一个球从一米自由下落，假设没有空气阻力，每次反弹损失一半能量，最终它会停下来吗？
当然，这颗球最终会停下来。我们可以从物理学的角度来详细解释一下。
首先，我们来看球下落到地面时的动能。在自由落体运动中，物体下落的高度越高，其重力势能就越大。当它接触地面时，这部分重力势能就转化为了动能。我们假设球的质量是 $m$（虽然我们不需要知道具体数值，但为了概念清晰），初始高度是 $h_0 = 1$ 米。
根据能量守恒定律，在没有空气阻力的情况下，球下落到地面时获得的动能（也就是它撞击地面的速度所对应的动能）等于它下降过程中损失的重力势能。这个动能可以表示为 $frac{1}{2}mv_0^2$，其中 $v_0$ 是球第一次接触地面时的速度。而重力势能的损失等于 $mgh_0$，其中 $g$ 是重力加速度（大约是 $9.8 ext{ m/s}^2$）。
所以，第一次撞击地面时的动能 $E_0 = mgh_0 = mg imes 1$ 焦耳。
接下来是反弹。题目中说“每次反弹损失一半能量”。这里的“能量”指的是球在反弹过程中所拥有的动能。也就是说，球第一次弹起时所获得的动能，是它第一次撞击地面时动能的一半。
第一次反弹后上升的高度 ($h_1$)：
球第一次反弹时获得的动能是 $E_1 = frac{1}{2}E_0 = frac{1}{2}mgh_0$。
当球以这个动能向上弹起时，它会继续向上运动，直到它的动能全部转化为重力势能。那么它能达到的最大高度 $h_1$ 可以通过 $mgh_1 = E_1$ 来计算。
所以，$mgh_1 = frac{1}{2}mgh_0$。
约去 $mg$，我们得到 $h_1 = frac{1}{2}h_0 = frac{1}{2} imes 1$ 米 $= 0.5$ 米。
第二次反弹后上升的高度 ($h_2$)：
球第二次下落到地面时，其动能就是它第一次反弹后上升到最高点时所具有的重力势能，即 $E_1$。
第二次撞击地面时，它又会损失一半的能量。所以，第二次反弹后获得的动能是 $E_2 = frac{1}{2}E_1 = frac{1}{2} imes (frac{1}{2}E_0) = (frac{1}{2})^2 E_0$。
同理，第二次反弹后能达到的最大高度 $h_2$ 满足 $mgh_2 = E_2$。
所以，$mgh_2 = (frac{1}{2})^2 mgh_0$。
约去 $mg$，我们得到 $h_2 = (frac{1}{2})^2 h_0 = frac{1}{4} imes 1$ 米 $= 0.25$ 米。
我们可以看到一个规律：每次反弹后，球能达到的高度是前一次反弹高度的一半。
所以，第三次反弹后上升的高度是 $h_3 = frac{1}{2}h_2 = (frac{1}{2})^3 h_0 = frac{1}{8}$ 米。
第四次反弹后上升的高度是 $h_4 = (frac{1}{2})^4 h_0 = frac{1}{16}$ 米。
依此类推，第 $n$ 次反弹后上升的高度是 $h_n = (frac{1}{2})^n h_0$。
既然每次反弹后，球能达到的高度都在不断减小，并且是按比例减小的，那么这个高度最终会趋近于零。
当球上升的高度趋近于零时，它的速度也必然趋近于零。当速度为零时，它就停止运动了。
从数学上来说，我们是在计算一个无穷级数：
第一次下落的高度：$h_0 = 1$
第一次反弹后上升高度：$h_1 = frac{1}{2}h_0$
第二次反弹后上升高度：$h_2 = frac{1}{2}h_1 = (frac{1}{2})^2 h_0$
第三次反弹后上升高度：$h_3 = frac{1}{2}h_2 = (frac{1}{2})^3 h_0$
……
第 $n$ 次反弹后上升高度：$h_n = (frac{1}{2})^n h_0$
虽然理论上这个过程会发生无穷多次，但每次弹起的最高高度都在以一个固定的比例（1/2）衰减。这个过程可以被看作是一个等比数列的求和（虽然我们关注的不是总高度，而是每次弹起的高度会趋于零）。
更重要的是，我们可以考虑它每次弹跳所花费的时间。每次下落和上升的过程都可以看作是自由落体运动。一个物体从高度 $h$ 自由下落到地面的时间是 $t = sqrt{frac{2h}{g}}$。
