在「扩展式博弈」中，「序贯理性」「子博弈精炼」和「逆向归纳法」的联系与区别是什么？
在博弈论的分析中，尤其是在处理“扩展式博弈”（ExtensiveForm Games）这类描述了一系列决策步骤和信息披露的博弈时，“序贯理性”（Sequential Rationality）、“子博弈精炼”（Subgame Perfection）和“逆向归纳法”（Backward Induction）是三个核心概念，它们之间既紧密联系，又各有侧重。要理解它们，我们不妨一步步地拆解。
序贯理性：个体决策的“当下最优”
首先，我们来看看“序贯理性”。这个概念的本质是关于个体在每个信息集上的最优决策。在扩展式博弈中，玩家会在不同的时间点做出决策，而且他们所拥有的信息可能随着博弈的进行而变化。
核心思想： 无论博弈进行到哪个阶段，玩家都应该选择一个能够最大化其期望收益的策略，前提是他们相信其他玩家也会如此行事。更重要的是，这种最优性是条件性的——它取决于玩家在当前信息集所拥有的信息，以及他们对未来所有玩家行动的预期。
怎么理解？ 想象你在一个多层迷宫里探险，每个岔路口都需要你做出选择。序贯理性意味着，你在任何一个岔路口，都应该根据你当前所拥有的关于迷宫布局（也就是你所处的信息集）以及你对后面所有岔路口可能发生情况的判断，来选择那个最有可能让你最终到达宝藏的路径。即使你之前做了一个选择，导致你进入了一个你并不期望的岔路口，你在那个新的岔路口依然要做出最优的决策，而不是因为之前的选择“不理想”就随意乱选。
关键点：
信息集（Information Set）： 这是序贯理性的关键所在。玩家的决策是在特定的信息集上做出的，他们可能无法区分同一个信息集中的不同节点，但他们会根据该信息集内的所有可能性来选择。
对未来的预期： 序贯理性要求玩家不仅考虑当下的选择，还要考虑这个选择对未来博弈走向的影响，以及其他玩家在未来可能采取的策略。
自我实现的最优性： 它是一个关于个体理性行为的假设，强调在每个可能出现的决策点上都做出符合自己利益最大化的选择。
子博弈精炼：对序贯理性的全局升华
接下来是“子博弈精炼”。这个概念是对序贯理性的一种更强的要求，它不仅仅关注全局最优，更是将这种理性应用到博弈的每一个“子博弈”中。
核心思想： 一个博弈的子博弈精炼策略组合，是所有子博弈中的序贯理性策略组合。
怎么理解？ 在扩展式博弈中，当我们从某个信息集开始，并且这个信息集只包含一个博弈节点（即玩家知道自己处于这个精确的节点上），那么从这个节点开始到博弈结束的整个过程，就构成了一个“子博弈”。子博弈精炼就是要确保，在每一个可能的子博弈的起始点，玩家的行为都符合序贯理性。
举个例子，如果一个博弈可以被看作是一个包含若干独立小博弈的大博弈，那么子博弈精炼要求，不仅在大博弈的起始处玩家要理性，在进入任何一个小博弈的起始处，玩家也都要严格遵循序贯理性的原则。即使某个子博弈在最优策略组合下永远不会发生，子博弈精炼依然要求在该子博弈的起始点存在一个序贯理性的策略。
与序贯理性的关系：
包含与被包含： 子博弈精炼要求的是“所有子博弈都是序贯理性的”，所以子博弈精炼策略组合必然是序贯理性的。但反过来，一个序贯理性的策略组合不一定是子博弈精炼的，因为它可能在一些永远不会发生的子博弈中包含了非理性的策略。
“不可威胁”性： 子博弈精炼的核心在于消除了“虚张声势”或“不合逻辑的威胁”。在一个子博弈中，如果某个策略不是序贯理性的（比如包含了某种不合理的威胁或承诺），那么包含这种策略的全局策略就不是子博弈精炼的。
关键点：
子博弈的识别： 理解子博弈精炼的前提是能够准确识别博弈中的所有子博弈。
淘汰非序贯理性策略： 它是一个筛选机制，剔除了那些即使在非发生状态下也包含非理性决策的策略。
逆向归纳法：实现子博弈精炼的工具
最后，“逆向归纳法”。这更多的是一种求解和验证子博弈精炼策略的方法，而不是一个独立于子博弈精炼的策略概念。
核心思想： 从博弈的最后一步开始，向前推导，逐一确定每个信息集上的最优策略。
怎么理解？ 想象你在下棋，你知道最终的胜利条件。逆向归纳法就像是倒着思考：最后一步最可能发生什么？如果到了最后一步，某个玩家会怎么选择才能赢？知道了这一步，我们就可以往前推一步，看在倒数第二步时，玩家为了能导向那个“最优的最后一步”，会怎么做。如此一步步回溯，直到博弈的起点。
