数学上激波和稀疏波的区别是什么？
在讲区别之前，我们先得明白它们出现的 大背景：非线性偏微分方程。很多描述流体运动的方程，比如欧拉方程（Euler equations），本身就是非线性的。这意味着，初始时刻一个光滑的、连续的解，经过一段时间演化后，可能会变得非常“粗糙”，甚至出现“突变”。激波和稀疏波就是这种非线性演化导致的结果。
一、 激波 (Shock Wave): 压缩与跃变
想象一下，你快速地推动一个活塞进入一个充满气体的管子里。活塞前进的速度如果超过了气体中声速，就会在气体中产生一个 压缩。由于气体本身的性质，这种压缩不会是平滑过渡的，而是在一个非常 窄的区域 内发生急剧的变化。这就是激波的核心特征。
从数学上看，激波是一种 不连续的解，或者说，是一个 弱解（weak solution）。在激波存在的地方，一些物理量，比如：
密度 (density, $ ho$): 显著增加。
压力 (pressure, $p$): 显著增加。
温度 (temperature, $T$): 显著增加。
速度 (velocity, $u$): 减小（对于超音速流体遇到的激波，速度会从超音速减为亚音速）。
这些量在激波前后会发生 阶跃式 的变化。如果我们在激波处画一个图，这些物理量会像“爬墙”一样，在极短的距离内从一个值跳到另一个值。
为什么会产生激波？
根本原因在于流体的 非线性 和 可压缩性。当流体以超音速运动时，后面的流体（速度较慢）会追赶前面的流体（速度较快）。但由于流体是可压缩的，后面追赶的流体会被压缩，密度、压力和温度都会升高。这种压缩效应会使得后面流体的声速升高，从而改变了波的传播速度。当这种“追赶”效应累积到一定程度，就形成了一个“无限陡峭”的波前，这就是激波。
在数学上，我们通常用 RankineHugoniot 条件 来描述激波的性质。这些条件是基于守恒律（质量守恒、动量守恒、能量守恒）在激波这个“不连续面”上的积分形式推导出来的。它们建立了激波前后各个物理量的关系，并且表明激波是一个 粘性（viscosity）或者 熵增（entropy increase）的过程。换句话说，激波的形成和传播与流体的粘性或者其他耗散机制密切相关。没有粘性，激波就无法稳定存在。
二、 稀疏波 (Rarefaction Wave): 膨胀与缓变
与激波相对，稀疏波描述的是流体 膨胀 和 速度增加 的过程。想象一下，你有一个高压区域，这个区域突然与一个低压区域连通。高压区域的气体会向低压区域扩散，这个过程就是膨胀。
稀疏波的特征是：
密度 (density, $ ho$): 显著减小。
压力 (pressure, $p$): 显著减小。
温度 (temperature, $T$): 显著减小。
速度 (velocity, $u$): 增加（对于从高压区域流向低压区域的流体，速度会增加）。
与激波不同，稀疏波不是一个阶跃式的变化，而是一个 连续的、渐变的 过程。在稀疏波区域，物理量不是突然跳变，而是 缓慢地、平滑地 变化。稀疏波就像是一个“速度衰减”的波，它将高压区域的能量和动量传递到低压区域，但这个传递过程是分布在一定区域内的，而不是集中在一个点上。
为什么会产生稀疏波？
稀疏波通常出现在 膨胀 的过程中，比如：
一个高压腔突然打开与低压环境连通。
火箭发动机喷管中的气体膨胀。
超音速飞机绕过机翼后方的膨胀区域。
在这些情况下，流体从高压区域流向低压区域，前面流体（压力较低）会“允许”后面的流体（压力较高）膨胀，并向前移动。由于声速的存在，后面的高压流体可以通过一系列不同速度的 亚音速声波 来“通知”前面的低压区域，使得膨胀过程是平滑展开的。从数学上看，稀疏波可以被看作是一系列 向左传播的（与流体运动方向相反）声波，它们将高压区域的“信息”传递到低压区域，从而实现平滑的膨胀。
在数学上，稀疏波通常是 光滑的解。描述稀疏波传播的方程，特别是其“波前”（膨胀开始的地方），可以通过 特征线方法 (method of characteristics) 来分析。沿着特征线，一些物理量（比如马赫数 $M$）会保持不变，或者以特定的方式演化。
三、 激波与稀疏波的核心区别总结
| 特征 | 激波 (Shock Wave) | 稀疏波 (Rarefaction Wave) |
| : | : | : |
| 物理过程 | 压缩、阻尼、能量耗散 | 膨胀、加速、能量传递 |
