如何理解压缩感知(compressive sensing)？
压缩感知（Compressive Sensing，简称 CS）是一种颠覆性的信号采集和处理理论，它允许我们以远低于传统采样理论（NyquistShannon 采样定理）要求的采样率来精确恢复一个信号。这听起来有些违反直觉，因为我们通常认为要完整地描述一个信号，就必须以足够高的频率进行采样。然而，压缩感知正是通过巧妙地利用信号本身的内在结构（稀疏性）来突破这一限制。
为了更好地理解压缩感知，我们将从以下几个方面进行详细阐述：
1. 从传统采样到压缩感知：痛点的出现与突破
传统采样 (NyquistShannon Sampling Theorem):
核心思想: 要准确地从一个连续信号中恢复其原始信息，你需要以至少是信号最高频率两倍的频率进行采样。这个频率被称为奈奎斯特频率。
原因: 如果采样频率过低，高频信息就会在采样过程中丢失，导致“混叠”（aliasing），即使我们采样了足够多的点，也无法恢复出原始信号的真实形态。
缺点:
高采样率: 对于许多高带宽的信号（例如高清视频、高频射频信号），需要非常高的采样率，这导致：
大数据量: 产生海量的采样数据，存储和传输成本高昂。
高性能硬件: 需要高速模数转换器 (ADC) 和大量处理器资源来处理这些数据，硬件成本高昂且功耗大。
采集延迟: 尤其是对于实时采集系统，高采样率会引入不可接受的延迟。
压缩感知带来的突破:
核心思想: 如果一个信号在某个基（或字典）下是稀疏的（即只有少数非零系数），那么我们就可以使用远低于奈奎斯特频率的采样率来采集信号，并在事后通过重构算法恢复出原始信号。
关键点: 压缩感知并没有神奇地“少采集”信息，而是通过更明智的“测量方式”来捕获信息，然后利用信号的稀疏性进行“聪明的重构”。
2. 压缩感知核心概念：稀疏性 (Sparsity) 和测量矩阵 (Measurement Matrix)
要理解 CS，必须深入理解这两个核心概念：
稀疏性 (Sparsity):
定义: 一个信号是稀疏的，意味着它在某个表示域（基函数集合）下，只有少数的非零系数，而大部分系数都为零。
举例:
图像: 在小波基（Wavelet Basis）下，一张图像通常是稀疏的。它的大部分小波系数非常小（接近于零），只有少数几个大的系数代表了图像的边缘、纹理等重要特征。
音频: 在傅里叶基（Fourier Basis）下，纯净的音调信号是稀疏的，因为只有对应的频率分量有非零系数。
传感器网络: 如果只关心某个区域的少数几个传感器激活了，那么整个传感器网络的激活状态就是稀疏的。
重要性: 稀疏性是压缩感知能够以低采样率工作的基石。它告诉我们，信号的真正“信息量”可以被压缩到很少的非零系数上。如果没有稀疏性，压缩感知将无法工作。
测量矩阵 (Measurement Matrix):
作用: 测量矩阵是用来对原始信号进行线性投影的。它决定了我们如何“看”这个信号，以及如何从中提取信息。
与采样过程的关系: 在传统采样中，我们相当于使用一个“单位矩阵”乘以原始信号，进行“逐点采样”。而压缩感知使用一个与原始信号维度相比，维度更小的“测量矩阵”进行“全局测量”。
关键属性：RIP (Restricted Isometry Property) 受限等距性质:
定义: 一个测量矩阵 $Φ$ 满足 RIP，意味着它在所有稀疏信号的子空间上，都近似保持向量之间的距离不变（或者说，不会过度压缩或拉伸这些子空间中的向量）。换句话说，即使是稀疏信号，经过 $Φ$ 的投影后，其“长度”也不会发生剧烈变化。
为什么重要？ RIP 是保证我们能够从少量测量中精确恢复稀疏信号的关键数学保证。如果测量矩阵不满足 RIP，那么即使信号是稀疏的，我们也可能无法从测量结果中区分出不同的稀疏信号。
常见的测量矩阵:
随机高斯矩阵: 随机生成一个矩阵，其元素从高斯分布中抽取。
随机伯努利矩阵: 矩阵元素取值为 +1 或 1，以一定概率出现。
傅里叶矩阵的随机子集: 从完整的傅里叶矩阵中随机选择一部分行。
随机子采样 (Random Subsampling) 的数字电视 (DTCWT) 变换: 将信号先进行某种变换（如 DTCWT），然后在变换域中进行随机子采样。
