所谓的随机、混沌是否是测量精度不够的而产生的说法？
“随机”和“混沌”这两个概念，在科学领域有着非常精确的定义，它们并非简单地源于“测量精度不够”。虽然测量精度对我们理解和描述一个系统至关重要，但将随机性和混沌完全归结于测量误差，是一种误解。
要详细解释这一点，我们需要分别理解“随机性”和“混沌”，以及它们与测量精度的关系。
一、 随机性 (Randomness)
随机性指的是一个事件或过程的结果不可预测，并且无法通过任何模式或规则来描述。即使我们拥有足够的信息和高精度的测量工具，我们也无法准确预测下一次的结果。
随机性的根源：
随机性并非源于测量精度不足，而是源于其内在的、固有的不确定性。这种不确定性可以来自多个层面：
1. 量子力学的本质不确定性： 这是物理学中最根本的随机性来源。根据量子力学，微观粒子（如电子、光子）的行为在根本上是概率性的。例如：
量子叠加态： 一个粒子可以同时处于多种状态，直到被测量时才“坍缩”到其中一种状态。我们无法在测量前预测它会坍缩到哪种状态，只能知道其概率。
海森堡不确定性原理： 物理学中最著名的例子，我们无法同时精确地知道一个粒子的位置和动量。知道其中一个越精确，另一个就越不确定。
放射性衰变： 一个放射性原子何时会衰变是完全随机的，无法预测。我们只能通过大量原子来描述其半衰期，即一半原子在某个时间段内衰变的概率。
测量精度与量子随机性： 即使我们拥有无限高的测量精度，我们仍然无法突破量子力学固有的概率性。测量可以帮助我们“看到”随机事件的发生（例如，测量电子的位置），但它本身并不能改变事件的内在随机性。如果系统本身就是基于概率规则运行的，那么任何测量都无法消除这种概率性。
2. 统计学上的随机性（伪随机性）： 在宏观世界中，许多我们认为“随机”的现象，实际上是由于系统中隐藏了大量微小的、不可控的变量。这些变量的累积效应使得宏观结果看起来是随机的。
例如： 抛硬币。理论上，如果知道硬币的初始状态（角度、速度、空气阻力、台面摩擦力等所有细节），并且假设所有相互作用都是确定性的，那么就可以预测硬币落地后的朝向。但是，这些初始条件极其难以精确测量和控制，任何微小的误差都会被放大，导致结果无法预测。
测量精度在这里起什么作用？ 如果我们能够极其精确地测量抛硬币的所有初始条件，并且我们的模型能够完美地描述所有相互作用，我们确实可以提高预测的准确性。但是，即使我们能做到这一点，仍然会面临一些问题：
混沌效应（见下文）： 即使是确定性的系统，如果对初始条件敏感，也会表现出随机行为。
数值精度限制： 即使理论上是确定性的，在实际计算中，我们总是受到浮点数精度等计算限制，这本身也会引入不确定性。
系统本身的复杂性： 即使理论模型是确定的，但实际系统可能包含我们尚未发现或建模的微小随机因素。
总结随机性： 随机性有内在的（量子）和由复杂性引出的（统计）两种主要形式。内在随机性是测量精度无法消除的。由复杂性引出的随机性，提高测量精度和完善模型可以增强我们对系统行为的理解和一定程度的预测能力，但当系统极其复杂或存在上述混沌效应时，仍然会表现出随机性。
二、 混沌 (Chaos)
混沌是指一个确定性的、非线性的系统，其对初始条件极其敏感。即使微小的、几乎无法察觉的初始条件差异，也会在随后的演化中被指数级放大，导致长期结果的巨大差异和不可预测性。
混沌的根源：
混沌的根源在于系统的非线性动力学，而不是测量精度不够。确切地说，混沌是对系统确定性的误解。
1. 确定性而非随机性： 混沌系统本身是完全确定性的。这意味着，如果给出一个精确的初始状态，并且知道描述系统演化的精确方程，那么系统的未来状态在理论上是完全可以预测的。例如，牛顿力学描述的行星轨道在很大程度上是确定性的。
2. 对初始条件的敏感性（蝴蝶效应）： 这是混沌的核心特征。
定义： 如果两个初始状态非常接近（但并非完全相同），那么随着时间推移，它们的状态轨迹会迅速发散，最终变得完全不同。
“蝴蝶效应”的比喻： 一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，可能在几周后导致美国德克萨斯州发生一场飓风。这并非说蝴蝶的翅膀直接“制造”了飓风，而是说蝴蝶翅膀扇动产生的微小扰动，在地球大气这种复杂的混沌系统中，被指数级放大，最终影响到全球天气模式，导致一场原本不会发生的飓风。
