两个波相消之后，能量去了哪里？ 第1页

题主提了一个非常好的问题，

@中科院物理所 对两列波叠加时能量转移的解释非常清晰，但我猜题主想问的并不是这个；

想象一下，如果有两列相向传播的正弦波，振动彼此相反，当它们叠加在一起时会发生什么？^[1]

直觉告诉我们，在这一瞬间这两列波会完全抵消，那么振动的能量去哪里了呢？

与此对应的是另一个问题，如果这两列正弦波振动方向完全相同，当它们叠加在一起时呢？

似乎此时的振幅变为原来的2倍，而能量则变为原来的2倍（能量正比振幅的平方，每个波能量为E（共2个波），振幅加倍后能量为4E），那么这多余的能量又从何而来？

为了尽可能解释清楚这个问题，我们先看一个例子

考虑一个特殊情况，两个沿同一直线传播但方向相反的简谐波为：

其合振动的表达式为

显然这是一个驻波的表达式，它的振幅被 调制，为了有更直观的理解，请看下图

显然在某些时刻两个简谐波叠加的结果是一条水平线，能量好似凭空消失一般。

当然在某些其他时刻，波的振幅被调制成2倍，能量好像又突然增加了一样。

是能量守恒定律不再成立了吗？

当然不是，

以电磁波为例，在光学教材里通常都将光强认定为正比于电场强度的平方，但在电磁波中还存在一个磁场方向的振动^[2]。

注意电磁场的能量密度为：

对于平面电磁波而言，

回到我们开始的问题，两列相向传播的电磁波，在它们的电场完全抵消的同时，磁场却在另一个方向上加强，这也意味着电场的能量转化成磁场的能量，而总的电磁场能量是不变的。

对于电场叠加后增强的情况类似，只是磁场方向完全相反，磁场的能量转化为了电场的能量。

后记

可能有的人看到这里还是感觉到非常困惑。上述只单单讨论了电磁波，至于其他波呢？^[3]

譬如一根绳子上的机械波，除了动能它还存在势能，

总能量 ，仿照电磁波的讨论你也可以很容易得出总能量是保持不变的。

补充更新

感谢 @杨大耶 和 @yqqschen 提出的好问题，促发了我进一步的思考；

在上述讨论中我们只考虑了两束相向传播的波，但没有考虑同向传播的波。这是因为同向传播的情况更加复杂，这两束波的波源不再独立，彼此间存在相互作用，不能简单地单独讨论它们各自的能量。以绳波（机械波）为例，在已经产生的波的基础上，我还需要将其中一点作为新的波源产生振动，这就势必要考虑原有波的影响，情况就变得更加复杂了。

但是否存在例子讨论两束平面波同向传播呢？

考虑电磁波，若只存在单一光源（避免讨论波源间的作用），通过光路调节是否可能是两束波振动完全相同？

见以下迈克尔逊干涉仪的原理图^[4]，这是典型的分振幅干涉。通过调节反射镜 的位置，可以调节最终到达接收屏的两束光之间的相位差。

但实际实验中，激光源我们都将它理想化为一个点光源，最终分振幅出的两束光到达光屏上各点的相位差并不相同，由此造成了干涉条纹的产生。在光屏上某点处两束光振动完全相同，所以是亮条纹；在另外一些点处振动完全相反，所以是暗条纹。所以干涉实际上是能量在空间中的重新分布，两束光叠加后加强的能量是来自于其他部分叠加后相消的光的能量。

所以针对他们的问题，我给出的解释是：

两束光同向传播，干涉增强时的能量必定来源于其他干涉相消时的能量。针对光屏上每一点，你都可以将它接收到两束光，局域近似为平面波，那么叠加相长的能量就来自于叠加相消的能量。

如果单一地讨论两束波叠加相涨或相消时的能量转移，我目前尚不能给出满意的解释。如果有大佬有更明晰的解释，欢迎讨论或另开一个回答。

最后再次感谢二位的提问，真理越辩越明，在此过程中我也学习到了很多。

参考

1. ^ Ajoy Ghatak, Optics
2. ^ https://commons.wikimedia.org/wiki/File:EM-Wave.gif
3. ^ Kirk T. McDonald, Does Destructive Interference Destroy Energy?
4. ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Michelson_interferometer

在波相消的位置消失的能量，转移到了波干涉相长的位置。

为了比较形象直观，我们用光作为例子。光以波的形式在空间中传播，使得其发生干涉或者衍射现象。它们在某些地方相消，在某些地方相长，但总的能量总是守恒的。我们可以形象地理解为：干涉、衍射等效应把能量从暗条纹处转移到了亮条纹处了。