“不相干性” (Incoherence): 另一个理解测量矩阵的方式是它与信号的稀疏域基的“不相干性”。如果测量矩阵的列与信号稀疏域的基向量“不相关”（例如，测量矩阵的列向量和稀疏基向量的内积都比较小），那么测量矩阵就能“捕捉”到稀疏信号的各个非零系数，并且不会将一个非零系数“泄露”到其他多个系数上。随机矩阵通常具有良好的不相干性。
3. 压缩感知过程：采集与重构
压缩感知可以分为两个主要阶段：
采集阶段 (Sensing/Measurement):
设原始信号为 $x in mathbb{R}^N$。
我们假设 $x$ 在某个基 $Psi$ 下是稀疏的，即 $x = Psi s$，其中 $s in mathbb{R}^N$ 是稀疏向量（只有 $K ll N$ 个非零元素）。
我们使用一个测量矩阵 $Φ in mathbb{R}^{M imes N}$ ($M ll N$) 对信号 $x$ 进行线性测量：
$y = Φx$
其中 $y in mathbb{R}^M$ 是测量得到的低维向量。
将 $x = Psi s$ 代入，得到：
$y = Φ(Psi s) = Theta s$
其中 $Theta = ΦPsi$ 是感知矩阵（或测量矩阵和稀疏基的乘积）。
重构阶段 (Reconstruction):
问题: 我们已知 $y$ 和 $Φ$（有时也知道 $Psi$ 或 $Theta$），需要恢复出原始信号 $x$（或者其稀疏表示 $s$）。
挑战: 我们有 $M$ 个方程，但有 $N$ 个未知数（如果恢复 $x$），或者有 $K$ 个非零系数（如果恢复 $s$）。而且由于 $M < N$，这是一个“欠定”方程组，通常有无穷多解。
利用稀疏性: 压缩感知正是利用了信号的稀疏性来解决这个欠定问题。我们寻找的是所有可能的信号 $x'$ 中，在稀疏基下最稀疏的那个，使得 $Φx' = y$。
重构算法: 这就变成了一个优化问题。常用的重构算法包括：
L1 范数最小化 (Lasso): 寻找具有最小 L1 范数（即稀疏性度量）的解。
$hat{s} = arg min_{s'} |s'|_1 quad ext{subject to} quad y = Theta s'$
然后通过 $hat{x} = Psi hat{s}$ 恢复原始信号。
L1 范数最小化也被称为“贪婪算法”的某些变种（如 OMP、CoSaMP）能够更有效地找到稀疏解。
贪婪算法 (Greedy Algorithms):
Orthogonal Matching Pursuit (OMP): 迭代地选择与当前残差最相关的稀疏基向量，并更新残差，直到达到预设的稀疏度。
CoSaMP (Compressive Sampling Matching Pursuit): 类似 OMP，但每次迭代会选择多个基向量，能够更快地收敛。
其他: BP (Basis Pursuit)、iterative thresholding 等方法。
重构的条件: 为了保证能够从 $y$ 中精确恢复出 $x$（或 $s$），测量矩阵 $Φ$ 和稀疏域基 $Psi$ 之间需要满足一定的“不相干性”条件，这通常与 RIP 密切相关。简单来说，就是 $Φ$ 的测量方式不能“破坏”信号的稀疏性。
4. 压缩感知的关键要素总结
稀疏性 (Sparsity): 信号在某个基下具有稀疏表示，这是 CS 的核心假设。
测量矩阵 (Measurement Matrix): 用于对信号进行线性投影的矩阵，需要满足 RIP 或良好的不相干性。通常是随机的。
重构算法 (Reconstruction Algorithms): 利用稀疏性解决欠定方程组，从少量测量中恢复原始信号。
5. 压缩感知带来的优势与应用领域
优势:
降低采样率: 大幅减少了采样点数，从而降低了数据量。
降低硬件成本: 不需要高速 ADC 和复杂的采样前端，可以使用低速、低功耗的硬件。
提高采集速度: 可以更快地完成信号采集过程。
克服硬件限制: 在传感器等硬件资源受限的情况下尤为有用。
应用领域:
医学成像: MRI（核磁共振成像）是 CS 最成功的应用领域之一。CS 可以在更短的扫描时间内获得更高质量的 MRI 图像，减少患者等待时间，并降低运动伪影。
