如何理解拉格朗日乘子法？
核心思想：将带约束的优化问题转化为无约束的优化问题
在深入细节之前，先抓住这个核心思想。通常我们想要最大化或最小化一个函数 $f(x)$，但我们不能随意选择 $x$ 的值，而必须满足一个或多个等式约束条件，例如 $g(x) = c$。拉格朗日乘子法就是通过引入一些“辅助变量”（拉格朗日乘子），将这个带有约束的问题“包装”成一个更大、但没有约束的优化问题，然后利用微积分的工具（梯度）来解决。
问题背景：为什么需要拉格朗日乘子法？
想象一下，你在一个山顶想要找到离某个湖泊最近的点。你的目标是最小化你与湖泊的距离（函数 $f(x)$），但是你必须待在山的表面上（约束条件 $g(x)=c$）。如果你能在山顶随意走动（无约束），问题会很简单。但山地的限制让问题变得复杂。
传统的无约束优化方法（比如直接求导令梯度为零）在这里就行不通，因为直接求导找到的极值可能不在山的表面上。
拉格朗日乘子法的构造：拉格朗日函数 (Lagrangian Function)
拉格朗日乘子法的精髓在于构造一个称为“拉格朗日函数”的新函数。我们设目标函数为 $f(x)$，约束条件为 $g(x) = c$。拉格朗日函数 $L(x, lambda)$ 定义如下：
$L(x, lambda) = f(x) + lambda(g(x) c)$
这里的 $lambda$ (读作 lambda) 就是拉格朗日乘子。它是一个新的变量，与我们原有的变量 $x$ （可能是一维或多维的）一起，成为拉格朗日函数 $L$ 的自变量。
为什么要这么构造？ $lambda$ 的作用是什么？
这个构造看似有些“随意”，但它背后有深刻的几何意义和直观解释。
1. 几何解释：切线与梯度方向
我们考虑一个最简单的情况：目标函数 $f(x, y)$ 是一个二维函数，约束条件是 $g(x, y) = c$。
等高线 (Level Curves): 函数 $f(x, y)$ 的等高线是一族曲线，在同一条曲线上 $f(x, y)$ 的值是相同的。我们寻找的是 $f(x, y)$ 的最大值或最小值，也就是寻找等高线簇中最“极端”的那一条。
约束曲线 (Constraint Curve): 约束条件 $g(x, y) = c$ 定义了一条曲线，我们必须在曲线上寻找最优解。
现在设想一下：
在约束曲线上找到一个点 $(x_0, y_0)$，此时 $f(x_0, y_0)$ 达到了最优值。
在这个最优点 $(x_0, y_0)$ 处，目标函数 $f$ 的等高线与约束曲线 $g(x, y) = c$ 是相切的。
为什么是相切？
如果等高线与约束曲线相交，那么在交点附近，我们总可以在约束曲线上找到一个点，使得 $f$ 的值更大（如果是最大化问题）或更小（如果是最小化问题）。这意味着这个交点不是最优解。
只有当等高线与约束曲线相切时，在切点附近，无论是沿着约束曲线往哪个方向移动，都会使得 $f$ 的值偏离当前值。在切点处，约束曲线方向上的 $f$ 的变化率（即梯度在约束曲线方向上的投影）为零。
梯度 (Gradient):
目标函数 $f$ 的梯度 $ abla f = (frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y})$ 指向 $f$ 值增长最快的方向。
约束函数 $g$ 的梯度 $ abla g = (frac{partial g}{partial x}, frac{partial g}{partial y})$ 指向 $g$ 值增长最快的方向。在约束曲线 $g(x, y) = c$ 上，$ abla g$ 是垂直于约束曲线的。
当 $f$ 的等高线与 $g$ 的约束曲线在点 $(x_0, y_0)$ 相切时，意味着：
$ abla f$ 和 $ abla g$ 都垂直于切点处的切线。
因此，$ abla f$ 和 $ abla g$ 平行。
数学上，两个向量平行意味着其中一个向量是另一个向量的常数倍。所以，在最优解点 $(x_0, y_0)$ 处，一定存在一个常数 $lambda$ 使得：
$ abla f(x_0, y_0) = lambda abla g(x_0, y_0)$
或者写成向量形式：
$(frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}) = lambda (frac{partial g}{partial x}, frac{partial g}{partial y})$
这等价于以下两个偏导数方程：
$frac{partial f}{partial x} = lambda frac{partial g}{partial x}$
$frac{partial f}{partial y} = lambda frac{partial g}{partial y}$
2. 拉格朗日函数与梯度
现在我们来看看拉格朗日函数 $L(x, lambda) = f(x) + lambda(g(x) c)$ 的梯度。我们将它对 $x$ 和 $lambda$ 分别求偏导数：
