怎么理解 Mayer-Vietoris 序列？

好的，我们来聊聊 MayerVietoris 序列，试着把它讲透彻。这玩意儿初看确实有点让人摸不着头脑，但一旦抓住核心思想，就会觉得它无比强大和巧妙。

想象一下，我们有一个空间 $X$。我们想要了解它的“形状”，也就是它的同调群。同调群就像是给空间的“洞”和“连通分支”打分的一种方式。比如，一个圆环（甜甜圈）的同调群就比一个球的要复杂，因为它有“洞”。

现在，我们想研究 $X$ 的同调群，但直接计算 $X$ 可能很困难。这时候，MayerVietoris 序列就给我们提供了一个“分而治之”的思路。

核心思想：把大问题拆解成小问题，再把小问题的结果“拼”回来

MayerVietoris 序列的核心思想是：如果我们能把空间 $X$ 分割成两个“更容易处理”的子空间 $A$ 和 $B$，并且知道 $A$、$B$ 以及它们的交集 $A cap B$ 的同调群，那么我们就能通过一种结构化的方式，反过来计算出整个空间 $X$ 的同调群。

这就像你有一个复杂的拼图，直接拼很难。但如果你能把拼图分成左右两部分，分别把左右两部分都拼好（这可能更容易），然后你知道左右两部分边缘对齐的部分（交集），你就能把这两部分拼起来，得到完整的拼图。

具体是怎么“拼”的？—— 那个“序列”是怎么来的？

MayerVietoris 序列之所以称为“序列”，是因为它把不同维度的同调群联系起来，形成一个链式反应。这个序列是基于一个叫做“链复形”（Chain Complex）的代数结构。

简单来说，同调群可以被看作是链复形中的“上同调”或“下同调”。链复形就是一系列的群，它们之间通过“边界算子”（boundary operator）连接起来。这个边界算子就像一个“过滤器”，它把一个维度上的“形状”映射到低一个维度上，并且连续两次应用这个算子，结果一定是零。

MayerVietoris 序列的建立，就是在 $X = A cup B$ 这个条件下，通过精巧的代数构造，将 $A$、$B$、$A cap B$ 的链复形联系起来，得到一个长链复形，然后从这个长链复形中提取出同调群，就得到了那个长长的、交替符号的序列。

序列长什么样？

假设我们要计算 $X$ 的 $n$ 维同调群，记作 $H_n(X)$。MayerVietoris 序列的形式大致是这样的（我们先不纠结于具体的链复形构造，先看结果）：

$dots o H_{n1}(A cap B) xrightarrow{partial} H_n(X) xrightarrow{i_} H_n(A) oplus H_n(B) xrightarrow{j_} H_{n1}(A cap B) o dots$

你看，它是一个无穷长的序列，连接着不同空间（$X$、$A$、$B$、$A cap B$）的同调群，并且维度在不断地变化（$n1$ 和 $n$）。

序列中的箭头是什么意思？

$ o$ (箭头)：表示一个群同态（homomorphism），也就是一个映射，它在群运算下保持结构。
$i_$: 这个箭头是从 $H_n(X)$ 映射到 $H_n(A) oplus H_n(B)$。$i$ 是从 $A$ 和 $B$ “包含”进 $X$ 的映射。在这个映射下，一个 $X$ 中的 $n$ 维“洞”（一个闭链，但不是边界）在 $A$ 和 $B$ 中分别是怎么样的，就通过这个箭头体现出来。$H_n(A) oplus H_n(B)$ 是 $A$ 和 $B$ 的同调群的直和，简单理解就是把 $A$ 的同调群和 $B$ 的同调群“并列”起来。
$j_$: 这个箭头是从 $H_n(A) oplus H_n(B)$ 映射到 $H_{n1}(A cap B)$。这个映射很关键，它把 $A$ 和 $B$ 的同调群“结合”起来，并指向它们的交集的同调群。它实际上是将 $A$ 中的一个 $n$ 维“形状”通过交集 $A cap B$ “抵消”到 $A cap B$ 的 $n1$ 维“形状”上，同时将 $B$ 中的一个 $n$ 维“形状”通过交集 $A cap B$ “抵消”到 $A cap B$ 的 $n1$ 维“形状”上。
$partial$ (边界算子)：这个是连接 $H_{n1}(A cap B)$ 和 $H_n(X)$ 的箭头。它是 MayerVietoris 序列的核心“连接器”。它将交集 $A cap B$ 中的一个 $(n1)$ 维“形状”映射到整个空间 $X$ 中的一个 $n$ 维“形状”。具体来说，它接收 $A cap B$ 的一个 $(n1)$ 维闭链，并将其看作 $X$ 的一个 $n$ 维链，然后检查这个 $n$ 维链是否是 $X$ 的边界。如果不是，那么它就对应着 $X$ 中的一个 $n$ 维“洞”。