信号处理: 通信系统、音频信号处理、图像和视频压缩。
雷达和声纳: 降低采样频率，提高探测能力。
科学测量: 天文观测、地质勘探等。
通信: 传感器网络数据采集、分布式信号处理。
机器学习: 特征选择、降维。
6. 举个简单的类比
想象一下你有一本厚厚的书（原始信号 $x$），你需要在不打开每一页的情况下了解书的内容。
传统采样: 你必须逐字逐句地阅读这本书，以确保不错过任何信息。这就像高采样率。
压缩感知: 你发现这本书的特点是，大部分是空白页，只有一些关键的句子（稀疏性）包含了核心信息。
测量: 你不是逐字阅读，而是随机地选择一些页面，并记下这些页面上的内容（测量值 $y$）。例如，你可能只读取第 5 页的第 3 行，第 17 页的第 10 行等。这些选择页面的方式就是你的测量矩阵 $Φ$。
重构: 你收集了这些随机页面上的少量信息。现在，你需要从这些零散的信息中，推断出整个书的内容。你会利用“书里大部分是空白页，只有少数几句是关键信息”这个稀疏性假设，通过一种聪明的重构算法，猜测哪些页面（或哪些词）最有可能包含信息，然后把它们“组合”起来，重构出整个书的内容。如果你选择的页面是“随机”且“不相关”的（满足 RIP），并且书确实是稀疏的，你很有可能能准确地重构出书的内容。
7. 需要注意的几个点
信号必须是稀疏的: 这是最关键的前提。如果信号在任何常用的基下都不是稀疏的，压缩感知就无法有效工作。
测量矩阵的设计很重要: 测量矩阵的性质直接影响重构的成功率和精度。随机矩阵通常具有良好的通用性。
重构算法的计算复杂度: 虽然采集过程简单高效，但重构过程可能需要一定的计算量，尤其是在处理大规模信号时。然而，这通常比传统方法在采集端所需的复杂硬件和数据处理要优越。
近似重构: 在实际应用中，重构往往是近似的，尤其是在存在噪声的情况下。重构的精度取决于稀疏度、测量率和重构算法的质量。
总结来说，压缩感知是一种利用信号稀疏性来突破传统采样率限制的理论。它通过巧妙地设计测量过程，以极低的采样率捕获信号的本质信息，然后利用数学算法从这些少量信息中恢复出原始信号。这极大地推动了许多信号采集和处理领域的发展，尤其是在硬件成本和效率方面带来了革命性的改变。
网友意见
泻药，很高兴参加此次“心动信号”圆桌。
压缩感知(Compressed Sensing)，曾今在2008 - 2013那段时间大红大紫，在信号处理，信息论，通信，甚至计算机视觉领域的热度，直逼如今的Deep Learning，几乎称霸了各大信号处理会议和期刊。
这波热潮的真正开端，应该是在06-07年，Terence Tao，Candès，Donoho他们几个搞出来的，基于sparsity prior的compressed sensing框架的时候。这套compressed sensing框架和配套理论证明了，在采样率低于critical sampling rate的时候，本来ill-posed的信号恢复和重建问题，可以在通过额外的sparisty prior的帮助下，达到巧妙的信号完美恢复。不仅如此，Tao他们还推导了Restricted Isotropic Property (RIP) 等一系列理论，证明了为了达到完美恢复，采样矩阵和信号稀疏度需要满足的条件和相互之间的关系。这为之后Compressed Sensing的发展和应用奠定了理论基础。
这一套Compressed Sensing的体系缔造了上一个信号处理的春天，大量的项目和学者投入研究，相关的工作无数，实在没法在这么短篇幅里全部总结。
我这里只用一些简单的例子，科普以下Compressed Sensing的基本概念，讲解一些应用，以及澄清几个常见的误区（包括题主在问题注释里面提到的几个问题）。我在这个答案里面，不会使用数学公式，因为知乎的context下，其实并不适宜讨论数学问题...
1. 什么是压缩感知？
压缩感知，常见的对应英文词汇包括compressed sensing，compressive sensing, compressive sampling等等，其实都是一个意思。在这里我们一律简称为CS。
要理解CS，要从sensing和compressed两个词入手。
（1）什么是感知（sensing）?
