你所在数学领域的 big picture 是什么？ 第1页

2021/3/6: 虽然下文的大致内容是正确的, 但是我现在回头看一下我觉得"为什么这个会是big picture"这上面我解释得十分不好(特别是"逻辑学界普遍的哲学倾向是我们不应该给数学对象的存在做出不合理的限制"这一段话). 我有计划重写一篇文章来详细解释一下.

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毫不夸张地说, 当今公理集合论最重要的问题(没错, 就是最重要的问题, 没有之一)就是Woodin的HOD Dichotomy Theorem所推论的两个可能性究竟哪一种是正确的. 两种可能性中, 前者告诉我们集合论宇宙是在某种意义上well-behaved的; 后者则意味着第三次数学危机将重新浮出水面. 夸张点说, 我们将会再一次遭遇数学中的foundational crisis (用我导师的话说就是"this means that things are not crazy enough as they are; we need more crazy").

HOD Dichotomy Theorem是如下定理:

(HODDT) 如果存在一个extendible cardinal , 那么要么HOD就能正确给出 之上的所有singular cardinal的successor cardinal, 要么所有大于等于 的regular cardinals在HOD里面都是measurable的.

一些解释: 首先是这个定理的表述形式, 与很多人熟知的数学不同, 这个定理中的假设"如果存在一个extendible cardinal"跟分析中的"如果黎曼猜想成立"是有着本质上的不同的. "黎曼假设成立"是一个我们目前尚未知其真假的命题, 这个命题尚待证明. 而"存在一个extendible cardinal"是一个“独立”于ZFC的命题(感谢评论区指出这里的不严谨之处，我纠正一下：ZFC没有办法在严格意义上的独立性证明里证明大基数独立, 原因是显然的哥德尔第二不完备定理, 我这里说的独立想表达的是"集合论工作者普遍认可这个大基数是无矛盾的"), 也就是说这个命题是可以当作新的公理对待. 这样解释下来, 这个命题的表述形式准确来说应该是"如果我们接受'存在一个extendible cardinal'这条公理, 那么...".

逻辑学界普遍的哲学倾向是"我们不应该给数学对象的存在做出不合理的限制". 这句话是什么意思呢? 意思就是对于任意cardinal , 如果 " 存在"是一个独立于ZFC的命题, 那么我们不应该拒绝接受" 存在"作为新的一条公理; 也就是说, 我们的默认立场应该是支持接受" 存在"作为新的一条公理. 不难想象, 在这个思想的指导下我们是普遍接受extendible cardinals的存在性的.

所以我们假设我们接受extendible cardinals存在, 那么这个定理告诉了我们什么呢? HODDT中, HOD(Hereditarily Ordinal Definable)指的是所有hereditarily ordinal definable sets的真类. 这个真类有一个良好的性质, 那就是HOD可以作为ZFC的一个传递模型(transitive model). 那么我们可以问如下问题: HOD有多像集合论宇宙V? HODDT告诉我们的就是, 假设我们接受extendible cardinals的存在, 那么要么HOD会非常非常地像V, 要么HOD会非常非常地不像V. 我们知道ordinals相当于自然数的一个generalization, 是非常重要的操作well-ordering的工具. 从这个意义上来讲, HOD是非常well-behaved的, 所以如果HOD非常地像V, 那么我们就知道我们集合论宇宙, 也即是多数人所接受的数学大厦的基础是比较稳定的. HOD非常不像V的情况, 我会在底下详细阐述.

为了解决HODDT中的dichotomy哪一个可能性为真, 当代集合论发展出了两个research programs. 第一个是inner model theory. inner model theory旨在研究对哥德尔constructible universe L的generalizations. 我们知道哥德尔的L是一个非常well-behaved的结构, 我们有: . 即如果我们认为L就是集合论宇宙V, 那么从ZF出发, 我们就可以证出选择公理和广义连续统假设. 但是为什么我们没有接受V=L这个公理呢? 这里重复一下上面的一段话: 逻辑学界普遍的哲学倾向是"我们不应该给数学对象的存在做出不合理的限制". V=L作为一条公理的弱点就在于L与不少large cardinals的存在不兼容的, 一个经典的例子就是 . 即如果V=L, 那么measurable cardinals不存在. inner model theory的目标就是找出类似L的结构, 但同时也能确保宇宙中的基数没有被排除掉. 这方面目前最前沿的结果就是Woodin的, 证明了"如果我们能找到兼容supercompact cardinals的内模型, 那么我们就能找到兼容所有大基数的内模型". 至于我们能不能找到兼容supercompact的内模型, 目前还是个猜想, 这个猜想的精确形式十分复杂, 在逻辑学界被叫做the Ultimate-L conjecture. 如果我们能证实the Ultimate-L conjecture, 那么我们就知道HODDT中的前者为真, 也就是数学宇宙是偏向于well-behaved的(globally从元数学的角度来说).

第二个研究方向则是choiceless cardinals. 我们上面提到过许多存在性独立于ZFC的大基数, 并且说我们不应该对它们的存在进行无谓的限制. 我们可以考虑这些大基数能向上走到多远才能让我们有动机对它们的存在进行限制. Reinhardt cardinals就是一个鲜活的例子: Reinhardt cardinals与选择公理不兼容, 也就是说, 如果我们接受选择公理, 那么我们就不能接受"Reinhardt cardinals 存在"这条公理, 不然的话我们的公理体系就会产生矛盾. 此时, 我们就有动力对Reinhardt cardinals的存在进行限制(即有理由不接受这条公理, 理由就是consistency). 现在问题来了: Reinhardt cardinals的存在与ZF(没有选择公理)兼容吗? 这个到目前还是一个open question. 如果这个问题的回答是肯定的, 那么上面提到的Ultimate-L conjecture就为假, 并且HODDT中的后者为真.

为什么说第二个结果会让数学大厦的基础陷入混乱呢? 第二个结果在数学上直接的影响就是它给我们提供了很强的拒绝选择公理的理由. 前面我们说过, V=L之所以广泛不被接受为公理, 是因为它对某些基数(例如measurable cardinals)的存在进行了不合理的限制. 那么我们现在跟选择公理有着同样的情况: 如果选择公理成立, 那么某些基数就不存在. 任何拒绝V=L的论证都可以不怎么费力地嫁接到这里来, 使我们有动机拒绝选择公理.

拒绝选择公理有哪些后果呢? 有许多analysts都不想要的后果, 例如:

-存在sequentially continuous的, 但是在 意义上不连续的函数

-实数集可以是countable union of countable sets (即勒贝格测度的一系列理论可能全部不成立)

- 上的discrete topology可以是second countable但不是Lindelof的

-实数集上可以有一个equivalence relation, 使得equivalence classes的数量大于实数的数量

-每一个从Banach Space到 上的linear function都可以是continuous的

-Hahn–Banach theorem不成立

拓展阅读: Woodin在ICM Proceedings里面相关话题的文章: http://logic.harvard.edu/EFI_Woodin_StrongAxiomsOfInfinity.pdf

Peter Koellner对这个现状的描述: http://www.ub.edu/RSTR2018/slides/Koellner.pdf