3. 测量精度与混沌：
混沌产生的原因不是测量精度不够，但测量精度会极大地影响我们“看到”混沌并进行预测的能力。
现实世界的测量： 在现实世界中，我们永远无法精确测量一个系统的初始条件。总会有误差。即使是最先进的仪器，也只能达到一定的精度水平。
误差的放大： 对于一个混沌系统，这些微小的初始测量误差，会被系统的非线性动力学指数级放大。在短时间内，两组非常接近的初始条件会产生非常相似的结果，我们可以进行相对准确的预测。但随着时间的推移，这些误差会迅速膨胀，直到系统在相空间中占据非常大的区域，使得任何基于初始测量值进行的预测都变得不准确。
预测的极限： 即使我们拥有无限高的测量精度（在理论上），并能精确知道系统的方程，我们仍然无法进行无限长远的预测。因为我们总要面对“测量精度和时间预测能力之间的权衡”。如果一个系统是混沌的，那么从某个时间点开始，任何微小的初始不确定性都会导致预测失灵。
“看起来”随机： 正是因为测量误差的指数级放大，混沌系统的长期行为看起来就像是随机的。我们无法通过有限的测量精度来准确预测其未来的具体状态，尽管其背后的规则是完全确定的。
举例说明混沌与测量精度：
天气预报： 天气系统是一个典型的混沌系统。气象学家使用非常复杂的模型和大量的传感器（测量精度很高）来收集大气信息（温度、湿度、气压、风速等）。然而，即使拥有如此多的数据和强大的计算能力，天气预报也只能在几天到一周左右相对准确。超过这个时间范围，即使是微小的初始测量误差或模型中的微小不准确之处，也会被放大，使得长期预报变得非常困难。这就是为什么15天以后的天气预报通常不如3天以后的预报可靠。
双摆系统 (Double Pendulum)： 一个连接到另一个摆的摆，其运动是高度混沌的。如果你稍微改变一下初始摆动角度，两次摆动的轨迹会截然不同。即使你能精确测量初始角度到纳米级别，一段时间后，两次摆动的路径也会完全不同。
总结混沌： 混沌的本质是对确定性系统内在的非线性动力学敏感性的描述，而不是因为测量不够精确。但是，我们有限的测量精度，在混沌系统中会因为误差的指数级放大，导致长期行为的不可预测性，从而使其“看起来”像随机行为。测量精度影响的是我们能够预测多远，而不是系统本身是否为混沌。
结论
总而言之，所谓的“随机”和“混沌”并非简单地是“测量精度不够”的产物，尽管测量精度对我们理解和预测它们至关重要。
随机性： 其根源在于内在的不确定性（如量子力学）或极端复杂性。即使拥有无限高的测量精度，也无法消除其本质的概率性。
混沌： 其根源在于确定性系统对初始条件的敏感性。测量精度不足会放大这种敏感性，导致长期行为的不可预测，使其表现得像随机。但混沌系统本身的规则是确定的。
因此，区分这两者非常重要：
如果一个系统是真随机的（如量子事件），那么无论测量精度多高，其结果仍然是不可预测的，只能用概率描述。
如果一个系统是混沌的，那么它本质上是确定性的，只是对初始条件非常敏感。我们能预测多久，取决于我们的测量精度以及系统本身的混沌程度。提高测量精度可以延长我们有效预测的时间，但无法消除混沌系统内在的长期不可预测性。
要详细解释这一点，我们需要分别理解“随机性”和“混沌”，以及它们与测量精度的关系。
一、 随机性 (Randomness)
随机性指的是一个事件或过程的结果不可预测，并且无法通过任何模式或规则来描述。即使我们拥有足够的信息和高精度的测量工具，我们也无法准确预测下一次的结果。
随机性的根源：
随机性并非源于测量精度不足，而是源于其内在的、固有的不确定性。这种不确定性可以来自多个层面：
1. 量子力学的本质不确定性： 这是物理学中最根本的随机性来源。根据量子力学，微观粒子（如电子、光子）的行为在根本上是概率性的。例如：
量子叠加态： 一个粒子可以同时处于多种状态，直到被测量时才“坍缩”到其中一种状态。我们无法在测量前预测它会坍缩到哪种状态，只能知道其概率。
海森堡不确定性原理： 物理学中最著名的例子，我们无法同时精确地知道一个粒子的位置和动量。知道其中一个越精确，另一个就越不确定。
放射性衰变： 一个放射性原子何时会衰变是完全随机的，无法预测。我们只能通过大量原子来描述其半衰期，即一半原子在某个时间段内衰变的概率。
