如何理解投影缀加平面波？

在理解“投影缀加平面波”这个概念之前，我们得先把它拆解开来，一步一步地嚼碎了。这就像我们要理解一个复杂的菜谱，不能一口吃成个胖子，得先认得菜名，再看配料，最后才是烹饪步骤。

首先，我们得认识一下“平面波”。

想象一下，你站在一个无比巨大的平静湖面中央，然后你向四周丢了一把石子。这些石子会在湖面上激起一圈一圈的涟漪。这些涟漪，就是我们说的“波”。

现在，我们把这个场景换成三维空间，而且想象一下，这波不是从一个点发散出去，而是像一面巨大的、无限延伸的墙一样，以同样的速度、同样的方向，整齐划一地向前推进。这面“墙”的“波峰”和“波谷”都是平的，而且每一处都保持着相同的状态。这就是“平面波”。

用更专业的说法，平面波是一种波，它的波前（也就是波峰所在的那个面）是无限延伸的平面。在任何一个时刻，波的振幅（也就是波的高低）在与传播方向垂直的平面上都是恒定的。它传播的方向是单一的，可以想象成一支精准的激光束。

接着，我们来理解“缀加”。

“缀加”这个词，最直观的意思就是“叠加”、“加在一起”。在物理学里，当两个或多个波同时存在于同一个空间时，它们的作用会简单地相加，这就是波的“叠加原理”。

你可以想象一下，你往平静的湖面上丢了两把石子，激起了两组涟漪。这两组涟漪在相遇的时候，它们的高度会直接相加。比如，一个地方是第一组涟漪的波峰，另一个地方是第二组涟漪的波谷，那么它们相遇时，高度可能会抵消一部分，甚至完全抵消。如果是两个波峰相遇，那么这个位置的波浪就会更高。

所以，“缀加”在这里指的就是多个平面波在同一个空间中，它们的振幅、相位等属性按照物理规律叠加在一起。

最后，也是最核心的部分：“投影”。

“投影”这个词，大家应该都不陌生。比如，你站在太阳底下，你的影子就是你身体在地面上的投影。我们把三维的物体“压扁”到二维的平面上，这就是一种投影。

在“投影缀加平面波”这个语境下，“投影”指的是一种将一个具有一定空间分布的场（比如一个物理量）映射到某个特定方向或某个特定平面上的操作。

为了更好地理解这个“投影”，我们可以想象一下。假设你手里拿着一根长长的、有弹性的绳子，你把它固定在一个点，然后用力甩动，让它形成一个波。这个波在空间中是三维的，它会上下波动，也会前后传播。

现在，我们想知道这个绳子在某个特定方向上，比如垂直于传播方向的某个方向上，它的“波动程度”是怎么样的。这时候，“投影”就派上了用场。我们可以想象，我们用一个“尺子”，垂直于我们关心的那个方向，去“量”绳子的摆动幅度。这个“量”出来的结果，就是绳子在那个方向上的“投影”。

更普遍地说，当我们在研究一个波的传播或者相互作用时，我们可能并不关心它在所有方向上的细节，而是对它在特定方向上的分量更感兴趣。例如，在光学中，我们可能会关心光的电场在某个特定方向上的振动。

那么，把这三者结合起来，“投影缀加平面波”到底是什么意思呢？

我们可以这样理解：

我们有很多个基础的平面波。每个基础平面波都只有一个确定的传播方向和固定的振幅、相位。

“缀加”意味着我们将这许多个基础的平面波按照物理规则加在一起，得到一个更加复杂的、可能不再是简单的平面波的波场。这个叠加后的波场，在整体上可能不再具有简单的平面波那种“处处相同”的特性，它可能在空间中形成了复杂的干涉图样，或者在不同方向上表现出不同的特性。

而“投影”则是在这个叠加后的复杂波场上，我们选择性地关注它在某个特定方向上的“成分”。就好比你有很多根不同颜色的彩色绳子，你把它们全部甩起来，形成一个五颜六色、相互缠绕的波浪。如果你只想知道在这个整体波浪中，“蓝色”的绳子在某个方向上的摆动情况，你就是把这个整体波浪“投影”到了“蓝色”这条绳子所在的那个方向上，或者说，你是在分析这个整体波浪中，“蓝色”这个成分对整体的影响。

举个更贴切的例子，在信号处理或者物理学中：

想象一下，我们有几个不同方向传播的声波，它们叠加在一起，形成了一个复杂的声音。如果我们想知道这个复杂声音中，有多少是来自某个特定方向的声音，我们就需要对这个叠加后的声音进行“方向性分析”，这个分析的过程，或者说我们最后得到的“某个方向上的声音强度”就是“投影”的概念。

