很好奇，如何证明行列式就是高维多边形体积？

您这个问题问得非常有深度！将行列式与高维多边形（更准确地说是高维平行多面体，或称为平行体）的体积联系起来，是线性代数中一个非常优美且核心的概念。证明这个关系需要从低维度逐步推广，并理解行列式的几何意义。

下面我将详细地为您讲解这个过程：

1. 从低维度开始：理解几何意义

行列式的概念首先起源于求解线性方程组，但它的几何意义也非常直观。让我们从最熟悉的二维和三维开始。

1.1 二维：平行四边形的面积

考虑一个由两个二维向量 $mathbf{u} = egin{pmatrix} u_1 \ u_2 end{pmatrix}$ 和 $mathbf{v} = egin{pmatrix} v_1 \ v_2 end{pmatrix}$ 在二维平面上生成的平行四边形。

几何解释：

向量 $mathbf{u}$ 和 $mathbf{v}$ 是平行四边形的相邻边。
平行四边形的面积是底乘以高。
如果我们将 $mathbf{u}$ 作为底，那么底的长度是 $||mathbf{u}||$。
高是 $mathbf{v}$ 在垂直于 $mathbf{u}$ 方向上的投影的长度。

行列式的计算：

在二维情况下，由向量 $mathbf{u}$ 和 $mathbf{v}$ 构成的矩阵是 $A = egin{pmatrix} u_1 & v_1 \ u_2 & v_2 end{pmatrix}$。
其行列式为：
$det(A) = u_1 v_2 u_2 v_1$

证明面积与行列式的关系（几何方法）：

1. 通过旋转和缩放：
我们可以通过一系列几何变换（旋转和缩放）来证明这个关系。
旋转： 我们可以将向量 $mathbf{u}$ 旋转到与 $x$ 轴对齐。这个旋转操作只改变向量的坐标，但不改变由 $mathbf{u}$ 和 $mathbf{v}$ 构成的平行四边形的面积（或其绝对值）。
缩放： 假设旋转后的 $mathbf{u}$ 是 $mathbf{u}' = egin{pmatrix} ||mathbf{u}|| \ 0 end{pmatrix}$，而 $mathbf{v}$ 变为 $mathbf{v}' = egin{pmatrix} v'_1 \ v'_2 end{pmatrix}$。那么由 $mathbf{u}'$ 和 $mathbf{v}'$ 生成的平行四边形，其底是 $||mathbf{u}'|| = ||mathbf{u}||$。高是 $|v'_2|$（$v'_2$ 是 $mathbf{v}'$ 在垂直于 $mathbf{u}'$ 方向上的分量）。所以面积是 $||mathbf{u}|| cdot |v'_2|$。
现在考虑行列式的计算。经过旋转，矩阵会变成 $A' = egin{pmatrix} ||mathbf{u}|| & v'_1 \ 0 & v'_2 end{pmatrix}$。其行列式是 $||mathbf{u}|| cdot v'_2$。
行列式的绝对值 $|u_1 v_2 u_2 v_1|$ 正好等于这个面积 $||mathbf{u}|| cdot |v'_2|$。
为什么是绝对值？因为行列式的值可以是负的，这取决于向量的定向。在二维中，如果从 $mathbf{u}$ 到 $mathbf{v}$ 的角度是逆时针的（小于 180 度），行列式为正；如果是顺时针的，行列式为负。面积总是非负的，所以我们取绝对值。

2. 通过面积公式的分解：
设 $mathbf{u} = (u_1, u_2)$ 和 $mathbf{v} = (v_1, v_2)$。
平行四边形的面积可以看作是底乘以高。
我们可以将 $mathbf{v}$ 分解为平行于 $mathbf{u}$ 的分量和垂直于 $mathbf{u}$ 的分量。
设 $mathbf{v} = ext{proj}_{mathbf{u}}mathbf{v} + ext{perp}_{mathbf{u}}mathbf{v}$。
其中 $ ext{proj}_{mathbf{u}}mathbf{v} = frac{mathbf{v} cdot mathbf{u}}{||mathbf{u}||^2} mathbf{u}$。
高就是 $|| ext{perp}_{mathbf{u}}mathbf{v}||$。