那么，第一次下落的时间是 $t_0 = sqrt{frac{2h_0}{g}}$。
第一次反弹后上升到最高点再下落到地面的总时间是 $2 imes sqrt{frac{2h_1}{g}}$，因为上升和下落的时间相等。
第二次反弹后上升到最高点再下落到地面的总时间是 $2 imes sqrt{frac{2h_2}{g}}$。
依此类推，第 $n$ 次反弹后上升到最高点再下落到地面的总时间是 $2 imes sqrt{frac{2h_n}{g}}$。
将 $h_n = (frac{1}{2})^n h_0$ 代入：
第 $n$ 次循环的时间是 $2 imes sqrt{frac{2(frac{1}{2})^n h_0}{g}} = 2 imes (frac{1}{2})^{n/2} sqrt{frac{2h_0}{g}} = 2 imes (frac{1}{sqrt{2}})^n t_0$。
我们将所有这些时间加起来：
总时间 $T = t_0 + 2sqrt{frac{2h_1}{g}} + 2sqrt{frac{2h_2}{g}} + dots$
$T = t_0 + 2(frac{1}{sqrt{2}})t_0 + 2(frac{1}{sqrt{2}})^2 t_0 + 2(frac{1}{sqrt{2}})^3 t_0 + dots$
忽略第一个下落时间 $t_0$（更严谨的计算应该包含在内，但这里的比例关系更清晰），我们看到这是一个几何级数的部分求和，其公比是 $2/sqrt{2} = sqrt{2}$ （这里计算有误，应该是 $2 imes (frac{1}{sqrt{2}})^n$ 的形式）。
让我们重新审视时间。
第一次下落时间 $t_0 = sqrt{frac{2h_0}{g}}$
第一次反弹后上升和下落的总时间 $t'_1 = 2 sqrt{frac{2h_1}{g}} = 2 sqrt{frac{2(frac{1}{2})h_0}{g}} = 2 (frac{1}{sqrt{2}}) sqrt{frac{2h_0}{g}} = sqrt{2} t_0$
第二次反弹后上升和下落的总时间 $t'_2 = 2 sqrt{frac{2h_2}{g}} = 2 sqrt{frac{2(frac{1}{4})h_0}{g}} = 2 (frac{1}{2}) sqrt{frac{2h_0}{g}} = t_0$
第三次反弹后上升和下落的总时间 $t'_3 = 2 sqrt{frac{2h_3}{g}} = 2 sqrt{frac{2(frac{1}{8})h_0}{g}} = 2 (frac{1}{sqrt{8}}) sqrt{frac{2h_0}{g}} = frac{1}{sqrt{2}} t_0$
我们发现这里的规律有点复杂，但关键是每次弹跳的高度越来越小，这意味着每次弹跳所持续的时间也会越来越短。虽然每次弹跳高度的比例是固定的，但时间上的衰减速度并不像高度那样直接是 $1/2$。
不过，从能量的角度来看，每次弹跳损失的能量也是以一个固定的比例（1/2）在减少。虽然能量会不断减少，但只要还有能量，球就会继续弹跳。然而，这个减少的过程是指数级的。
关键点在于：球能达到的高度不断减小，并且最终趋近于零。当上升高度趋于零时，其速度也趋于零，它就必然会停下来。虽然在理论模型中，这个过程可能是一个无限的过程（即永远不会绝对达到零，只是无限趋近），但在现实世界中，即使是极小的能量也会被克服，或者说，物理定律在这个宏观层面上是成立的。
所以，是的，它最终会停下来。这就像一个在持续衰减的振动，虽然理论上可以无限振动下去，但能量的损失会使其振幅逐渐减小，直至静止。在这个例子中，能量损失直接体现在了反弹高度的减小上。
首先，我们来看球下落到地面时的动能。在自由落体运动中，物体下落的高度越高，其重力势能就越大。当它接触地面时，这部分重力势能就转化为了动能。我们假设球的质量是 $m$（虽然我们不需要知道具体数值，但为了概念清晰），初始高度是 $h_0 = 1$ 米。
根据能量守恒定律，在没有空气阻力的情况下，球下落到地面时获得的动能（也就是它撞击地面的速度所对应的动能）等于它下降过程中损失的重力势能。这个动能可以表示为 $frac{1}{2}mv_0^2$，其中 $v_0$ 是球第一次接触地面时的速度。而重力势能的损失等于 $mgh_0$，其中 $g$ 是重力加速度（大约是 $9.8 ext{ m/s}^2$）。