操作过程：
1. 找到“最终节点”的子博弈： 在博弈树的末端，那些直接导致游戏结束的节点，形成了一些最简单的子博弈（通常只有一个决策点）。
2. 在这些末端子博弈中应用序贯理性： 对于在这些末端子博弈中做出决策的玩家，确定他们的最优选择。
3. 向前回溯： 将这些末端子博弈的最优结果作为已知信息，向前移动到更早的决策节点。在这些节点上，玩家会考虑他们当前的选择导向的未来可能结果（这些结果已经根据序贯理性确定），并选择能最大化其期望收益的策略。
4. 重复此过程： 一直回溯到博弈的起始点。
与子博弈精炼的关系：
实现工具： 逆向归纳法是找到子博弈精炼策略的一种主要方法，尤其适用于有限、完美信息（即玩家在任何时候都知道博弈进行到哪一点）的博弈。
保证子博弈精炼性： 如果一个博弈可以使用逆向归纳法来求解，并且其假设条件都满足，那么通过逆向归纳法得到的策略组合就一定是子博弈精炼的。
关键点：
工具而非目标： 它是一种方法论，用于找到符合子博弈精炼要求的策略。
适用性： 对有限博弈、完美信息博弈效果显著。在无限博弈或不完美信息博弈中，应用逆向归纳法会变得复杂，甚至需要其他工具（如不动点定理）来辅助。
联系与区别总结
让我们用一个表格来梳理一下它们之间的关系：
| 特征 | 序贯理性 (Sequential Rationality) | 子博弈精炼 (Subgame Perfection) | 逆向归纳法 (Backward Induction) |
| | | | |
| 本质 | 个体在任何信息集上的最优决策 | 所有子博弈中的序贯理性 | 求解子博弈精炼策略的方法 |
| 作用对象 | 单个信息集上的决策 | 整个博弈树上的策略组合（通过要求所有子博弈的序贯理性实现） | 博弈树中的决策节点和策略 |
| 要求强度 | 相对“基础”的理性要求 | 对序贯理性在所有可识别子博弈上的延伸，更强的理性要求 | 实现子博弈精炼的手段，其有效性依赖于博弈的结构 |
| 是否是策略？ | 是，描述了玩家在特定信息集上的决策规则 | 是，描述了玩家在整个博弈过程中的行动计划，要求在所有子博弈中都理性 | 是求解方法，但最终产出的是符合子博弈精炼要求的策略 |
| 与其他关系 | 子博弈精炼的必要条件；逆向归纳法是在子博弈精炼的框架下进行的 | 蕴含序贯理性；通常通过逆向归纳法来寻找和证明 | 是寻找和证明子博弈精炼策略的主要工具，依赖于序贯理性来一步步推导 |
| 可能的问题 | 在不存在的子博弈中可能包含非理性策略 | 对不存在的子博弈也做出了理性要求，有时显得过于苛刻 | 对有限、完美信息博弈效果好，对其他类型博弈应用受限，有时会产生“非直觉”结果 |
核心的区别与联系在于：
序贯理性 是一个关于局部（信息集）最优决策的基本假设。
子博弈精炼 将这种理性推广到整个博弈的每一个“局部”（子博弈），从而消除了不合逻辑的威胁和承诺，保证了策略的整体可信度。
逆向归纳法 则是实现和证明子博弈精炼策略的有力工具，它提供了一种从博弈末端向前推导的系统方法，确保了每个节点的决策都是基于对未来最优结果的合理预期。
你可以把它们想象成：序贯理性是“在任何一个房间里都要做最聪明的选择”，子博弈精炼是“不管你最终会进入哪个房间，你都必须确保你在每个可能进入的房间里都做了最聪明的选择”，而逆向归纳法则是“从房间尽头的地图开始，一步步往前推，规划出你到达每个房间时最聪明的路线”。
正是因为有了子博弈精炼和逆向归纳法这样的概念，我们才能更深入地分析博弈参与者的理性行为，尤其是在那些包含复杂时间序列和信息不对称的现实博弈场景中。
序贯理性：个体决策的“当下最优”
首先，我们来看看“序贯理性”。这个概念的本质是关于个体在每个信息集上的最优决策。在扩展式博弈中，玩家会在不同的时间点做出决策，而且他们所拥有的信息可能随着博弈的进行而变化。
核心思想： 无论博弈进行到哪个阶段，玩家都应该选择一个能够最大化其期望收益的策略，前提是他们相信其他玩家也会如此行事。更重要的是，这种最优性是条件性的——它取决于玩家在当前信息集所拥有的信息，以及他们对未来所有玩家行动的预期。