对 $x$ 求偏导数（这里 $x$ 可以是多维向量，记为 $x = (x_1, x_2, ..., x_n)$）：
$ abla_x L = abla_x f(x) + lambda abla_x g(x) abla_x c$
由于 $c$ 是常数，$ abla_x c = 0$。
所以，$ abla_x L = abla f(x) + lambda abla g(x)$
对 $lambda$ 求偏导数：
$frac{partial L}{partial lambda} = g(x) c$
为了找到拉格朗日函数的极值点（以及原始问题的极值点），我们需要令其梯度为零：
$ abla_x L = abla f(x) + lambda abla g(x) = 0$
$frac{partial L}{partial lambda} = g(x) c = 0$
这组方程正是我们之前通过几何直观推导出来的结果！
第一个方程 $ abla f(x) + lambda abla g(x) = 0$ 可以写成 $ abla f(x) = lambda abla g(x)$。 这表明在最优解处，目标函数的梯度与约束函数的梯度是共线的（方向相反与否取决于 $lambda$ 的符号，我们稍后解释）。
第二个方程 $g(x) c = 0$ 确保了我们找到的点是在约束曲线上。
$lambda$ 的解释：敏感性分析 (Sensitivity Analysis)
拉格朗日乘子 $lambda$ 本身也具有重要的物理或经济意义。它衡量了当约束条件右边的常数 $c$ 发生微小变化时，最优值（目标函数 $f$ 的最优值）的变化率。
即，$lambda approx frac{Delta f_{opt}}{Delta c}$
如果我们能找到最优解 $x^$ 和对应的 $lambda^$，那么我们可以说：当约束限制稍微放宽（$c$ 增加），最优值会以 $lambda^$ 的速率提升；当约束限制稍微收紧（$c$ 减少），最优值会以 $lambda^$ 的速率下降。
如何使用拉格朗日乘子法？（步骤）
1. 识别问题: 明确你的目标函数 $f(x)$ 和等式约束条件 $g_i(x) = c_i$ （可能有一个或多个约束）。
2. 构造拉格朗日函数: 对于每个约束条件 $g_i(x) = c_i$，引入一个拉格朗日乘子 $lambda_i$。拉格朗日函数形式为：
$L(x, lambda_1, lambda_2, ..., lambda_m) = f(x) + sum_{i=1}^{m} lambda_i (g_i(x) c_i)$
其中 $x$ 可以是多维向量，$lambda_i$ 是对应的拉格朗日乘子。
3. 求偏导数并令其为零: 计算拉格朗日函数 $L$ 对所有变量（包括 $x$ 的每个分量和所有 $lambda_i$）的偏导数，并令它们全部等于零。
$frac{partial L}{partial x_j} = 0$ (对于 $x$ 的每个分量 $x_j$)
$frac{partial L}{partial lambda_i} = 0$ (对于每个拉格朗日乘子 $lambda_i$)
4. 求解方程组: 解上述方程组，得到可能的最优解 $(x^, lambda^)$。
5. 验证（重要！）: 由于我们求的是梯度为零的点，这些点可能是局部最大值、局部最小值，也可能是鞍点。通常需要通过其他方法（如二阶导数检验，或者根据问题的实际情况判断）来确认哪个点是真正的最优解。
多重约束条件
如果存在多个等式约束，例如 $g_1(x) = c_1, g_2(x) = c_2, ..., g_m(x) = c_m$，那么我们需要引入 $m$ 个拉格朗日乘子 $lambda_1, lambda_2, ..., lambda_m$。拉格朗日函数变为：
$L(x, lambda_1, ..., lambda_m) = f(x) + lambda_1 (g_1(x) c_1) + lambda_2 (g_2(x) c_2) + ... + lambda_m (g_m(x) c_m)$
求解方程组：
$ abla f(x) + sum_{i=1}^{m} lambda_i abla g_i(x) = 0$
$g_i(x) c_i = 0$ (对于所有 $i=1, ..., m$)
不等式约束怎么办？（KKT 条件）
拉格朗日乘子法主要用于等式约束。对于不等式约束 $h(x) le d$，我们可以将其转化为等式约束：
$h(x) + s = d$，其中 $s ge 0$ 是一个松弛变量 (slack variable)。
然后将 $s$ 和其对应的拉格朗日乘子（通常表示为 $mu$）引入。
然而，处理不等式约束更常用的方法是使用KKT 条件 (KarushKuhnTucker conditions)，它是在拉格朗日乘子法基础上发展起来的，包含了对不等式约束的更完善处理。KKT 条件包括了拉格朗日乘子法的梯度条件，以及与不等式约束相关的互补松弛条件和约束满足性。