| 物理量变化 | 阶跃式（不连续） | 渐变式（连续、平滑） |
| 密度、压力 | 显著增加 | 显著减小 |
| 速度 | 通常从快到慢（例如超音速减为亚音速） | 通常从慢到快（例如亚音速增加） |
| 熵 | 熵增加（不可逆过程） | 熵通常保持不变或略有减小（可逆或近似可逆过程） |
| 数学描述 | 弱解，需要RankineHugoniot条件，依赖粘性/耗散 | 光滑解，可通过特征线方法描述，与声波传播相关 |
| 形成机制 | 高速追赶、压缩累积 | 高压向低压膨胀、声波传递信息 |
| 典型例子 | 音爆、超音速飞机激波、爆轰波 | 火箭发动机喷管膨胀、气体在管道中的快速膨胀 |
一些更深入的数学视角：
守恒律 (Conservation Laws): 激波和稀疏波都发生在满足守恒律的方程中。然而，激波是这些守恒律在“弱解”意义下的体现，而稀疏波是“光滑解”在特定区域的演化。
特征线 (Characteristics): 对于一维双曲型守恒律方程，特征线理论是分析激波和稀疏波的关键工具。激波可以被看作是特征线在某些点上“汇聚”的结果，而稀疏波则对应于特征线“发散”的过程。
粘性与无粘性 (Viscosity vs. Inviscid): 在纯粹的无粘性（inviscid）模型下，激波会是完全不连续的，是一个“跳跃”。而在实际流体中，粘性效应会在激波内形成一个非常窄的粘性层，使得激波在物理上是连续的，只是变化得非常快。对于稀疏波，即使在无粘性模型下，它也通常是光滑的。
总而言之，激波是流体在剧烈压缩时形成的不连续、耗散性的跃变，而稀疏波则是流体膨胀时产生的连续、渐变的加速过程。它们是描述非线性流动中两种极端但又互补的现象。
网友意见
激波和稀疏波，接触间断这些描述都是采用波动方法来求解偏微分方程的方法，比较老，但是对理解流场帮助很大。这些名字听起来很吓人，其实就是个描述现象的名词而已。
先来看看微分形式的Euler方程，先明确一点，微分形式Euler方程不足以描述流场情况，比如流场出现间断（激波，接触间断等），所以额外定义了弱解来弥补这点不足（看来微分形式Euler方程先天不足），弱解是什么？弱解是在连续处满足微分形式Euler方程，在间断处要满足积分形式的Euler方程，这个定义很自然。
1. 特征形式：
想要看激波、膨胀波是什么，必须进行把Euler方程转化为特征形式，一维Euler方程：
，可以是守恒变量也可以是原始变量，特征值是一样的。
相似变换：，令
,
把上式写成单方程形式：
，这是相容关系。
就是所谓的特征变量；特征值也即波的传播速度为：
到这里先停一下，直观的来看看这三道波，，是流场速度，说明这道波携带的信息是跟着流体微团一起运动的，Euler方程针对无粘流体，流体微团运动过程是等熵的，所以叫做熵波；，这两道波是相对于流体微团本身以声速传播的波，所以叫声波，这两道波携带的信息也没有什么物理意义。
Euler方程描述的流场中会出现三种间断：
膨胀波：在波头和波尾，变量的一阶导数不连续
激波：流场变量跨越激波不连续
接触间断：间断两侧密度不连续，压力和速度都连续
接触间断只能由这道波产生，膨胀波和激波只能由这两道波产生。
2. 膨胀波：
对于一维情况，特征值沿 x正向单调递增
数学描述：以为例，
如图，同一时刻任意画一条直线，其特征值沿着x轴都是递增的，反应到图上就是斜率（特征值的倒数）沿着x轴是递减的。
由于膨胀波不出现变量的不连续，所以不需要采用弱解理论，微分形式的Euler方程就可以涵盖它。
直观理解：波是往右传的，右边的波跑的快，左边的追不上，所以趋势是把波形（初始时刻，沿x轴变量形成的形状）给拉宽，但是不会破坏这形状，看图：
如图，最下的图是初始波形，中间是膨胀波特征值的图形表示，上边是t时刻波形。
注意虚线，可以看到波形不变，只是被拉宽了。
3. 压缩波和激波：特征值沿x轴正向递减
数学描述：以为例，
如图，你可以认为压缩波是图中细的线（还没有成功汇聚），激波是粗的（成功汇聚）。
按理说，压缩波和膨胀波是一对好基友，这么怎么又冒出个激波。这是因为膨胀波不管怎么膨胀，大家都相安无事，携带着自己的信息该怎么传播就怎么传播。压缩波就不行了，早晚得汇聚，这一汇聚就变样了，汇聚后保留谁的信息，以谁的特征速度来传播？这个就难产了，最后把汇聚的这个东西叫激波吧，以激波速度传播，携带什么信息我也不知道，就知道过了激波变量不连续了。