Sensing描述的是，为了表达和恢复某一个信号或者对象，对其采取某种感知手段（这里的感知包括了对图像的imaging, 对连续信号的sampling,等等），从而得到这种感知模态下的measurement，以便之后的信号重建以及分析等应用，这样一个过程。
我们拿图像重建举一个例子：
如果我们要感知一个10x10像素的图像，最简单最直接的方式，就是直接在空间域里面感知，得到并储存图像的100个像素点,这样的话，你可以通过把这100个像素点排列为矩阵的方式，重建这副目标图像。这里获取这100个点的过程，就称之为sensing。
（2）什么是压缩（compressed）？
在(1)的例子中，我们感知了一个10x10图像全部的100个像素点，我们一般称这种sensing叫做全采样（full sampling），因为目标信号是一个100维的信号，而你也获得了对应的100维measurement，你可以很直接地完美恢复图像。这样的感知方式没有任何的压缩，i.e., 感知到的维度=信号本身的维度。当然你也可以采集更高维度的measurement，我们称之为over-sampling / over-sensing， 但多余的采样并不会进一步提高你的图像恢复（信号已经达到完美恢复了）。
在不借助信号先验的前提下，我们把需要的最少的感知样本维度（这里是100），记做是critical sampling rate。那么你也可以选择感知少于critical rate的measurement，比如你只采集98个点，这种情况我们称之为是under-sampling，这样就起到了对full sensing的压缩，也就是compressed了。
（3）CS要解决什么问题？
CS要解决的是，如何在under-sampling的情况下，依然可以完美地恢复目标图像。
经典的信号处理体系是建立在经典的线性代数和统计的基础上的，那么处理这类under-sampling的重建问题，类似于你需要解100个未知数，却只有98个线性方程组。
按照经典信号处理的理论，这类问题是存在无穷多解的（无法唯一确定地完美恢复目标图像）。我们把这类问题成为病态问题（ill-posed problem），而compressed sensing就是用来解决ill-posed的inverse problems（逆问题）。
不同于咱们给的例子中，感知是直接幼稚地在空间域进行under-sampling，所谓compressed sensing，其实就是一种更加smart的under-sampling的感知，并且在借助有效的信号先验的帮助下，追求达到对图像的完美重建。
但是为什么Compressed Sensing可以做到这一点呢？听上去很神奇，但这里主要的额外帮助来自于信号的先验。咱们还是用之前分析的恢复10x10图像的例子：
在不借助信号先验的条件下，通过98个线性方程组，解100个未知数，理论上的解空间的自由度会有一个二维平面那么大，而这平面上的每个点都可以是我们恢复的图像，没有唯一解。但如果我们引入了一个信号固有的先验：比如真实的图像的解只能在某条线上。这就相当于我们在98个线性方程上，外加了一个linear constraint。由这个line和我们的解空间自由的平面的交点，就唯一确定了一个解：这个解既满足我们的98个线性方程组，又在我们的linear constraint上。这个例子其实就解了一个极其简化的compressed sensing问题。
2. 狭义 vs 广义的Compressed Sensing
我们经常讨论的compressed sensing (CS)，在方法层面上，有狭义和广义两种概念下的定义：
（1）狭义的CS
狭义的CS，是完全follow之前Tao他们在06-07提出的框架以及理论证明，只利用信号的稀疏性(sparsity），作为先验，帮助信号恢复。狭义的CS有比较完备的理论研究：比如如何设计Sensing的模态和方式，使得恢复信号质量最高(i.e., error最小）。
在这套理论下，要求采样矩阵和稀疏字典的coherence尽量要小，从而在给定某个sampling rate和sparsity的条件下，达到最佳的图像恢复。因为先验是sparsity，随机的sampling matrix成为了一个不错的sensing系统选择。
但值得提出的是，random sampling也见得是绝对意义上的最佳的sensing matrix。只不过用random sampling matrix，可以证明他和transform domain下的sparsity constraint，有比较小的coherence。在实际应用中，满足sparsity的信号，其实是在a union of low-dimensional subspaces里面的。在不确定non-zero的support的情况下，分析sensing matrix和general case下的sparsity constraint之间的coherence其实并不容易。所以用random sampling是个不错的选择。
（2）广义的CS
广义的CS，可以使用一切有效且可以利用的信号先验，帮助信号重建以及解决ill-posed inverse problems。实际上除了信号的可稀疏性以后，还有很多被证明有用的信号模型：包括low-rank model, statistical model, non-local mean，甚至包括深度先验(deep prior），都可以用来帮助图像重建。除了稀疏先验以外的先验，不一定有在CS框架下的理论和重建保证。
在广义定义下，只要是通过signal prior建立regularizer，构造一个优化问题解决ill-posed problem，都可以算compressed sensing。包括最新的一些利用plug-and-play拿deep prior做图像重建的问题。
随着CS应用的发展，i.e., 越来越多的论文灌水需要（大雾，划掉），越来越多的工作开始关注广义的CS，并且研究除了sparsity以外，不同prior之间对重建的增益。这样的框架，可以把当下最火的deep learning也包括在内。
3. 在图像处理的环境下，哪些任务是基于compressed sensing框架？
Compressed sensing在图像处理和计算成像领域，有很多应用。包括但不限于：
(1) 图像修复问题 - image super-resolution, interpolation, inpainting, etc. (Image Denoising不是CS问题）
(2) 计算成像问题 - low-dose CT, undersampled MRI, etc.