在大自然中，光存在衍射、干涉等现象。这些现象中就包含了光的“相消”问题。在高中的时候我们便已经学习过能量守恒定律。其表述为：能量守恒定律是自然界普遍的基本定律之一，能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到其它物体，而能量的总量保持不变。这个问题中，若光发生了干涉，使得光在某处出现暗条纹，我们自然而然地认为能量“消失”了。但其实不然，光的能量只是从一个地方转移到了另一个地方。

我们举一个著名的例子：杨氏双缝干涉实验

同一光源（保证初始的相位相同）的光穿过挡板的两个缝隙，成为两束光，分别到达屏幕上。

当两束光到达同一个点时，它们俩走过的路径不一样，在相位上存在一个差别，使得它们在某些地方出现相消，在某些地方出现相长。从而人们在屏幕上观测到明暗相间的条纹。相消的地方出现暗条纹，能量密度低，相长的地方出现亮条纹，能量密度高。如果我们把每一个点的能量求和，那么不发生干涉现象和发生干涉现象的总能量是一样的。我们可以形象地理解为：干涉效应把能量从暗条纹处转移到了亮条纹处。

为方便我们用两束有角度的平面波干涉作为例子。

一个点上的光强正比于复振幅的模平方的，即

空间中的平行光的复振幅分布可表示为

其中 是光源到空间中某点的矢量。再由叠加原理可知，光在空间中某点的复振幅是可以直接相加的

对上面的式子取模平方，可以得到

因此，我们可以得到两束频率相同的平行光干涉后的光强表达式为

其中 为衬比度，相位差 为坐标 的函数

我们能够直观地画出光强在空间上的分布曲线

可以清晰的看出，相消的位置与相长的位置的光强的总和并没有变，他们的和正好与没有干涉效应时是一样的。也就是说能量从相消的地方“流”到了相长的地方，从而使得总能量并没有改变。

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  yong-ren-13 网友的相关建议: 
      

看见有关于机械波的讨论，于是顺手做了一个动画方便大家理解：

机械横波本质上是绳子上的各点在垂直方向的运动，这其中有两部分能量

动能：取决y方向的速度，动能的密度可以写作 。

势能：因为绳子的拉伸储存的能量，沿着绳子的势能密度可以写作 ，这里 可以表征绳子在局部拉伸程度。

当两波叠加相消的时候，位移相消导致势能为零，但是 方向的速度并没有相消，因此能量完全转化为了绳子的动能。

而两个波在相遇的整个过程中，系统整体的总能量是守恒的。如下图显示，在 左右是两个波完全相互抵消，势能归为 ，而动能取到最大值。

如果觉得动图太快看不清楚的话，可以在下面这个视频中拖动进度条看两机械波相遇的细节过程：

机械波相干过程中的能量变化 https://www.zhihu.com/video/1495659045214674944

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再补充两句

波的本质是振动在空间中的传播，而振动是在二维（相）空间上发生的。所谓振动，就是两个变化的量之间相互带动。比如变化的磁场带动变化的电场，而变化的电场又带动变化的磁场。

对于机械波，振动是绳子上质点在由位置和速度组成的相空间 。能量也在这两个分量之间不断转换。

对于电磁波，振动是在电场和磁场组成的相空间 。能量在电场和磁场之间相互转换。

对于概率波，也就是双缝实验，我们要注意到概率波是定义在复空间的，而复空间是二维的，其上的一个点 也可以看做虚轴和实轴所组成的一个二维（相）空间上的点。

仔细思考以下我们具体的观测，会发现，机械波、电磁波的两波相消和概率波的两波相消虽然看着类似，其实指代的不是一回事儿。

对于机械波和电磁波，我们所看到的两波相消其实是两波的一个分量的消除。机械波是两个波的位移 叠加的相消，速度并没有消。而对于电磁波，我们的直接观测量是电场分量，所谓的两波相消是两波的电场部分的消除。因此，对于机械波和电磁波，能量从一个分量（位置、电场）转移到了另一个分量（速度、磁场）。

但是对于概率波（光子），我们观测的量是强度，也就是两个分量之和： 。这个观测量本身就直接是总能量， 。因此，这里就不是能量在相空间分量间的重新分布，而是如 @中科院物理所 ​所解释的，为能量在实空间上的重新分布，

然后可以再说说声波，声波是纵波。这个纵波的具体表现为压强变化传播。降噪耳机的原理，是叠加一个波消去原来的周期性压强变化。总能量不会减少，能量跑到了整体的压强增加上去，也就是大家一般说的降噪耳机的耳压增强。

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