如何求解这个理论力学问题？第1页

chiang-56-69 网友的相关建议:

提供一个新的思路

设质量线密度 ,取微元，则对O点角动量

重力力矩

选取一小段时间，有

经过整理，得到

yongle-li-86 网友的相关建议:

我尝试建立一下模型（之前的答案好像多写了一个外场）：

刚体杆上边某一点（离原点距离为）的拉格朗日量密度（前三项为该点的动能，最后一项为重力势能）：

此处

然后做换元，换成球坐标：

对时间求导数时，对时间求导为零。

再积分：

有拉氏量似乎可以愉快求出转动周期。

由第一个欧拉-拉格朗日方程可见，即角速度恒定。

由第二个欧拉-拉格朗日方程可见，

刚体杆只有两个自由度，其E-L方程只有上边这俩了。

代入条件为一定值，

这里负号的产生，是因为上边引入势能用了正号：

定义其为负号即可。

最终

马尔契夫《理论力学》188页例二是一个类似的例题，但是为一个质点而非刚体杆，可供参考。

Huxley-84-43 网友的相关建议:

估算一个上界。思路是每一轮都寻求一条最短线段，将当前包含天使的多边形，按面积等分成两个新的子多边形。再假设天使的运气足够好，每次都瞬移到等分效率较低的子多边形。

直观看出，取平行于正三角形一条边的线段来等分其面积，等分效率最高。令此线段长度，三角形边长，则：

这样，初始正三角形被分成一个新的小正三角形和一个等腰梯形，易见等腰梯形的等分效率远高于新的小正三角形，于是根据假设，天使将瞬移到新的小正三角形当中。如此循环，至于无穷，天使将被锁定在初始正三角形的一个顶点。计算魔鬼走过的耗时路程：

记魔鬼速度，则捉住天使的时间：

这个题目如此离散，不借助于数值离散优化不易得到全局最优解，建议大家来改进这个上界吧。

按照 @yyx 说的圆弧线等分正三角形以及后续的扇形，上界可以改进为：