更直接的计算方式是使用向量叉积的模长（在三维中），或者利用三角函数。
设 $ heta$ 是向量 $mathbf{u}$ 和 $mathbf{v}$ 之间的夹角。
平行四边形的面积为 $||mathbf{u}|| cdot ||mathbf{v}|| cdot |sin( heta)|$。

现在我们来看行列式 $u_1 v_2 u_2 v_1$。
回忆向量的极坐标表示：
$u_1 = ||mathbf{u}|| cos(phi_u)$
$u_2 = ||mathbf{u}|| sin(phi_u)$
$v_1 = ||mathbf{v}|| cos(phi_v)$
$v_2 = ||mathbf{v}|| sin(phi_v)$

行列式变为：
$||mathbf{u}|| cos(phi_u) cdot ||mathbf{v}|| sin(phi_v) ||mathbf{u}|| sin(phi_u) cdot ||mathbf{v}|| cos(phi_v)$
$= ||mathbf{u}|| cdot ||mathbf{v}|| (cos(phi_u) sin(phi_v) sin(phi_u) cos(phi_v))$
$= ||mathbf{u}|| cdot ||mathbf{v}|| sin(phi_v phi_u)$
令 $ heta = phi_v phi_u$，这就是两个向量的夹角（或者其差值）。
所以，行列式的值是 $||mathbf{u}|| cdot ||mathbf{v}|| sin( heta)$。取绝对值后，就是面积。

1.2 三维：平行六面体的体积

考虑由三个三维向量 $mathbf{u} = egin{pmatrix} u_1 \ u_2 \ u_3 end{pmatrix}$， $mathbf{v} = egin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 end{pmatrix}$， $mathbf{w} = egin{pmatrix} w_1 \ w_2 \ w_3 end{pmatrix}$ 在三维空间中生成的平行六面体。

几何解释：

向量 $mathbf{u}$, $mathbf{v}$, $mathbf{w}$ 是平行六面体的三个相邻棱。
平行六面体的体积是底面积乘以高。
我们可以选择由 $mathbf{u}$ 和 $mathbf{v}$ 生成的平行四边形作为底。其面积是 $||mathbf{u} imes mathbf{v}||$（向量叉积的模长）。
高是向量 $mathbf{w}$ 在垂直于 $mathbf{u}$ 和 $mathbf{v}$ 构成的平面（法线方向）上的投影的长度。

行列式的计算：

由这三个向量构成的矩阵是 $A = egin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \ u_2 & v_2 & w_2 \ u_3 & v_3 & w_3 end{pmatrix}$。
其行列式（按第一行展开）是：
$det(A) = u_1 (v_2 w_3 v_3 w_2) v_1 (u_2 w_3 u_3 w_2) + w_1 (u_2 v_3 u_3 v_2)$

证明体积与行列式的关系：

1. 几何解释与向量运算：
我们知道平行六面体的体积是其底面积乘以高。
底面积是平行四边形 $mathbf{u}, mathbf{v}$ 的面积，即 $||mathbf{u} imes mathbf{v}||$。
高是 $mathbf{w}$ 在 $mathbf{u} imes mathbf{v}$ 方向上的投影长度。
高 $= || ext{proj}_{mathbf{u} imes mathbf{v}} mathbf{w}|| = || frac{mathbf{w} cdot (mathbf{u} imes mathbf{v})}{||mathbf{u} imes mathbf{v}||^2} (mathbf{u} imes mathbf{v}) || = frac{|mathbf{w} cdot (mathbf{u} imes mathbf{v})|}{||mathbf{u} imes mathbf{v}||}$。

所以，体积 $= ext{底面积} imes ext{高} = ||mathbf{u} imes mathbf{v}|| imes frac{|mathbf{w} cdot (mathbf{u} imes mathbf{v})|}{||mathbf{u} imes mathbf{v}||} = |mathbf{w} cdot (mathbf{u} imes mathbf{v})|$。

现在来看行列式 $det(A)$。
向量的混合积（或标量三重积） $mathbf{u} cdot (mathbf{v} imes mathbf{w})$ 的值恰好等于由向量 $mathbf{u}, mathbf{v}, mathbf{w}$ 构成的矩阵的行列式。
$det(A) = egin{vmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \ u_2 & v_2 & w_2 \ u_3 & v_3 & w_3 end{vmatrix} = mathbf{u} cdot (mathbf{v} imes mathbf{w})$。