例子：一个简单的例子
问题： 找到函数 $f(x, y) = x + y$ 在约束 $x^2 + y^2 = 2$ 下的最大值和最小值。
1. 识别问题:
目标函数: $f(x, y) = x + y$
约束条件: $g(x, y) = x^2 + y^2 = 2$
2. 构造拉格朗日函数:
$L(x, y, lambda) = f(x, y) + lambda(g(x, y) 2)$
$L(x, y, lambda) = x + y + lambda(x^2 + y^2 2)$
3. 求偏导数并令其为零:
$frac{partial L}{partial x} = 1 + 2lambda x = 0 quad (1)$
$frac{partial L}{partial y} = 1 + 2lambda y = 0 quad (2)$
$frac{partial L}{partial lambda} = x^2 + y^2 2 = 0 quad (3)$
4. 求解方程组:
从 (1) 和 (2) 可得：
$2lambda x = 1 implies x = frac{1}{2lambda}$ (假设 $lambda e 0$)
$2lambda y = 1 implies y = frac{1}{2lambda}$ (假设 $lambda e 0$)
所以 $x = y$。
将 $x = y$ 代入约束方程 (3)：
$x^2 + x^2 = 2$
$2x^2 = 2$
$x^2 = 1$
$x = 1$ 或 $x = 1$
当 $x = 1$ 时，由于 $x = y$，所以 $y = 1$。
此时代入 $x = frac{1}{2lambda}$: $1 = frac{1}{2lambda} implies lambda = frac{1}{2}$。
对应的点是 $(1, 1)$。
此时 $f(1, 1) = 1 + 1 = 2$。
当 $x = 1$ 时，由于 $x = y$，所以 $y = 1$。
此时代入 $x = frac{1}{2lambda}$: $1 = frac{1}{2lambda} implies lambda = frac{1}{2}$。
对应的点是 $(1, 1)$。
此时 $f(1, 1) = 1 + (1) = 2$。
特殊情况：$lambda = 0$
如果 $lambda = 0$，那么方程 (1) 和 (2) 分别变成 $1 = 0$，这是不可能的。所以 $lambda$ 不可能为 0。
5. 验证:
我们得到了两个可能的极值点：$(1, 1)$ 和 $(1, 1)$。
在点 $(1, 1)$，函数值为 $f(1, 1) = 2$。
在点 $(1, 1)$，函数值为 $f(1, 1) = 2$。
由于约束条件 $x^2 + y^2 = 2$ 是一个闭合的圆，而目标函数 $f(x, y) = x + y$ 是连续的，根据极值定理，一定存在最大值和最小值。因此，我们找到的这两个点分别是最大值和最小值点。
最大值是 2，发生在点 $(1, 1)$。
最小值是 2，发生在点 $(1, 1)$。
总结与类比
拉格朗日乘子法的核心在于：通过引入拉格朗日乘子 $lambda$，将“在曲线上寻找最优”的问题，转化为“寻找一个特殊点，在这个点上，目标函数的梯度与约束函数的梯度平行”。
一个经济学类比：
想象你是一个公司经理，你的目标是最大化利润 $P(x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是两种产品的产量。但是，你的预算是有限的，设总成本为 $C(x, y)$，且必须等于预算 $B$。
所以问题是：最大化 $P(x, y)$ 使得 $C(x, y) = B$。
拉格朗日函数是 $L(x, y, lambda) = P(x, y) + lambda(C(x, y) B)$。
这里的 $lambda$ 可以解释为边际预算的价值。如果你的预算稍微增加一点（$B$ 增加），你的利润会增加多少？这个增加的量就是由 $lambda$ 来衡量的。在最优产量点，利润函数和成本函数的“变化率”（即边际利润和边际成本）的比率会等于某个常数，这个常数就是 $lambda$。
最后，为什么叫做“拉格朗日乘子法”？
它以意大利数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日 (JosephLouis Lagrange) 的名字命名，他发展了变分法和分析力学，在这两个领域拉格朗日乘子法扮演着核心角色。
希望这个详细的解释能帮助你深入理解拉格朗日乘子法！
网友意见
想法就是：
能够碰到极大极小值点的必要条件是：
梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间方向有分量，在流形上沿分量方向走，函数值会增加，沿反方向走，函数值会减少，不可能为局部极小或者极大值点。
一.