怎么理解？ 想象你在一个多层迷宫里探险，每个岔路口都需要你做出选择。序贯理性意味着，你在任何一个岔路口，都应该根据你当前所拥有的关于迷宫布局（也就是你所处的信息集）以及你对后面所有岔路口可能发生情况的判断，来选择那个最有可能让你最终到达宝藏的路径。即使你之前做了一个选择，导致你进入了一个你并不期望的岔路口，你在那个新的岔路口依然要做出最优的决策，而不是因为之前的选择“不理想”就随意乱选。
关键点：
信息集（Information Set）： 这是序贯理性的关键所在。玩家的决策是在特定的信息集上做出的，他们可能无法区分同一个信息集中的不同节点，但他们会根据该信息集内的所有可能性来选择。
对未来的预期： 序贯理性要求玩家不仅考虑当下的选择，还要考虑这个选择对未来博弈走向的影响，以及其他玩家在未来可能采取的策略。
自我实现的最优性： 它是一个关于个体理性行为的假设，强调在每个可能出现的决策点上都做出符合自己利益最大化的选择。
子博弈精炼：对序贯理性的全局升华
接下来是“子博弈精炼”。这个概念是对序贯理性的一种更强的要求，它不仅仅关注全局最优，更是将这种理性应用到博弈的每一个“子博弈”中。
核心思想： 一个博弈的子博弈精炼策略组合，是所有子博弈中的序贯理性策略组合。
怎么理解？ 在扩展式博弈中，当我们从某个信息集开始，并且这个信息集只包含一个博弈节点（即玩家知道自己处于这个精确的节点上），那么从这个节点开始到博弈结束的整个过程，就构成了一个“子博弈”。子博弈精炼就是要确保，在每一个可能的子博弈的起始点，玩家的行为都符合序贯理性。
举个例子，如果一个博弈可以被看作是一个包含若干独立小博弈的大博弈，那么子博弈精炼要求，不仅在大博弈的起始处玩家要理性，在进入任何一个小博弈的起始处，玩家也都要严格遵循序贯理性的原则。即使某个子博弈在最优策略组合下永远不会发生，子博弈精炼依然要求在该子博弈的起始点存在一个序贯理性的策略。
与序贯理性的关系：
包含与被包含： 子博弈精炼要求的是“所有子博弈都是序贯理性的”，所以子博弈精炼策略组合必然是序贯理性的。但反过来，一个序贯理性的策略组合不一定是子博弈精炼的，因为它可能在一些永远不会发生的子博弈中包含了非理性的策略。
“不可威胁”性： 子博弈精炼的核心在于消除了“虚张声势”或“不合逻辑的威胁”。在一个子博弈中，如果某个策略不是序贯理性的（比如包含了某种不合理的威胁或承诺），那么包含这种策略的全局策略就不是子博弈精炼的。
关键点：
子博弈的识别： 理解子博弈精炼的前提是能够准确识别博弈中的所有子博弈。
淘汰非序贯理性策略： 它是一个筛选机制，剔除了那些即使在非发生状态下也包含非理性决策的策略。
逆向归纳法：实现子博弈精炼的工具
最后，“逆向归纳法”。这更多的是一种求解和验证子博弈精炼策略的方法，而不是一个独立于子博弈精炼的策略概念。
核心思想： 从博弈的最后一步开始，向前推导，逐一确定每个信息集上的最优策略。
怎么理解？ 想象你在下棋，你知道最终的胜利条件。逆向归纳法就像是倒着思考：最后一步最可能发生什么？如果到了最后一步，某个玩家会怎么选择才能赢？知道了这一步，我们就可以往前推一步，看在倒数第二步时，玩家为了能导向那个“最优的最后一步”，会怎么做。如此一步步回溯，直到博弈的起点。
操作过程：
1. 找到“最终节点”的子博弈： 在博弈树的末端，那些直接导致游戏结束的节点，形成了一些最简单的子博弈（通常只有一个决策点）。
2. 在这些末端子博弈中应用序贯理性： 对于在这些末端子博弈中做出决策的玩家，确定他们的最优选择。
3. 向前回溯： 将这些末端子博弈的最优结果作为已知信息，向前移动到更早的决策节点。在这些节点上，玩家会考虑他们当前的选择导向的未来可能结果（这些结果已经根据序贯理性确定），并选择能最大化其期望收益的策略。
4. 重复此过程： 一直回溯到博弈的起始点。
与子博弈精炼的关系：
实现工具： 逆向归纳法是找到子博弈精炼策略的一种主要方法，尤其适用于有限、完美信息（即玩家在任何时候都知道博弈进行到哪一点）的博弈。
保证子博弈精炼性： 如果一个博弈可以使用逆向归纳法来求解，并且其假设条件都满足，那么通过逆向归纳法得到的策略组合就一定是子博弈精炼的。
关键点：
工具而非目标： 它是一种方法论，用于找到符合子博弈精炼要求的策略。
适用性： 对有限博弈、完美信息博弈效果显著。在无限博弈或不完美信息博弈中，应用逆向归纳法会变得复杂，甚至需要其他工具（如不动点定理）来辅助。
