数学上积分结果的本质是什么？
举个例子，我们来看看它的本质到底是怎么回事。
想象一下，你有一张不规则形状的纸片，你想知道它有多大的面积。我们知道，计算规则图形（比如矩形、三角形）的面积很简单。但对于这张不规则的纸片，直接计算就困难了。我们该怎么办呢？
一个直观的想法是：把它“切”碎！ 我们把这张纸片切成非常非常细的长条，就像把一个蛋糕切成很多片一样。假设我们把纸片沿着一个方向切了 $n$ 份，每一份的宽度都非常非常小，我们姑且称之为 $Delta x$。
每一份的“高度”是什么呢？ 因为纸片是不规则的，在不同的位置，它的“高度”（也就是宽度方向上的长度）是不同的。我们可以用一个函数 $f(x)$ 来描述在 $x$ 位置处纸片的高度。
每一份的“小面积”是多少呢？ 我们可以近似地认为，这一小条的面积就是它的“高度”乘以它的“宽度”，也就是 $f(x) cdot Delta x$。这就像我们把那一小条近似看成一个非常细长的矩形。
总面积是什么呢？ 如果我们把所有这些“小面积”都加起来，理论上就能得到整张纸片的总面积了：
$$ sum_{i=1}^{n} f(x_i) cdot Delta x $$
这里的 $x_i$ 代表了每一小条的某个位置。
但是，你会发现，我们这样切出来的每一小条，都是近似的，都存在一点点误差。整个纸片的面积只是我们对实际面积的一个“估算值”。
这时候，积分的魔力就显现出来了。
如果我们想得到精确的面积，我们就需要让这些小条变得无限细，也就是让它们的宽度 $Delta x$ 趋近于零。同时，为了补偿因为宽度变小而导致的小面积也变小，我们就要无限地增加切分的份数 $n$，让 $n$ 趋向于无穷大。
当 $Delta x o 0$ 的时候，我们前面那个求和式就变成了一个定积分，记作：
$$ int_{a}^{b} f(x) , dx $$
这里的 $a$ 和 $b$ 代表了我们观察纸片的范围（比如从最左边到最右边）。
所以，积分结果的本质，就是：
1. 无限细分（或分割）：将一个整体（面积、体积、长度、甚至一个变化的量）拆分成无数个极其微小的部分。
2. 近似求和：对这些微小的部分，用一个简化的模型（比如小矩形、小长方体）来计算其对应的微小量。
3. 极限求精：将所有这些微小量的近似值加起来，并且让细分的程度趋于无限，从而消除近似带来的误差，得到一个精确的总量。
积分不只是求面积，它的本质是普遍适用的。
求体积： 将一个不规则的三维物体切成无数个薄片（例如圆盘或细长条），计算每个薄片的体积（薄片面积乘以无穷小的厚度），然后积分求和。
求路程： 如果知道汽车的速度随时间变化（这是一个函数），那么在任意一个极小的时间段 $Delta t$ 内，行驶的路程可以近似看作速度 $v(t)$ 乘以 $Delta t$。将所有这些微小路程在整个时间段内积分，就能得到总路程。
求解微分方程： 很多物理现象和工程问题都可以用微分方程来描述，它们描述的是变化的“率”。积分就是从“率”回到“总量”的过程。例如，知道加速度（速度的变化率），积分一次得到速度；再积分一次得到位移（路程）。
为什么说积分是“累积”？
因为这个过程就像我们一点一点地往一个桶里倒水，每倒一小会儿，水就累积了一点。积分就是把这些在不同时间点（或者不同位置点）累积起来的微小变化，最终汇聚成一个总体的结果。
为什么是“求和”？
前面我们看到了，积分的核心计算方式就是一个“加法”，只不过这个加法是在无穷多个无穷小的量上进行的。我们是在把所有这些“无穷小”的部分加起来。
理解积分的本质，关键在于把握“无限细分”和“极限求和”这两个核心概念。 它是一种将连续变化的事物进行精确度量的数学工具，是连接离散与连续、局部与整体的重要桥梁。它不仅仅是计算，更是对事物发展变化规律的一种深刻洞察。
所以，下次你看到积分符号 $int$，不妨把它想象成一个无形的、极其精密的“求和器”或者“累积器”，它正在将那些被切成无数份的微小部分，一丝不苟地拼凑还原，最终还事物本来的面貌。
网友意见
谢邀。
- 第一天
题主在课堂上学习了定积分。老师告诉他，定积分的几何意义是曲边梯形的面积。
题主很失望：定积分就只能算个面积？而且还只是这种特殊的形状。他把这个疑问告诉了他的好朋友数学君，数学君笑着说：「明天旅行的时候跟你讲吧！」。带着这个问题和对旅行的憧憬，题主进入了梦乡。
- 第二天
题主兴高采烈地和几个哥们坐上了大巴车，几个小时之后，他们到了目的地。这时数学君问题主：「你知道我们的汽车行驶了多远吗？」
「知道啊，我记得西安到青海是XX公里……」「不对！那是直线距离。我问你怎么计算汽车行驶的路程。」「……不知道。」
「哈哈，当然是定积分了。」数学君得意地说，「不妨设我们是A时刻出发，B时刻到达，A到B之间汽车每一时刻的速度记为一个函数,这个函数在A到B上的定积分就是路程啊!」
「原来定积分还可以算路程！」题主惊讶地说。
