如何衡量一个平面内不规则封闭曲线「趋近圆形」的程度？ 第1页

我学得少，不能像大佬一样侃侃而谈(什么时候才能成为大佬呢，发呆（＃－.－）)，不过可以考虑一个操作性的办法。

在曲线上尽可能取多的点，然后对这些点用最小二乘法拟合一个圆，然后计算残差平方和什么的表示误差。取的点越多就越准确。如果这个残差平方和可以取极限的话，说不定就有理论上的方法了？

然而这对于某些病态曲线可能并没有什么用。。。（哭哭

個人想法: 假設封閉曲線連續，而且長度 L 是有界的。那麼對於以下集合:

可以看成一個無窮維度的度量空間 (metric space)。兩條長度一樣的曲線在這個空間的 "距離" 可以定義如下:

令 為兩曲線的參數表示式，可以平移兩個曲線使得重心位置都在原點。如此每條曲線只可能對應到兩個函數 (差別在於曲線參數化的順時鐘/逆時鐘方向)。我們可以設定規則選取其中一個 (例如曲線第一次跟正x軸相交時 )。我們把 推廣成實數上的週期函數，定義

直觀來說，這就是想辦法在參數空間上 "對齊" 兩條曲線的參數式，兩條曲線的圖像越接近，偏差就越小。(當然，也可以進一步考慮曲線高階導函數的差距...等等)。

在這定義下， d 應該是個 metric。取 為圓形，那麼另一個曲線 的 "圓度" 可以用這個 metric 來定義。