在自然数范围内,借助“自然数是表示有限集合元素数目的数”这一定义来证明是没问题的。
证明过程:
定义加法:若 ,则
定义乘法:若 ,则 (集合中间的那个乘号表示集合的直积,也称笛卡尔积)
先证明
设 ,则
若 为真命题则 为真命题,即
若 为真命题则 为真命题,即
所以有
由 可知,命题 为真命题,所以 成立,故 ,这说明
设 ,则
所以
于是有 ,所以
这说明
从而得出结论
令其中 ,则
若集合相等,则集合元素个数必相同,所以分配律成立。
自然数之所以是自然数,就是因为它是人们一开始就能感知到的数量,因而我们可以通过非算术的方法定义自然数,我倾向于用集合论方法定义自然数,并且我认为集合论属于逻辑学的一部分。自然数的加法、乘法运算可以通过并集和直积来定义,这样两个数的和与积就通过集合的映射关系得到确定。
而其它的数就没那么幸运了,它们实际上就是通过自然数“创造”出来的数。这个“创造”的依据就是群论。为了扩充数集,人们引入了群、环、域的概念,并且将自然数加乘幺半群扩充成了实数域。而扩充的时候只能使用域的公理化定义进行,这样在实数域中,分配律就成了公理。
乘法逆元,定义了分数单位。
乘法结合律,定义了分数单位的运算,并且引入了约分。
( 的结果可以通过直积定义乘法去找出来)
乘法交换律,定义了一系列分数。
再用乘法结合律,则定义了分数乘法的运算。
分配律,定义了分数加法的运算。
加法逆元,定义了负数。
加法结合律,定义了负数的加减运算。
再用分配律,定义了负数的乘除运算。
自此自然数幺半群就扩充乘有理数域。
让无穷个分数加在一起,则有可能产生无理数。
这样就有了实数域。