下了车，题主拉着旅行箱跟着大部队往宾馆走去，这时数学君又说话了：
「你知道你拉箱子做多少功吗？」
「看我晚饭吃多少呗。晚饭吃得多，说明我做的功多。」题主疲惫地说。
「你这孩子！」数学君气乐了。「你在每个位置拉箱子都有一个力,这个力和底面还有一个夹角。我们假设车站到宾馆近似为直线，车站的位置为a，宾馆的位置为b，那么你做的功就是在a到b上的定积分。」
「哦哦。」题主附和了两声，就沉沉的睡去了，因为他确实做了不少功。
- 第三天
大部队早早地出发，去参观青海湖。这时有一个年龄比较小的孩子问了一句：「哥哥姐姐们，你们知道青海湖有多大啊？」
「4500多平方千米。」一个学地质的学生脱口而出。
「好厉害！」小孩和几个女生都发出了惊呼，这时一个戴眼镜的男生又发问了：「那是你知道。我问你，随便在地上画一个湖的图形，你会算它的面积吗？」
「我会算，定积分！」题主抢着说道。
「定积分算的是曲边梯形的面积，我这样的图形你怎么算？」男生很快随手画了一个不是曲边梯形的图形。
「这个这个这个这个这个……」题主结巴了。好在这时，数学君走出来替题主解围了。
「这个当然可以用定积分做，只是不是一般直角坐标系的定积分，而是极坐标系的定积分。」数学君耐心地解释道，「我们建立一个极坐标系，极点就是这个红色的点，极轴就是极点向右的这条射线。这样这个图形与原点连线和极轴的夹角范围就是,而每个角度对应的图形上的点到极点的距离就是……」
「我知道了！」题主做出一副恍然大悟的样子，「开始的角度是0，结束的角度是,所以这个面积就是在这个区间上的定积分，对不对？」
「对你大爷。」一个瘦高的男生走了出来，「这是利用极坐标计算面积，要对在整个角度范围内积分才行。」
「soga」题主为自己又长了姿势而高兴。
- 第四天
旅行结束了，五一假期也结束了。回来的路上，题主问数学君：「定积分确实不止可以算面积，它好像还可以干很多事。可是它到底能解决什么问题呢？」
数学君想了一下说：「你记着定积分的定义是什么吗？」「曲边梯形的面积……啊不是。老师好像说了个四部曲：分割、取点、求和和取极限。」
「对，定积分就是无限细分和无限求和。把区间等分为n份，认为每一个小区间都是不变的，这样每一个区间内的面积就可以看成一个矩形了。用矩形的面积和来近似曲边梯形，再让最大区间长度的极限为0，就可以准确地计算面积了。」
「说来说去还是算面积啊？」题主扣着鼻子问。
「这是从函数图像上说的面积，但事实未必是面积。比如说你画一个速度和时间的图像，那么所谓的面积就是路程；你画一个力和位置的图像，如果力和运动方向一致的话，面积就是做的功；你画一个线密度和位置的图像，面积就是质量……」
「好厉害啊！可是如何知道定积分表达的意义呢？」赞叹之余，题主又抛出了一个问题。
「刚才说的又忘了。」数学君无奈地说，「定积分其实就是无限细分和无限求和，它求的还是一个乘积。比如说初中时候学的，匀速直线运动的路程等于时间乘速度，那么速度与时间的函数对时间做积分，本质上是把时间分成非常多的区间，认为每一段上都是匀速直线运动，然后套公式，最后把每一段的路程加起来。其他你能想到的乘积有关的公式，定积分都有类似的意义。」
「我懂了！」题主的思路也打开了，「比如说我喜欢小芳。我每时每刻对她的好如果用一个函数表示，那么我喜欢她以来对她的好的总和就是这个函数在这段时间上的定积分，对吧？」
「对。」虽然对这个例子有些无语，但是数学君还是点了点头。
「还有我被胖虎打，他对我的伤害和时间的关系用一个函数表示，那么他对我的伤害就是这个函数在打我的时候的定积分……」
「停停停！」数学君怕他举出更奇葩的例子，赶紧转移话题：「你好像知道二重积分可以算体积，那我问你三重积分算啥？」「算质量啊！」「哦？那为啥二重积分不能算质量？」
「也可以算，」题主说，「如果你把函数值看成高度，就是面积；看成面密度，就是质量。」
「挺聪明啊，你都回答俩问题了！」数学君赞道，「可是三重积分就只能看成密度，不能看成高度吗？」「别逗了，空间满共三维，到哪还有个高度？」
「2333333」数学君笑惨了，「三维是我们生存的空间，对于数学来说，几维空间都是可以的，三重积分完全可以得到一个『四维体』的体积。」
「原来如此。」题主瞪大了眼睛。「看来积分很厉害啊，数学也很奇妙。」
「是啊，」数学君开始总结了，「数学是抽象的，不受我们所在空间的局限。而积分的意义无论是在工程实践还是在纯数学领域都有非常大的作用，要讲的话三天三夜也讲不了十分之一。总之你只要知道，积分的意义远远远远远远远不止算面积那么简单就是了。你跟我说了我可以耐心地跟你讲，你要放到知乎上去问估计会被鄙视的。」
「是是是，我知道了。」题主赶紧说。
完
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那么，题主，你知道了吗？
（非数学专业，不严谨指出欢迎指出，轻喷。）
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