测量精度与量子随机性： 即使我们拥有无限高的测量精度，我们仍然无法突破量子力学固有的概率性。测量可以帮助我们“看到”随机事件的发生（例如，测量电子的位置），但它本身并不能改变事件的内在随机性。如果系统本身就是基于概率规则运行的，那么任何测量都无法消除这种概率性。
2. 统计学上的随机性（伪随机性）： 在宏观世界中，许多我们认为“随机”的现象，实际上是由于系统中隐藏了大量微小的、不可控的变量。这些变量的累积效应使得宏观结果看起来是随机的。
例如： 抛硬币。理论上，如果知道硬币的初始状态（角度、速度、空气阻力、台面摩擦力等所有细节），并且假设所有相互作用都是确定性的，那么就可以预测硬币落地后的朝向。但是，这些初始条件极其难以精确测量和控制，任何微小的误差都会被放大，导致结果无法预测。
测量精度在这里起什么作用？ 如果我们能够极其精确地测量抛硬币的所有初始条件，并且我们的模型能够完美地描述所有相互作用，我们确实可以提高预测的准确性。但是，即使我们能做到这一点，仍然会面临一些问题：
混沌效应（见下文）： 即使是确定性的系统，如果对初始条件敏感，也会表现出随机行为。
数值精度限制： 即使理论上是确定性的，在实际计算中，我们总是受到浮点数精度等计算限制，这本身也会引入不确定性。
系统本身的复杂性： 即使理论模型是确定的，但实际系统可能包含我们尚未发现或建模的微小随机因素。
总结随机性： 随机性有内在的（量子）和由复杂性引出的（统计）两种主要形式。内在随机性是测量精度无法消除的。由复杂性引出的随机性，提高测量精度和完善模型可以增强我们对系统行为的理解和一定程度的预测能力，但当系统极其复杂或存在上述混沌效应时，仍然会表现出随机性。
二、 混沌 (Chaos)
混沌是指一个确定性的、非线性的系统，其对初始条件极其敏感。即使微小的、几乎无法察觉的初始条件差异，也会在随后的演化中被指数级放大，导致长期结果的巨大差异和不可预测性。
混沌的根源：
混沌的根源在于系统的非线性动力学，而不是测量精度不够。确切地说，混沌是对系统确定性的误解。
1. 确定性而非随机性： 混沌系统本身是完全确定性的。这意味着，如果给出一个精确的初始状态，并且知道描述系统演化的精确方程，那么系统的未来状态在理论上是完全可以预测的。例如，牛顿力学描述的行星轨道在很大程度上是确定性的。
2. 对初始条件的敏感性（蝴蝶效应）： 这是混沌的核心特征。
定义： 如果两个初始状态非常接近（但并非完全相同），那么随着时间推移，它们的状态轨迹会迅速发散，最终变得完全不同。
“蝴蝶效应”的比喻： 一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，可能在几周后导致美国德克萨斯州发生一场飓风。这并非说蝴蝶的翅膀直接“制造”了飓风，而是说蝴蝶翅膀扇动产生的微小扰动，在地球大气这种复杂的混沌系统中，被指数级放大，最终影响到全球天气模式，导致一场原本不会发生的飓风。
3. 测量精度与混沌：
混沌产生的原因不是测量精度不够，但测量精度会极大地影响我们“看到”混沌并进行预测的能力。
现实世界的测量： 在现实世界中，我们永远无法精确测量一个系统的初始条件。总会有误差。即使是最先进的仪器，也只能达到一定的精度水平。
误差的放大： 对于一个混沌系统，这些微小的初始测量误差，会被系统的非线性动力学指数级放大。在短时间内，两组非常接近的初始条件会产生非常相似的结果，我们可以进行相对准确的预测。但随着时间的推移，这些误差会迅速膨胀，直到系统在相空间中占据非常大的区域，使得任何基于初始测量值进行的预测都变得不准确。
预测的极限： 即使我们拥有无限高的测量精度（在理论上），并能精确知道系统的方程，我们仍然无法进行无限长远的预测。因为我们总要面对“测量精度和时间预测能力之间的权衡”。如果一个系统是混沌的，那么从某个时间点开始，任何微小的初始不确定性都会导致预测失灵。
“看起来”随机： 正是因为测量误差的指数级放大，混沌系统的长期行为看起来就像是随机的。我们无法通过有限的测量精度来准确预测其未来的具体状态，尽管其背后的规则是完全确定的。
举例说明混沌与测量精度：