所以，第一次撞击地面时的动能 $E_0 = mgh_0 = mg imes 1$ 焦耳。
接下来是反弹。题目中说“每次反弹损失一半能量”。这里的“能量”指的是球在反弹过程中所拥有的动能。也就是说，球第一次弹起时所获得的动能，是它第一次撞击地面时动能的一半。
第一次反弹后上升的高度 ($h_1$)：
球第一次反弹时获得的动能是 $E_1 = frac{1}{2}E_0 = frac{1}{2}mgh_0$。
当球以这个动能向上弹起时，它会继续向上运动，直到它的动能全部转化为重力势能。那么它能达到的最大高度 $h_1$ 可以通过 $mgh_1 = E_1$ 来计算。
所以，$mgh_1 = frac{1}{2}mgh_0$。
约去 $mg$，我们得到 $h_1 = frac{1}{2}h_0 = frac{1}{2} imes 1$ 米 $= 0.5$ 米。
第二次反弹后上升的高度 ($h_2$)：
球第二次下落到地面时，其动能就是它第一次反弹后上升到最高点时所具有的重力势能，即 $E_1$。
第二次撞击地面时，它又会损失一半的能量。所以，第二次反弹后获得的动能是 $E_2 = frac{1}{2}E_1 = frac{1}{2} imes (frac{1}{2}E_0) = (frac{1}{2})^2 E_0$。
同理，第二次反弹后能达到的最大高度 $h_2$ 满足 $mgh_2 = E_2$。
所以，$mgh_2 = (frac{1}{2})^2 mgh_0$。
约去 $mg$，我们得到 $h_2 = (frac{1}{2})^2 h_0 = frac{1}{4} imes 1$ 米 $= 0.25$ 米。
我们可以看到一个规律：每次反弹后，球能达到的高度是前一次反弹高度的一半。
所以，第三次反弹后上升的高度是 $h_3 = frac{1}{2}h_2 = (frac{1}{2})^3 h_0 = frac{1}{8}$ 米。
第四次反弹后上升的高度是 $h_4 = (frac{1}{2})^4 h_0 = frac{1}{16}$ 米。
依此类推，第 $n$ 次反弹后上升的高度是 $h_n = (frac{1}{2})^n h_0$。
既然每次反弹后，球能达到的高度都在不断减小，并且是按比例减小的，那么这个高度最终会趋近于零。
当球上升的高度趋近于零时，它的速度也必然趋近于零。当速度为零时，它就停止运动了。
从数学上来说，我们是在计算一个无穷级数：
第一次下落的高度：$h_0 = 1$
第一次反弹后上升高度：$h_1 = frac{1}{2}h_0$
第二次反弹后上升高度：$h_2 = frac{1}{2}h_1 = (frac{1}{2})^2 h_0$
第三次反弹后上升高度：$h_3 = frac{1}{2}h_2 = (frac{1}{2})^3 h_0$
……
第 $n$ 次反弹后上升高度：$h_n = (frac{1}{2})^n h_0$
虽然理论上这个过程会发生无穷多次，但每次弹起的最高高度都在以一个固定的比例（1/2）衰减。这个过程可以被看作是一个等比数列的求和（虽然我们关注的不是总高度，而是每次弹起的高度会趋于零）。
更重要的是，我们可以考虑它每次弹跳所花费的时间。每次下落和上升的过程都可以看作是自由落体运动。一个物体从高度 $h$ 自由下落到地面的时间是 $t = sqrt{frac{2h}{g}}$。
那么，第一次下落的时间是 $t_0 = sqrt{frac{2h_0}{g}}$。
第一次反弹后上升到最高点再下落到地面的总时间是 $2 imes sqrt{frac{2h_1}{g}}$，因为上升和下落的时间相等。
第二次反弹后上升到最高点再下落到地面的总时间是 $2 imes sqrt{frac{2h_2}{g}}$。
依此类推，第 $n$ 次反弹后上升到最高点再下落到地面的总时间是 $2 imes sqrt{frac{2h_n}{g}}$。
将 $h_n = (frac{1}{2})^n h_0$ 代入：
第 $n$ 次循环的时间是 $2 imes sqrt{frac{2(frac{1}{2})^n h_0}{g}} = 2 imes (frac{1}{2})^{n/2} sqrt{frac{2h_0}{g}} = 2 imes (frac{1}{sqrt{2}})^n t_0$。