(3) 图像合成 - multi-channel measurement fusion, hyperspectral / multispectral fusion, etc.
第一项里面，inpainting应该是最好理解的：图像的一部分像素点缺失，恰好和我们在第一部分里面讨论的例子很像：在不借助外部先验的条件下，回复缺损的像素点，本身是病态问题。换句话说，你可以拿任何大小的像素点补全缺损的部分。但考虑到图像本身的性质和先验，就可以得到看起来最自然，也质量最高的inpainting结果。这个问题本质，其实就是在空间域里面的compressed sensing问题。
第二项里面，医学成像是compressed sensing得到商业应用的一个很重要部分。比如前段时间西门子的，基于compressed sensing的一台MRI扫描仪就获得了美国FDA的许可，开始应用于临床。总体来说，医学成像对compressed sensing感兴趣，主要是（但不限于）为了解决 (1) 发射过大 和 (2) 扫描过慢 这两个问题。比如 CT 就是一种带放射性的成像方式，相比于扫一般物体，可以无节制地增大扫描精度，扫人体必须要对放射量（dose）有限制。但如果不使用compressed sensing的技术，得到的可能就是非常低质量或者有artifacts的图像。再比如 MRI ，他本身是一个没有放射性的成像方式，但最大的问题是，经典 MRI 扫描人体可能会非常慢，这会对病人造成不舒适。Compressed Sensing可以实现在降采样（更快）的前提下，依然保证成像的质量。
第三项里面，可以认为多通道的采样，都是针对同一个目标的降采样。同样的，可以利用一个目标图像的固有属性，i.e., 信号先验，来帮助融合以及重建信号。相较于single channel的sensing问题，这类更加复杂的compressed sensing挑战，需要关注的不光是开发信号本身的先验，还有如何利用cross-channel correlation，使得不同的sensing matrix之间的关系得到最大化的利用。
4. 一些常见的误区：
（1）Compressed Sensing这类型的概念，最早是Tao他们提出的。
这个其实是不准确的：利用信号先验，包括sparsity等等，来解决病态逆问题，这类框架和概念其实早在80 / 90年代就已经被信号处理领域研究，只不过没有叫Compressed Sensing这个名字而已。但可惜的是之前的研究很多并没有提供配套理论以及分析采样和先验的数学关系。所以Tao他们搞的CS体系，真正的贡献以及突破，是提供了比较完备的理论支持和保证，从而真正说服大家，并且带动了高热度的科研投入。
（2）Compressed Sensing只能用random sampling，并且只能用sparsity prior。
在正文里面，我已经澄清了：
(i) random sampling在用sparsity prior的信号重建问题里，是个不错的sensing system，因为他和sparsity prior有较小的coherence。但并不是说random sampling就是绝对意义上的最佳选择。
(ii) 在广义的CS下，sparsity并不是唯一可用的signal prior。如果要回归到Tao他们的经典CS框架下，确实大量的理论证明，只讨论了sparsity作为prior的情况。但这并不能局限其他prior被应用到compressed sensing的应用中去。
（3）Compressed Sensing已经过时和完蛋了。
我记得前年的icassp，专门有一个panel discussion在讨论“Is compressed sensing dead?”
我的看法是：狭义的compressed sensing似乎已经有了比较完备的理论体系，并且有足够多的实践了。但这并不证明这套compressed sensing的框架已经过时了。事实上，广义的compressed sensing正在被应用到各种有趣的实际问题中，而且如今机器学习的热潮，带动了利用数据驱动的方式主动学习信号先验的可能性。我的很多研究也在关注这一块儿，并且我认为，compressed sensing never dies, it just becomes more flexible。比如我博士期间的论文，主要就是关注blind compressed sensing，也就是认为signal prior不再是事先可知（blind），而是通过数据驱动的方式去获取。这样的先验可以对于你将要处理的数据最优化，从而达到更加好的信号重建。
所以，相较于悲观和担忧，我们做信号处理和compressed sensing的学者，更应该思考的是，如何不再固步自封，而去拥抱最新的技术，使得经典的sensing框架更加灵活。
最后引用道德经里面的一句话：“执古之道，以御今之有”。
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