现代物理以现代数学为嚆矢;现代数学以现代逻辑为嚆矢。
现代逻辑与现代哲学,以莱布尼茨的一句拉丁文“Calculemus(让我们计算)”为嚆矢。滥觞于古代希腊的对话式哲学传统正在失去其借鉴意义。然而,面对看似无垠的思想天空,我想遵循苏格拉底的精神助产术胜于过早地振翮。
我们怀揣热忱的理性天然被赋予对可以确定所有形式化命题真值的算法的追求,不屑于自然语言的约束,钟情于形式语言的芬芳。然而,当这种期望流于对柏拉图主义不假思索的批判,乃至滑向逻辑主义(数学哲学)、形式主义(数学哲学)、行为主义(心灵哲学)与心灵计算理论(心灵哲学)时,便值得警惕了。与传统哲学的落差、错位向来不能为越矩的理念张本。纵然已有翔实的希尔伯特计划,我们仍不能自持已在浪潮之巅立下了自己的沉锚。
“如果T是一个包含算术语言Lᴬ的语言L中的一个包含罗宾逊算术的可公理化的一致的理论,那么存在一个L中的命题G,使得G与¬G皆不可在T中被证明。”哥德尔此言可谓切中了肯綮。人非证明机器,人的精神性是不可祓除的,而我们欲上青云也无时无刻不在因风借力。精神概念暂且被我们把握为一个薄脊的符号客体,一定程度上是因为我们尚缺乏体验与阅历去支撑自己的认知,而这种方法论的傲慢更远在本体论的傲慢之上。
在孜孜矻矻以求数学哲学的道路上,对数理逻辑的期望本就是在与数学史与数学直觉的对接中塑型的动态过程。我们的底料便是对各种不同的具体数学分支的觉感与体认。生活在数上的王浩修补蒯因公理系统的漏洞,在 IBM 704 计算机上用 9 分钟时间证明了罗素与怀特海合著的《数学原理》(Principia Mathematica)中数百余条定理,又捍卫哥德尔的哲学。他的数学哲学观念是厚实的,也是实践的。倘若我们在对极限概念借柯西与魏尔施特拉斯之言“祓魅”后,又对不断膨胀的布尔巴基主义进行“赋魅”,那么在丢失外界预期的同时,未尝不是丢了自我。
毫无疑问,从数学史与数学直觉角度一觇的数学哲学有偏狭守旧的成分,但我们所应摒弃的不是对此的批判,而是其批判的廉价,其对批判投诚中的反智倾向。在图灵的观念中,如果在“证明停机问题无解”之前,略去了“假设停机问题有解”的过程,那么对“永恒循环”的证明洵不能成立。何况当一些北大纯数博士毕业生顺从果腹的需求,选择去搞迎合市场的概率论与数理统计,将他二十二年的寒窗生涯降格为金融的奴隶,我们没有资格斥之以媚俗。
蓝图上的落差终归只是概念上的区别,在实践场域的界线也未必清晰。譬如当我们追寻纯粹数学之所向时,在途中涉足物理应用的玉墀,这究竟是伴随着理想的泯灭还是理想的达成?在我们塑造数学的同时,数学也在浇铸我们。既不可否认数学原生的历史性与直觉性,又应当承认自己的公理集合论图景有轻狂的失真。不妨让“使用”走在“定义”之前,让“数学的绽放”走在“数学的统一”之前,用不被禁锢的头脑去体会庄子的“蝼蚁”与“屎溺”,去品味布劳威尔对非构造性证明与对实无穷的怀疑,并且遵从后期维特根斯坦的教导,对日常语言保持敬畏。
以在数上的生活方式体现精神的超越性,保持婞直却又不拘泥于所谓“遗世独立”的单向度形象,这便是锡诺普的第欧根尼为我们提供的理想期望范式。生活在数上——始终憎恶地狱——升上天堂。
因为你是瑕疵品啊……
没错,因为你的瑕疵太多了,从你生下来,喝的就是有瑕疵的母乳,不论是进食还是排便都不是最优化的。更别说你的DNA上有无数潜在的瑕疵,你大概率都活不过100岁。你所处的有瑕疵的成长环境让你的人格、身体、三观都有一定程度的瑕疵。当然更重要的是理解能力和智商。正是因为这些瑕疵让你不能通过直接阅读论文来获得相对而言瑕疵较少的理论。而需要有瑕疵的老师先传授你有瑕疵的理论,而这个理论你的理解还很难做到完美,为了向你这种次品妥协,我们不得不把理论再度大幅度简化让你更容易理解和接受。事实上这不是最高效的传授模式,这对于某些学霸来说是不公平的,他们的瑕疵比你少,却因为你的理解能力缺陷而不得不和你同步学习进度……
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