一个基本的例子：
假设你生活在三维欧氏空间中，z方向的坐标数值上代表海拔高度。
也就是说高度是三维坐标的函数
如果你会飞，那么anyway，你想飞多高飞多高，所以你的海拔可以任意高也可以任意小，根本就没有最大值。
假定你是一个普通人类，你在一座山上，你的目标是爬到山顶，也就是说你希望自己的海拔足够高：
当你真正到达山腰时，很容易“只缘身在此山中，不识此山真面目”，这时候如何判断是真的在往上爬呢，还是在往下走呢？
在肉眼所能看见的小范围内，你可以通过周边的局部地形来判断，假设它大概是这样：
你就知道应该往高处（大概为红箭头方向）走，而不是绿箭头方向。
当然不一定一直沿这个方向直线式上升，可能还需要走到某个地方，再次做一下这种局部的考察，调整一下方向，保证自己能向高处走。
不过，什么是“高”的一边？这个概念究竟是如何形成的？
我们知道，海拔，我们希望能够找到山面上的海拔最高点（山顶）。
梯度
关于梯度一个很自然的结论就是：
沿梯度方向是f增长最快的方向，反方向是下降最快的方向。
所以直观上沿与梯度方向成锐角的方向移动，那么f的值应该会增加。
而在山面上，我们可以通过天空来确定梯度方向（当然指向高高的天空啦）
与垂直向上方向成锐角的方向的地形，也就是“高”的一边。
（可以见到，红色的角是锐角，所以沿此方向海拔上升，绿色的角是钝角，所以沿此方向海拔下降）
所有我们可以移动的方向，叫做这一点的切空间。
那么，什么时候才能知道我们到达了山顶呢？
P点为山顶，那么在这一点，切空间上任何一个方向与梯度方向（红色箭头）的夹角都不可以是锐角，
否则我们沿那个方向爬，就会上升到更高点。
所以切空间只能够与梯度方向垂直。
利用流形本身的信息，我们可以得到切空间的方程，从而确定与切空间垂直的所有方向（这种方向叫做法向）。
利用函数本身的信息，我们可以得到梯度场的方向
梯度场方向与切空间垂直，所以梯度场可以表成一些的特定的法向 的线性组合,
系数记为
即,这就是Laplace乘子法的思想
二.一般形式
给一组约束条件,
（经常加一些好的条件比如说的jacobi矩阵满秩,这些条件都是为了让M确实是一个流形，见正则值定理)
那么流形（约束条件下的所有点）为
p如果为的局部极大值或者局部极小值，
那么
,故法向量由张成
所以存在一组系数
使得
这就是乘子方程。
所以本质上就是最开始说的：
能够碰到极大极小值点的必要条件是：
梯度场与切空间垂直，也就是梯度场不能够有任何流形切空间上的分量，否则在切空间方向有分量，在流形上沿分量方向走，函数值会增加，沿反方向走，函数值会减少，不可能为局部极小或者极大值点。
利用流形本身的信息，我们可以得到切空间的方程，从而确定法向。
利用函数本身的信息，我们可以得到梯度场的方向
梯度场方向与切空间垂直，所以梯度场可以表成一些的特定的法向（比如说一组基法向）的线性组合
用这两个信息把上面那句话用方程的形式写出来就好了
后记:
1.这种乘子法只考虑了第一变分（梯度），事实上极大极小值还可以用Hessian矩阵进行二阶刻画，所谓第二变分
2.这种找法只能够找局部极值点，如果要寻找鞍点，就是这样的点：
这种方法完全失效，不过一般情况下我们只关心极大极小值点。
对于鞍点的寻找，我们有Moutain Pass Lemma，或者更一般的，我们可以采用min-max原理的推理，能够从极值点出发找到可能鞍点。
3.
