能否用严格的数学语言定义「展开图」？ 第1页

感谢大佬邀（钓）请（鱼）.

我们一般所说的展开，是指的是可展曲面，例如柱面、锥面；而球面是没办法展的，即“不可展曲面”. 那么“可展”是怎么回事呢？

结论

高斯大神很完美地解决了这个问题：他发现凡是可展的曲面，它的高斯曲率为零，反之亦然. 更近一步，他定义了所谓第一基本形式

而可展曲面的第一基本形式都可以通过等距变换（不改变第一基本形式）而化为 ，也就是平面上的欧氏度量，当且仅当它的高斯曲率为 . 而对于一般的曲面，充其量只能化为 .

所以找到这个等距变换，我们就可以将这个可展曲面“展开”——映为平面.

微观解释

高斯曲率，就是曲面在一点处的两个主曲率的乘积 .

微观上，高斯曲率为零，就意味着至少有一个主曲率为零，也就是说在此方向上本来就是“直”的，所以将与之正交的另一个方向“掰直”就好了；两个正交的方向都是直的，局部上它就是一块平面. 而且这个掰直的过程不会影响前者的曲率始终为零. 于是乘积永远是零. 也就是说，其中一个主曲率为零，给另一个主曲率的变化带来了极大的自由——这就是可展的原因.

但是对于非可展曲面，即高斯曲率不为零，你想将其中一个主方向掰直，另一个主方向也会跟着变化，一个想变直，另一个就变得更弯，因为要保证两者乘积不变. 最终，你哪个也别想掰直.

越说越觉得奇怪……

（在连续处）保角保距保直线的（几乎处处）连续映射。