如何看待关于 1 与 0.9999… 的大小的争论？ 第1页

从点集拓扑的观点来看， 和 都有自洽性(consistency)，其中 来自标准拓扑 ，而 来自离散拓扑 ，其中

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有何区别呢？显然有 , 稍进一步就有 ，不仅如此， 比 大得多：

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这里的 是集合的势(cardinality)，等号按集合等势理解。无论在哪一种拓扑结构下， 都是度量空间(存在满足三角不等式的度量)，也都是向量空间(对有限个元素的加法和乘法封闭)，其中用到的度量可以(不唯一)是

目前为止，标准拓扑和离散拓扑还没有本质区别，因为以上的性质(三角不等式和加乘封闭性)还只是针对有限个元素，并未触及 中的(可数)无限循环。而这两个拓扑的重大区别就在于离散拓扑中的柯西序列最终只能是常数(eventually constant)，或者说只包含有限多个实数。复习一下柯西序列 在度量空间 中的定义:

可见当度量是 而不是 的时候，只要取 就总存在正整数 使得 , 因此这个柯西数列最多只有 个不同元素。于是在离散拓扑下，如果按部分和 来定义 , 那么取 就能发现

说明 甚至都不能构成柯西序列，自然不收敛，也得不到 , 也可以记作 . 更一般地，等比数列 也不能求和(除非 ). 除此之外还有很多离散拓扑与标准拓扑不兼容的性质：

当然，离散拓扑还是可以兼容一些代数性质的，例如域性质(加法逆元，乘法逆元，交换律)，也可以兼容度量空间的拓扑性质，但是其他的拓扑性质会非常奇怪，比如开区间 并不连通(而且充满孔洞)。

事实上，不兼容(但自洽)的公理体系之间无法从一个公理体系反驳另一个公理体系(类似欧几里德几何不能反驳非欧几何，非欧几何也不能反驳欧氏几何)。比如你提到闭区间套定理证明 , 其实已经默认了用标准拓扑来论证，而在离散拓扑下，根本没有符合条件的闭区间套，比如与 和 1相关的闭区间有 , 我们来试几个闭区间套

注意第3行闭区间 的长度/直径对所有 总是为1，不符合闭区间套定理条件，其他闭区间套的交集如果也包含 的话直径也是1，不会向0收缩，如果交集仅包含 和1其中一个，那就推不出与另一个相等。也就是说，无论从标准拓扑的哪条公理/定理出发(包括闭区间套定理，戴德金分割)，都不能推出【 与离散拓扑构成矛盾】。

所以，争论 的本质在于实数集上的拓扑到底用标准拓扑还是用离散拓扑。用离散拓扑可以获得 (至少不产生矛盾)，但是失去了研究可数无穷个不同实数构成数列的能力，并且还附带了诸多造成不便的性质(开区间都不连通，函数定义域取实数的离散拓扑则任意函数都连续)，与标准拓扑带来的实数性质相比，可以说用离散拓扑不能使实数集构成好用的拓扑空间，因此弃之不用。从离散拓扑的视角来看，也可以说是标准拓扑舍弃了大量的开集换来诸多好用的性质，使其成为数学分析的基石。

更极端的做法是在标准拓扑的基础上舍弃更多的开集，使得标准拓扑下不相等的数也相等，比如平凡拓扑 把整个实数集看成不可分割的整体，于是不光有 ，还有 ， 甚至还有一切实数皆相等。也就是说两个不同实数能不能划等号还要看用了什么拓扑结构。

只不过由于 的“出现”过于频繁，每次都提及太麻烦，反而成了隐含条件/共识，不再被提及。但其他拓扑没有这个待遇，如果要用必须明确提及。