天气预报： 天气系统是一个典型的混沌系统。气象学家使用非常复杂的模型和大量的传感器（测量精度很高）来收集大气信息（温度、湿度、气压、风速等）。然而，即使拥有如此多的数据和强大的计算能力，天气预报也只能在几天到一周左右相对准确。超过这个时间范围，即使是微小的初始测量误差或模型中的微小不准确之处，也会被放大，使得长期预报变得非常困难。这就是为什么15天以后的天气预报通常不如3天以后的预报可靠。
双摆系统 (Double Pendulum)： 一个连接到另一个摆的摆，其运动是高度混沌的。如果你稍微改变一下初始摆动角度，两次摆动的轨迹会截然不同。即使你能精确测量初始角度到纳米级别，一段时间后，两次摆动的路径也会完全不同。
总结混沌： 混沌的本质是对确定性系统内在的非线性动力学敏感性的描述，而不是因为测量不够精确。但是，我们有限的测量精度，在混沌系统中会因为误差的指数级放大，导致长期行为的不可预测性，从而使其“看起来”像随机行为。测量精度影响的是我们能够预测多远，而不是系统本身是否为混沌。
结论
总而言之，所谓的“随机”和“混沌”并非简单地是“测量精度不够”的产物，尽管测量精度对我们理解和预测它们至关重要。
随机性： 其根源在于内在的不确定性（如量子力学）或极端复杂性。即使拥有无限高的测量精度，也无法消除其本质的概率性。
混沌： 其根源在于确定性系统对初始条件的敏感性。测量精度不足会放大这种敏感性，导致长期行为的不可预测，使其表现得像随机。但混沌系统本身的规则是确定的。
因此，区分这两者非常重要：
如果一个系统是真随机的（如量子事件），那么无论测量精度多高，其结果仍然是不可预测的，只能用概率描述。
如果一个系统是混沌的，那么它本质上是确定性的，只是对初始条件非常敏感。我们能预测多久，取决于我们的测量精度以及系统本身的混沌程度。提高测量精度可以延长我们有效预测的时间，但无法消除混沌系统内在的长期不可预测性。
网友意见
扔硬币这个如果你要说它是混沌的，那么产生你得先证明它是一个混沌系统。
它下降过程中的每个函数及所有条件你都需要计算清楚。
唯一的问题是，如果它是一个混沌系统，你即使得到所有的初始也值也没有用，因为在硬币处于混沌系统中，你找不到最初的初值在哪里。
比如你放置硬币，上面分布的细菌数量都有可能影响到你硬币的正反，问题来了，你如何控制这类细微的变量？
而这些细微变量，又是由环境而来，又处于一个更大的混沌系统中的话，那么就更糟糕了。
换而言之，对于扔硬币这种事，在现实中你不可能是混沌系统演算前的入口处，而只能在一个已经演算的混沌系统的中间状态，这就好比在一个算了几千步的元胞自动机里，突然的一步停下，然后在不知道初始条件的情况下，问你下一步会算得什么结果。
此时你有再精确的测量也没有用，因为下一步的结果直接与初值有关，这个初值要追溯，那得追溯到宇宙大爆炸开始了，所以基本上是不可算的。
当然它很有可能不是混沌的，并且也不处在更大的混沌系统中，这样的话，如果知道大部分初值，硬币的正反是可以预测的。
而且这事并不太强，只需要找个物理引擎，模拟一下一模一样的高度，相同空气流动及材质的摩擦值，精确的初始用力的数值及作用到硬币的部位，弹性与与现实一模一样的地面，还有地面的平整程度，地心引力等等，如果参数如果全部对了，那么计算硬币便是应该是可行的。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
之前的答案：
对于混沌系统，中间的测量没什么用，再精确也没用，因为根本就不是精不精确的问题。
为什么？因为混沌系统是不仅仅是初值相关性极强，初值一点点变化后面的演算结果都会产生巨大差异。除了这个特性外，它还有个更讨厌的特性，就是它的中间运算的周期会与其它不同函数的周期重合交织。
换个容易懂的说法，一堆土匪把你打晕了，把你拉到一个迷宫中，这个迷宫里有大量的十字路口，每个路口上都写着周期公式。
然后拖把你过几十个十字路口，在一个十字路口停下，再你把你抽醒，告诉你得找到最初进来的路口，那里列着一个公式，你找到了就能走出去，不然就出不去。
好了，现在你告诉大家，你去测量什么能帮助你找到最初的路口？
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