就是二次多项式代替原来的函数)。代入Lagrange插值公式,然后疯狂计算,就可以得到这个公式了。
多写几个特例:
这些公式的系数自行查前面那张表。