我们知道混合积的性质是：$mathbf{u} cdot (mathbf{v} imes mathbf{w}) = mathbf{v} cdot (mathbf{w} imes mathbf{u}) = mathbf{w} cdot (mathbf{u} imes mathbf{v})$，并且交换任意两个向量会改变符号。
所以，行列式的值 $det(A)$ 等于这个标量三重积的值。

同样地，体积总是非负的，所以我们取行列式的绝对值 $|det(A)| = |mathbf{u} cdot (mathbf{v} imes mathbf{w})|$，这就是平行六面体的体积。
行列式的符号也反映了这三个向量的定向。如果它们构成一个右手系，行列式为正；否则为负。

2. 通过线性变换的视角（更具推广性）：
将向量 $mathbf{u}, mathbf{v}$（在二维）或 $mathbf{u}, mathbf{v}, mathbf{w}$（在三维）看作是线性变换的基向量。
在二维，$E = egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}$, $mathbf{e}_2 = egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix}$ 生成单位正方形，面积为 1。
线性变换 $T(mathbf{x}) = Amathbf{x}$ 将单位正方形映射到一个由 $T(mathbf{e}_1) = mathbf{u}$ 和 $T(mathbf{e}_2) = mathbf{v}$ 生成的平行四边形。
关键性质： 线性变换会将面积按照行列式的绝对值进行缩放。也就是说，新图形的面积是原图形面积乘以 $|det(A)|$。
由于单位正方形的面积是 1，所以由 $mathbf{u}, mathbf{v}$ 生成的平行四边形的面积就是 $1 cdot |det(A)| = |det(A)|$。

在三维，将单位立方体（由 $mathbf{e}_1, mathbf{e}_2, mathbf{e}_3$ 生成，体积为 1）通过矩阵 $A$ 映射。
线性变换会将体积按照行列式的绝对值进行缩放。
单位立方体的体积是 1，所以由 $mathbf{u}, mathbf{v}, mathbf{w}$ 生成的平行六面体的体积就是 $1 cdot |det(A)| = |det(A)|$。

2. 推广到高维：$n$ 维平行体

现在我们可以将这个概念推广到 $n$ 维空间。

考虑 $n$ 个 $n$ 维向量 $mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$。这些向量定义了一个高维的平行多面体（也称为平行体或棱形）。这个平行体是由这 $n$ 个向量的线性组合构成的所有点的集合：
$P = { c_1 mathbf{v}_1 + c_2 mathbf{v}_2 + cdots + c_n mathbf{v}_n mid 0 le c_i le 1 ext{ for all } i=1, ldots, n }$

行列式的定义：

令矩阵 $A$ 的列（或行）是这些向量：
$A = egin{pmatrix} mathbf{v}_1 & mathbf{v}_2 & cdots & mathbf{v}_n end{pmatrix}$

其行列式 $det(A)$ 是一个数值。

几何意义与证明：

核心思想是通过线性变换来理解。

1. 单位超立方体：
在 $n$ 维空间中，存在一个“单位超立方体”，它由标准基向量 $mathbf{e}_1 = (1, 0, ldots, 0)^T, mathbf{e}_2 = (0, 1, ldots, 0)^T, ldots, mathbf{e}_n = (0, 0, ldots, 1)^T$ 生成。
$C = { c_1 mathbf{e}_1 + cdots + c_n mathbf{e}_n mid 0 le c_i le 1 }$
这个单位超立方体的体积是 $1^n = 1$。

2. 线性变换的体积缩放性质：
矩阵 $A$ 定义了一个线性变换 $T(mathbf{x}) = Amathbf{x}$。
这个线性变换将标准基向量映射到我们的向量 $mathbf{v}_i$：
$T(mathbf{e}_i) = A mathbf{e}_i = mathbf{v}_i$。
因此，线性变换 $T$ 将单位超立方体 $C$ 映射到由向量 $mathbf{v}_1, ldots, mathbf{v}_n$ 生成的平行多面体 $P$。

一个重要的性质是，对于任何线性变换 $T$ 由矩阵 $A$ 定义，变换后的体积（或更一般的测度）是原体积乘以 $|det(A)|$。
即，$ ext{Volume}(T(S)) = |det(A)| cdot ext{Volume}(S)$，对于任何可测集合 $S$。