联系与区别总结
让我们用一个表格来梳理一下它们之间的关系：
| 特征 | 序贯理性 (Sequential Rationality) | 子博弈精炼 (Subgame Perfection) | 逆向归纳法 (Backward Induction) |
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| 本质 | 个体在任何信息集上的最优决策 | 所有子博弈中的序贯理性 | 求解子博弈精炼策略的方法 |
| 作用对象 | 单个信息集上的决策 | 整个博弈树上的策略组合（通过要求所有子博弈的序贯理性实现） | 博弈树中的决策节点和策略 |
| 要求强度 | 相对“基础”的理性要求 | 对序贯理性在所有可识别子博弈上的延伸，更强的理性要求 | 实现子博弈精炼的手段，其有效性依赖于博弈的结构 |
| 是否是策略？ | 是，描述了玩家在特定信息集上的决策规则 | 是，描述了玩家在整个博弈过程中的行动计划，要求在所有子博弈中都理性 | 是求解方法，但最终产出的是符合子博弈精炼要求的策略 |
| 与其他关系 | 子博弈精炼的必要条件；逆向归纳法是在子博弈精炼的框架下进行的 | 蕴含序贯理性；通常通过逆向归纳法来寻找和证明 | 是寻找和证明子博弈精炼策略的主要工具，依赖于序贯理性来一步步推导 |
| 可能的问题 | 在不存在的子博弈中可能包含非理性策略 | 对不存在的子博弈也做出了理性要求，有时显得过于苛刻 | 对有限、完美信息博弈效果好，对其他类型博弈应用受限，有时会产生“非直觉”结果 |
核心的区别与联系在于：
序贯理性 是一个关于局部（信息集）最优决策的基本假设。
子博弈精炼 将这种理性推广到整个博弈的每一个“局部”（子博弈），从而消除了不合逻辑的威胁和承诺，保证了策略的整体可信度。
逆向归纳法 则是实现和证明子博弈精炼策略的有力工具，它提供了一种从博弈末端向前推导的系统方法，确保了每个节点的决策都是基于对未来最优结果的合理预期。
你可以把它们想象成：序贯理性是“在任何一个房间里都要做最聪明的选择”，子博弈精炼是“不管你最终会进入哪个房间，你都必须确保你在每个可能进入的房间里都做了最聪明的选择”，而逆向归纳法则是“从房间尽头的地图开始，一步步往前推，规划出你到达每个房间时最聪明的路线”。
正是因为有了子博弈精炼和逆向归纳法这样的概念，我们才能更深入地分析博弈参与者的理性行为，尤其是在那些包含复杂时间序列和信息不对称的现实博弈场景中。
网友意见
sub-game perfection要求类似动态规划：在path上每个子问题(sub game)的local solution (NE)都是整体问题(whole game tree) 的global solution (SPE)的一部分
sequential rationality是对解的性质做要求，每个solution都等于best reply的联立不动点
sub-game perfection的问题主要两类
一个是over sensitive
PBE（Out,L,l, pi<1/3）就不是sub-prefect
另一个就是sub game perfection does not prescribe best replies at all information sets
Kreps and Wilson的sequential equilibrium比sub perfection更接近动态规划,要求考虑到all information sets上的Nash Equ作为requirement ；同时用颤抖手的perfection对belief做要求
然后问题来了，perfection在normal form和extensive form上的要求不一样
AKA,有的战略可能在extensive form上满足perfection但在normal form上不满足，反之亦然
于是更进一步的考虑就是properness，结论就是van Damme （1984）
每个proper equilibrium 都有一个等价的quasi-perfect equilibrium
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