曲率处处不为零的闭曲线只能是闭凸曲线吗？ 第1页

这里声明：

如果光滑正则简单闭合曲线 的曲率处处不为0，那么 是凸集。（这可能就是题主所说的 是凸曲线的含义）

证明概述（可能不严格，请自行严格化）：

1. 将 参数化使得速率处处为1，由曲率 是 上的连续函数且恒大于0知道有正的下界，换言之切向量导数的模 有正的下界。
2. 显见 沿法方向，即只有两种可能：要么指向曲线内侧要么指向外侧。但由于 连续，并且由1知 有正的下界，故只可能处处指向内侧或处处指向外侧。
3. 考虑 上离原点最远的点 ，容易证明 是指向内侧的，所以由2知 处处指向内侧。
4. 由3知 至少在局部看起来是凸的（意思是：对 中任何点 ，存在一个邻域 ，使得 是凸的）。为了证明这一点，只需考虑 在边界 上的每个点 都是局部凸的（为什么不用考虑内部？因为内部是开集，自然是局部凸的）。将 平移到原点并且作一个旋转使得 竖直向上，则变换后的 在原点附近是某一函数 的图像，并且 ，这意味着 在原点附近是凸函数，即原点附近 上方（等价地， 附近 内部）是凸集，这就表明 在 处是局部凸的。
5. 查了MSE^[1]，闭集+连通+局部凸就可以推出凸（1928, Tietze & Nakamija)，而前三条正是 所满足的。

参考

1. ^ https://math.stackexchange.com/questions/145808/does-local-convexity-imply-global-convexity