3. 证明体积与行列式的关系：
将上述性质应用于我们的情况：
$S = C$ (单位超立方体)
$T(S) = P$ (由 $mathbf{v}_1, ldots, mathbf{v}_n$ 生成的平行多面体)

我们知道 $ ext{Volume}(C) = 1$。
所以，$ ext{Volume}(P) = |det(A)| cdot ext{Volume}(C) = |det(A)| cdot 1 = |det(A)|$。

因此，由向量 $mathbf{v}_1, ldots, mathbf{v}_n$ 张成的 $n$ 维平行多面体的体积，等于由这些向量作为列（或行）构成的矩阵 $A$ 的行列式的绝对值。

关于“高维多边形”的澄清：

您提到了“高维多边形”。在数学上，当我们谈论由向量张成的空间区域时，通常使用：
二维： 平行四边形
三维： 平行六面体
高维 ($n$ 维)： 平行体 (Parallelepiped) 或 广义立方体 (Hypercube，如果是标准基向量)

多边形 (Polygon) 通常特指二维的边界图形，而其内部区域则称为多边形区域。在更高维度，我们谈论的是“体”的体积，而不是“面”的面积。您的问题应该是指由 $n$ 个向量张成的 $n$ 维空间区域的“体积”。

3. 行列式的其他性质与几何解释

行列式不仅仅表示体积，它还具有以下重要的几何解释：

线性变换对方向的影响：
如果 $det(A) > 0$，线性变换 $T$ 会保持向量集的定向（例如，右手系仍然是右手系）。
如果 $det(A) < 0$，线性变换 $T$ 会反转向量集的定向（例如，右手系变成左手系）。
如果 $det(A) = 0$，线性变换会将向量集“压扁”到更低的维度，因此形成的平行体体积为零。这对应于向量线性相关的情况。

行列式是对基向量变换的度量：
行列式是描述一个线性变换如何改变体积（或面积、长度等）的缩放因子。它量化了基向量在变换过程中如何被“拉伸”或“压缩”以及如何改变方向。

总结证明的关键点：

1. 将向量视为线性变换的基： 将 $n$ 个向量 $mathbf{v}_1, ldots, mathbf{v}_n$ 作为矩阵 $A$ 的列。矩阵 $A$ 定义了一个线性变换 $T(mathbf{x}) = Amathbf{x}$。
2. 单位超立方体的体积： 标准基向量 $mathbf{e}_1, ldots, mathbf{e}_n$ 张成的单位超立方体的体积为 1。
3. 线性变换的体积缩放性质： 线性变换 $T$ 会将一个区域的体积缩放到原体积乘以 $|det(A)|$。
4. 体积对应： $T$ 将单位超立方体精确地映射到由 $mathbf{v}_1, ldots, mathbf{v}_n$ 张成的平行体。因此，这个平行体的体积就是单位超立方体体积乘以 $|det(A)|$，即 $1 cdot |det(A)| = |det(A)|$。

这个证明依赖于线性代数的一个核心属性：线性变换如何按行列式的绝对值缩放体积。这是一个非常强大的几何直觉，也是行列式在几何学和物理学中如此重要的原因之一。

希望这个详细的解释能帮助您理解行列式与高维空间体积之间的深刻联系！

正交基

立方体的体积最容易理解。

设两个非零正交的向量

那么以他们为邻边的矩形面积为：

若是三个两两正交的非零向量，则有

于是容易将 维立方体体积公式推广为

为了方便，我将这组向量组成的矩阵记为

而正交向量总可以通过旋转得到标准正交基：

其中 是正交阵（ ）， 是对角矩阵， 是单位阵，并且

https://www.zhihu.com/video/1144305035453190144

由前面的 维立方体体积公式，恰好

所以，对于正交向量组，体积与行列式的关系如上，其中符号是为了区别左右手坐标系。

一般基

对于非正交基 ，我们该如何度量其所构成的体积？

由高等代数知识可知， 可以被正交阵 对角化

为对角阵（一组正交基）；又由上面的讨论，我们知道正交阵不改变体积，于是

所以，对于一般基而言，其体积同样等于其行列式的绝对值。

友情提示：

• 为正交阵，则