乘法分配律是公理吗，是能证明的吗？ 第1页

在自然数范围内，借助“自然数是表示有限集合元素数目的数”这一定义来证明是没问题的。

证明过程：

定义加法：若 ，则

定义乘法：若 ，则 （集合中间的那个乘号表示集合的直积，也称笛卡尔积）

先证明

设 ，则
若 为真命题则 为真命题，即
若 为真命题则 为真命题，即
所以有
由 可知，命题 为真命题，所以 成立，故 ，这说明

设 ，则
所以
于是有 ，所以
这说明

从而得出结论

令其中 ，则



若集合相等，则集合元素个数必相同，所以分配律成立。

自然数之所以是自然数，就是因为它是人们一开始就能感知到的数量，因而我们可以通过非算术的方法定义自然数，我倾向于用集合论方法定义自然数，并且我认为集合论属于逻辑学的一部分。自然数的加法、乘法运算可以通过并集和直积来定义，这样两个数的和与积就通过集合的映射关系得到确定。

而其它的数就没那么幸运了，它们实际上就是通过自然数“创造”出来的数。这个“创造”的依据就是群论。为了扩充数集，人们引入了群、环、域的概念，并且将自然数加乘幺半群扩充成了实数域。而扩充的时候只能使用域的公理化定义进行，这样在实数域中，分配律就成了公理。

乘法逆元，定义了分数单位。

乘法结合律，定义了分数单位的运算，并且引入了约分。

（ 的结果可以通过直积定义乘法去找出来）




乘法交换律，定义了一系列分数。
再用乘法结合律，则定义了分数乘法的运算。
分配律，定义了分数加法的运算。
加法逆元，定义了负数。
加法结合律，定义了负数的加减运算。
再用分配律，定义了负数的乘除运算。
自此自然数幺半群就扩充乘有理数域。
让无穷个分数加在一起，则有可能产生无理数。
这样就有了实数域。