我们将所有这些时间加起来：
总时间 $T = t_0 + 2sqrt{frac{2h_1}{g}} + 2sqrt{frac{2h_2}{g}} + dots$
$T = t_0 + 2(frac{1}{sqrt{2}})t_0 + 2(frac{1}{sqrt{2}})^2 t_0 + 2(frac{1}{sqrt{2}})^3 t_0 + dots$
忽略第一个下落时间 $t_0$（更严谨的计算应该包含在内，但这里的比例关系更清晰），我们看到这是一个几何级数的部分求和，其公比是 $2/sqrt{2} = sqrt{2}$ （这里计算有误，应该是 $2 imes (frac{1}{sqrt{2}})^n$ 的形式）。
让我们重新审视时间。
第一次下落时间 $t_0 = sqrt{frac{2h_0}{g}}$
第一次反弹后上升和下落的总时间 $t'_1 = 2 sqrt{frac{2h_1}{g}} = 2 sqrt{frac{2(frac{1}{2})h_0}{g}} = 2 (frac{1}{sqrt{2}}) sqrt{frac{2h_0}{g}} = sqrt{2} t_0$
第二次反弹后上升和下落的总时间 $t'_2 = 2 sqrt{frac{2h_2}{g}} = 2 sqrt{frac{2(frac{1}{4})h_0}{g}} = 2 (frac{1}{2}) sqrt{frac{2h_0}{g}} = t_0$
第三次反弹后上升和下落的总时间 $t'_3 = 2 sqrt{frac{2h_3}{g}} = 2 sqrt{frac{2(frac{1}{8})h_0}{g}} = 2 (frac{1}{sqrt{8}}) sqrt{frac{2h_0}{g}} = frac{1}{sqrt{2}} t_0$
我们发现这里的规律有点复杂，但关键是每次弹跳的高度越来越小，这意味着每次弹跳所持续的时间也会越来越短。虽然每次弹跳高度的比例是固定的，但时间上的衰减速度并不像高度那样直接是 $1/2$。
不过，从能量的角度来看，每次弹跳损失的能量也是以一个固定的比例（1/2）在减少。虽然能量会不断减少，但只要还有能量，球就会继续弹跳。然而，这个减少的过程是指数级的。
关键点在于：球能达到的高度不断减小，并且最终趋近于零。当上升高度趋于零时，其速度也趋于零，它就必然会停下来。虽然在理论模型中，这个过程可能是一个无限的过程（即永远不会绝对达到零，只是无限趋近），但在现实世界中，即使是极小的能量也会被克服，或者说，物理定律在这个宏观层面上是成立的。
所以，是的，它最终会停下来。这就像一个在持续衰减的振动，虽然理论上可以无限振动下去，但能量的损失会使其振幅逐渐减小，直至静止。在这个例子中，能量损失直接体现在了反弹高度的减小上。
网友意见
我想可能乍一看会有一种误解：小球每次反弹速率（或者说能量）都不为0，那么必然要无限次反弹之后才能停下，因此这个小球就永远停不下来。
这是一个典型的芝诺悖论问题，大致就是小树和强强赛跑，强强先跑10m，小树跑的比强强快。那么按照常识小树肯定会追上强强对吧。但是如果拆分开来一次次的看呢？
当小树跑到10m的时候，强强可能已经在11m了；然后小树跑到11m的时候强强已经在11.1m了......以此类推，小树永远都追不上强强。
诶？这是个啥情况啊。
我们以这个题来考量：
假设小球下落初始高度为 ，势能为mgh，初次撞击前速率为 ，耗时
根据题设条件每次撞击损失一半能量即速度降为 ,那么显然高度也会降低到
根据动量定理或者匀加速运动公式可知再次碰撞的时间为 ,也就是撞击间隔以 的速率等比递减
如果我们从第一次碰撞之后开始计时，那么运动总时间：
根据等比数列的求和公式：初次碰撞之后 也就是大概2.18s就会停止。如果是从开始下落计时则需要2.63s。
这个问题的悖论在于，需要无限次碰撞，但是碰撞间隔在缩短，所以无限次碰撞所用的时间不是无限长。上个图，就是这样......
如果我们定义上次碰撞到本次碰撞之间的间隔为碰撞周期的话，那么碰撞频率实际上是以指数规律迅速增大的：
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