由于激波导致流场不连续，微分方程不好使了，所以必须采用弱解理论，那就用积分形式的Euler方程。描述激波前后变量方法挺多的，一般采用通量的方法（采用流场变量也可以）：
-----Rankine-Hugoniot（兰金-许贡钮公式）；
激波速度满足， ----熵条件（热二），过激波熵增。
直观理解：激波是特性汇聚的地方，只要一汇聚，传播好好的特征线就断了，相应的携带的特征信息也不知道变成啥了。激波就跟黑洞一样，不停的吸收旁边传过来的压缩波，把它的信息给吞掉，所以激波无法维持初始波形，趋势是抹平初始波形：
如图，在t时刻波形跟初始波形已经不同了。注意虚线，可以看到初始时刻激波左右的虚线都被吸到激波里了。
总结，膨胀波和激波是 采用波方法来求解Euler方程时产生的名词，是由于初始时刻特征值分布不同，导致后续流场发展而出现的不同现象。
类似的话题
-
好的，我们来聊聊数学中的“激波”（Shock Wave）和“稀疏波”（Rarefaction Wave）。这两种都是描述流体（通常是气体）中非常剧烈的、非线性变化的过程，它们在很多领域都有重要应用，比如空气动力学、天体物理学、以及核爆炸的冲击波等。在讲区别之前，我们先得明白它们出现的 大背景：非线性............. -
激怒一位数学爱好者？ 嗯，这可真是个有趣的挑战。 要做到这一点，你需要深入了解他们大脑里那些闪耀着奇妙公式和严谨逻辑的角落，然后…… 恰到好处地，或者说，是不恰到好处地触碰那些他们最在意的地方。 这可不是随便说说就能激怒他们的，你需要一些“艺术感”，就像精心设计的反例一样，一击即中。首先，漠视和不屑.............
-
在数学中，确实存在一些“从理论上根本无法证明”的命题，这主要源于数学逻辑学中的不完备性定理（Gödel's Incompleteness Theorems）以及形式系统的局限性。以下从多个角度详细阐述这一问题： 1. 哥德尔不完备定理：数学的“自我指涉”哥德尔第一不完备定理（1931年）指出： 在.............
-
数学世界里并非处处是和谐优美的诗篇。虽然我们常常被那些简洁、洞察深刻的公式所折服，比如欧拉恒等式 $e^{ipi} + 1 = 0$，但数学的海洋同样潜藏着一些让人望而却步、甚至可以说是“丑陋”的公式。这里的“丑陋”，并非指其不正确，而是指它们在形式上繁琐、冗长，或者需要大量的背景知识才能理解其含义.............
-
数学上，积分结果的本质，说白了，就是累积与求和的极致升华。它不是简单的加减乘除，而是将连续变化的量，一点一滴地汇聚起来，最终得到一个总体的量。你可以想象一下，我们人类在认识世界、计算事物的时候，往往是从离散的、一个个的个体开始的。比如，数数有多少个苹果，计算有多少块砖头。但现实世界中，很多东西并不是.............
-
数学的神奇之处就在于它不同分支之间的相互渗透和启发。很多著名且深刻的数学结论，正是因为跨越了不同领域，才得以发现和证明，从而展现出数学世界宏大而和谐的美感。这里我为你挑选一个极具代表性的例子，并尽量细致地为你展开：欧拉证明了整数的倒数和是发散的：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... =.............
-
确实存在这样的数学情况，最常被引用的例子就是“椭圆的周长”。这并非我凭空捏造，而是数学界一个公认且引人深思的现象。首先，让我们明确一下你提出的问题：“给定条件已经能确定结果的唯一性，但就是求不出来！”这句话触及了数学的一个核心领域：可计算性和解析解。什么是“确定结果的唯一性”？在数学中，当说一个问题.............
-
说起“数”，我们日常生活中随处可见，买东西要付钱，时间要计时，距离要丈量，甚至评价一个事物的好坏也常会用到“数”。然而，当我们要真正去给“数”下一个数学上的定义时，事情就变得比我们想象的要复杂和有趣得多了。简单来说，数学上的“数”并非一个单一的概念，它是一个随着人类认识和数学发展不断演进和丰富起来的.............
-
数学中那些看似天马行空的“配凑”技巧，尤其是那些初看之下毫无征兆、直觉上无法联系的构造方法，确实是许多数学家一生追求的“神来之笔”。它们是如何被发现的？这绝不是简单的“灵感乍现”，而是一个漫长而复杂的过程，是积累、洞察、尝试和运气交织的产物。首先，我们需要理解“配凑”的本质。它不是凭空捏造，而是基于.............