我们只考虑假定流形M上比较好的函数，所有上述方法都可以内蕴地在流形上建立起来。
对于一般的关于临界点即的点的理论，可以反馈流形自身的拓扑信息。
比如说著名的Reeb定理是在说：
考虑一个紧无边光滑流形M，如果M上存在一个光滑函数，它只有最大值和最小值两个极值点，并且这两点的Hessian矩阵均可逆，那么M就会拓扑同胚于单位球面
（微分同胚是不一定的，见Minlor的7维怪球）
所有临界点均不退化(即Hessian矩阵非退化)的光滑函数f叫做Morse函数，对于Morse函数f,
我们有
- ,M是一个光滑紧无边流形，右边是M的欧拉示性数，左边跑遍f的所有临界点，ind表示临界点的指标。
- ,即f的指标为i的临界点至少有个，是M的第i阶De rham上同调群的维数。
作为一个应用，可以得到
环面上任何一个Morse函数，至少有四个临界点。
1 与原点的最短距离
假如有方程：
图像是这个样子滴：
现在我们想求其上的点与原点的最短距离：
这里介绍一种解题思路。首先，与原点距离为 的点全部在半径为 的圆上：
那么，我们逐渐扩大圆的半径：
显然，第一次与 相交的点就是距离原点最近的点：
此时，圆和曲线相切，也就是在该点切线相同：
至此，我们分析出了：
2 等高线
为了继续解题，需要引入等高线。这些同心圆：
可以看作函数 的等高线：
根据梯度的性质（关于梯度可以查看如何通俗地理解梯度？），梯度向量：
是等高线的法线：
另外一个函数 的等高线为：
之前的曲线 就是其中值为3的等高线：
，因此，梯度向量：
也垂直于等高线 ：
梯度向量是等高线的法线，更准确地表述是：
3 拉格朗日乘子法
3.1 求解
根据之前的两个分析：
综合可知，在相切点，圆的梯度向量和曲线的梯度向量平行：
也就是梯度向量平行，用数学符号表示为：
还必须引入 这个条件，否则这么多等高线，不知道指的是哪一根：
因此联立方程：
求一下试试：
这就是拉格朗日乘子法。
3.2 定义
要求函数 在 约束下的极值这种问题可以表示为：
意思是subject to，服从于，约束于的意思。
可以列出方程组进行求解：
用这个定义来翻译下刚才的例子，要求：
令：
求：
联立方程进行求解：
3.3 变形
这个定义还有种变形也比较常见，要求：
定义：
求解下面方程组即可得到答案：
把等式左边的偏导算出来就和上面的定义是一样的了。
3.4 多个约束条件
如果增加一个约束条件呢？比如说：
求：
从图上看约束条件是这样的：
很显然所求的距离是这样的：
那这三者的法线又有什么关系呢？ 的法线是 和 的法线的线性组合：
假设：
那么线性组合就表示为：
联立方程：
即可求解。
往更高纬度走的话，多约束条件的情况下，问题变为了 围成的曲线 和 相切，直观上看 必然在 张成的空间中：
这点的严格性这里就不证明了。
文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解拉格朗日乘子法？
谢邀。
拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的几何意义。
举个2维的例子来说明：
假设有自变量x和y，给定约束条件g(x,y)=c，要求f(x,y)在约束g下的极值。
我们可以画出f的等高线图，如下图。此时，约束g=c由于只有一个自由度，因此也是图中的一条曲线（红色曲线所示）。显然地，当约束曲线g=c与某一条等高线f=d1相切时，函数f取得极值。
两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。因此可得函数f(x,y)与g(x,y)在切点处的梯度（gradient）成正比。
于是我们便可以列出方程组求解切点的坐标(x,y)，进而得到函数f的极值。
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