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为什么弱Lp空间不是赋范线性空间? 第1页

  

user avatar   dhchen 网友的相关建议: 
      

这句话不能说对,也不能说错。

事情是这样的,这得分情况讨论。

对于弱空间 ,如果你给予如下的quasi-norm

,

这个空间的确不是赋范空间,因为它不满足三角不等式,举个例子,考虑在 上的函数 , ,我们发现 , 经过计算你会发现如果你要求

这就等价于

,

这个一般是不能成立的。不过,我们可以得到

,

也就是这个写成范数的东西其实是准范数(quasi-norm),不过,这个问题还有一个第二层,那就是当 的时候

,

其中 . 根据这个对偶关系,如果我们定义新范数

,

那么 就是一个Banach空间。在实际应用的时候,一般也会把这种洛伦兹空间看成Banach空间。

对上述内容的具体证明感兴趣的人可以参考下面的文献

Grafakos, Classical Fourier analysis.




  

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