-
数学的严谨性如同摩天大楼的基石，稳固而不可撼动。然而，即便在如此坚实的领域里，也存在着一些“漏洞”——与其说是错误，不如说是我们对数学理解的边界和局限性。这些“漏洞”并非物理意义上的破洞，而是指那些挑战了我们直觉、揭示了数学深刻复杂性、甚至需要我们重新审视其基础的现象。我们来一一探究几个比较有代表性.............
-
在数学的世界里，“维度”这个概念，与其说是一个具体的数字，不如说是一个描述空间或对象特性的工具。所以，要问“数学上一共有多少维度？”，这本身就像在问“世界上有多少种颜色？”一样，答案并不是一个固定的、精确的数字，而是取决于你从哪个角度去理解它，以及你所讨论的数学对象是什么。从最直观的感受开始：我们生.............
-
这道题触及到了数学中一个非常基础却又容易引起混淆的概念：无限小数。我们来好好掰扯掰扯，看看这个“0.000……01”到底是个啥玩意儿。首先，咱们得明确一点，数学里的“0.000……01”这种写法，在严格意义上，它指的不是一个具体的数，而是一个“过程”或者一个“极限”。为什么这么说呢？你看看这小数点后.............
-
在数学世界里，“2 ≥ 1” 是绝对可以说的，而且是完全正确且有深刻意义的陈述。这不仅仅是一个简单的数字比较，它背后蕴含着关于“大于等于”这个概念的清晰定义和数学的逻辑严谨性。首先，我们得明白“≥”这个符号，它代表的是“大于或等于”。这意味着，如果一个数 A 和另一个数 B 之间存在“A ≥ B”的.............
-
在咱们熟悉的实数体系里，你想找一个 X 满足 X=X+1，这事儿办不到。你想啊，要是 X 真的等于 X+1，那把 X 从等式两边都“拿走”，不就成了 0=1 了嘛？这显然是胡扯，所以实数里绝对没有这样的 X。那再看 X=X^X 这个事儿。这个方程在实数里也不是随便什么数都能满足的。比如 X=2，2=.............
-
数学的宏大世界，无论是多么高深的理论，最终都像一颗颗闪烁的星辰，回归到我们最熟悉、最基础的四则运算——加、减、乘、除。这听起来有些不可思议，但深入探究，你会发现这并非夸张，而是数学本质的深刻体现。想象一下，数字本身就是我们对数量最直接的感知。当我们说“三个苹果”加上“两个苹果”，我们实际上是在进行一.............
-
这个问题问得特别好，触及到了数学最核心的魅力之一。很多人可能会觉得，像“1+1=2”这种事情，还需要什么定理来证明吗？显而易见嘛！但正是这些“显而易见”，在数学世界里，往往隐藏着深刻的逻辑和结构。数学家们“编”出定理，并非多此一举，而是为了构建严密的理论体系、确保逻辑的无懈可击、拓展思维的边界，以及.............
-
好的，关于数学中那些令人拍案叫绝的简洁名言和结论，我试着用一种更有人情味的方式来为你展开。数学的世界里，隐藏着无数闪耀着智慧光芒的瞬间，它们往往以一种令人难以置信的简洁表达出深刻的道理，仿佛是大自然的语言本身被提炼到了极致。这些简洁背后，是无数数学家们穷尽一生探索、推敲、证明的结晶，它们的出现，往往.............
-
“正难则反”是数学中一种非常重要的思想方法，其核心在于利用补集的概念来解决问题。它并非一个单一的原理或定理，而是一种策略和思维方式。核心思想：为什么“正难则反”？“正难则反”之所以有效，根本原因在于：1. 直接求解的复杂性： 有时候，我们直接去证明一个性质（“正”），需要考虑的情况非常多，或者涉及.............
-
有时候，有些数学上的事儿，说出去，估计别人会觉得我疯了。不是因为它们多复杂难懂，而是因为它们跟咱们日常生活的直觉差得太远了，简直是反常识的。我就捡几个我印象最深的，慢慢跟你道来。一、无尽的数，无尽的“点”咱们都知道，数是用一次数出来的，比如1、2、3……到无穷大。但你知道吗？在数学里，无穷大还有“等.............
-
从数学的视角洞悉“左”与“右”：手性的精妙解析你有没有想过，为什么我们的双手，一个放在另一个旁边时，总是不那么“般配”？为什么即使我们竭尽全力尝试，也无法让左手完全覆盖右手，反之亦然？这种“无法重叠”的性质，正是我们称之为“手性”（Chirality）的根源。而在数学的世界里，手性并非模糊的感性认知.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有