在更具体的物理场景中，例如分析电磁波：

一个复杂的电磁场（比如从一个不规则天线发出的信号）可以被看作是无数个不同方向、不同频率、不同振幅、不同相位的平面波的叠加。如果我们想知道这个复杂电磁场在某个特定方向上（比如正前方）的电场强度是多少，我们就会对这个复杂的电磁场进行傅里叶变换（一种数学工具，可以把一个信号分解成不同频率的成分），然后提取出那个特定方向上的平面波分量，这就像是对这个复杂场进行“投影”到某个方向上。

所以，“投影缀加平面波”可以理解为：

1. 基础是平面波： 我们有许多具有单一传播方向的简单平面波。
2. 它们是叠加的： 这些平面波按照物理规则（如振幅相加、相位累积）组合在一起，形成一个整体的、可能很复杂的波场。
3. 我们关注其某一侧面： 在这个叠加后的整体波场中，我们通过“投影”的方式，去分析或分离出它在特定方向上的特性或者某个方向上的贡献。

这个概念在很多领域都有应用，比如：

光学： 分析光的干涉和衍射，特别是当光源不是一个点而是有一定扩展时，可以看作是多个平面波的叠加。
声学： 分析声音的传播和指向性，特别是多声道音频的处理。
通信： 分析无线信号的传播模型，了解信号在不同方向上的强度。
量子力学： 描述粒子的波函数，可以看作是不同动量（对应不同传播方向）的平面波的叠加。

简单来说，它是一种描述和分析由多个平面波叠加而成的复杂波场，并提取其中特定方向信息的数学或物理方法。 就像你收集了很多不同方向投来的光线，然后把它们汇聚到一个点上，但你还想知道，有多少光线是从“正前方”汇聚来的。

希望这个详细的拆解和比喻，能让你更直观地理解“投影缀加平面波”这个概念。它不是一个单独的物理实体，更多的是一种分析工具和描述方式，用来理解和处理由许多简单波组成的复杂波现象。

网友意见

既然是谈理解，那就少来点公式吧。

投影缀加波(PAW)这个技术，本质上还是一个赝势。所以我还是捋一下赝势的发展史。

最早期的计算大家是全电子方法硬算的，即后来的FLAPW(Full-potential Linearized Augmented Plane Wave)方法。

后来大家不愿意做愣头青了：既然芯电子势没什么用处，就把它们和核一起打包做个准离子，内部换成一个假的势就好了。这是赝势的基本定义，我想大部分人都从教科书里学过了，不多赘述。

下面是技术部分，也就是赝势该怎么取^[1]。

早期大家还是守序善良的，制作了模守恒赝势。虽然内部的势是假的，但整体看起来像是真的：赝波函数满足正交归一的；求导和二阶导也和常规的波函数一样。

然而，模守恒虽然守序善良，但是也太迂腐。正交归一这一要求会在赝势中产生很多褶皱，搞得截断能居高不下(~1000 eV)，计算量太大。

后来DFT界金刚狼David Vanderbilt看不下去了，取消了这个限制，搞出了超软赝势^[2]。取消了正交归一的限制后，超软赝势内部不再有褶皱，截断能大幅下降(~300 eV)。但超软赝势因为赝波函数内部部分太“假”，精度就变差了一些，尤其是涉及到高能散射（磁性）方面。

后来Blöchl在这个基础上加了些花草^[3]：赝波函数还是按金刚狼的办法来，但是为了修正高能散射，在内部再缀加一个额外的较为真实的原子势，称为投影缀加波。这样计算量虽然略有增加（~500 eV），但精度提升不少。

---

在很长一段时间内，投影缀加波都被认为是精度和速度最完美的解决方案 --- 只是对于用户来说。

而对于开发人员来说，投影缀加波简直就是魔鬼。

无论对波函数做任何操作，都要考虑到内部的那个赘婿，啊不，缀加波：

做内积时，它不能正交归一；求导时，它产生多个附加项；求二阶导时，它给你来个无穷大.....

故而后人有打油诗《仿黄瓜台辞》叹曰：

布氏做赝势，势准人汲汲。

一导使势好，再导使人稀。

三导犹自可，四导报错归。

参考

1. ^ 这里只简要回顾几个重要的节点，不一定十分严格。
2. ^Soft self-consistent pseudopotentials in a generalized eigenvalue formalism https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.41.7892
3. ^Projector augmented-wave method https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.50.17953

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