为什么这个序列是“正合”（Exact）的？

“正合”是序列的一个非常重要的性质。在一个正合序列 $dots o G xrightarrow{f} H xrightarrow{g} K o dots$ 中，$f$ 的像（image）等于 $g$ 的核（kernel）。

在 MayerVietoris 序列中，这意味着：

1. $i_$ 的像等于 $j_$ 的核：如果一个 $n$ 维链在 $A$ 和 $B$ 中都是“边界”（即在 $H_n(A) oplus H_n(B)$ 中是 $j_$ 的像），那么它在 $X$ 中也必然是“边界”（即 $i_$ 的像）。反过来，如果一个 $X$ 中的 $n$ 维链，通过 $i_$ 映射到 $H_n(A) oplus H_n(B)$ 后为零，那么它必然是由 $A cap B$ 的 $(n1)$ 维链通过 $partial$ 映射产生的（即是 $partial$ 的像）。
2. $j_$ 的像等于 $partial$ 的核：一个 $A$ 或 $B$ 中的 $n$ 维链，通过 $j_$ 映射到 $H_{n1}(A cap B)$ 后为零，意味着它在 $A cap B$ 中可以被“抵消”。而 $partial$ 将 $A cap B$ 的 $(n1)$ 维链映射到 $X$ 的 $n$ 维链，所以 $j_$ 的像就正好是 $partial$ 的核。
3. $partial$ 的像等于 $i_$ 的核：一个 $A cap B$ 中的 $(n1)$ 维链，通过 $partial$ 映射到 $H_n(X)$ 后，如果它又是 $i_$ 的核，意味着它在 $X$ 中的表示是 $A$ 和 $B$ 中“边界”的组合。

这个“像等于核”的性质，使得序列中的同调群之间形成了一种紧密的代数关系，允许我们通过知道一部分群来计算未知的部分。

MayerVietoris 序列的威力在哪里？

1. 计算难算的同调群：当我们无法直接计算一个空间的同调群时，如果能找到合适的 $A$ 和 $B$（比如 $A$ 和 $B$ 是“简单”的空间，它们的同调群是已知的，如球面、欧氏空间等），那么通过 MayerVietoris 序列，我们就可以计算出 $X$ 的同调群。
2. “切蛋糕”的方法：它提供了一种将一个复杂的空间“切开”来研究其同调结构的方法。
3. 强大的理论工具：在代数拓扑的很多证明中，MayerVietoris 序列是一个不可或缺的工具，用来建立不同空间同调群之间的联系。

一个经典的例子：球面的同调群

我们来试试用 MayerVietoris 序列计算 $n$ 维球面的同调群 $H_n(S^n)$。

我们知道 $S^n$ 可以看作是两个 $n$ 维球体（一个北方半球 $N$ 和一个南方半球 $S$）的并集，它们的交集是赤道（一个 $S^{n1}$）。
$S^n = N cup S$
$N cap S = S^{n1}$

假设我们已经知道了 $S^{n1}$ 的同调群。
序列中 $n$ 维的部分看起来是：
$dots o H_n(S^{n1}) xrightarrow{partial} H_n(S^n) xrightarrow{i_} H_n(N) oplus H_n(S) xrightarrow{j_} H_{n1}(S^{n1}) o dots$

现在，我们要利用 $N$ 和 $S$ 的性质。$N$ 和 $S$ 都是“好”的空间，它们被认为是“收缩”到一点的。在同调论中，如果一个空间可以收缩到一点，它的同调群就是：
$H_k( ext{点}) = egin{cases} mathbb{Z} & k=0 \ 0 & k eq 0 end{cases}$

因此，$H_n(N) = 0$ 且 $H_n(S) = 0$ 对于 $n > 0$。
这样，序列中关于 $H_n(N) oplus H_n(S)$ 的部分就变成了 $0 oplus 0 = 0$ (对于 $n>0$)。

那么，对于 $n > 0$，序列就简化成：
$dots o H_n(S^{n1}) xrightarrow{partial} H_n(S^n) xrightarrow{i_} 0 xrightarrow{j_} H_{n1}(S^{n1}) o dots$

由于 $i_$ 映射到 $0$，所以 $i_$ 的像就是 $0$。由于序列是正合的，所以 $i_$ 的核就是 $0$。
同时，因为序列是正合的，$partial$ 的像等于 $i_$ 的核，所以 $partial$ 的像也是 $0$。
又因为 $partial$ 的核等于 $partial$ 的像，所以 $partial$ 的核也是 $0$。
最后，因为 $j_$ 的像等于 $partial$ 的核，所以 $j_$ 的像也是 $0$。

更关键的是，序列是正合的，并且 $i_$ 映射到 $0$，这表示 $i_$ 是一个满射（surjective）！因为 $i_$ 的像就是 $H_n(S^n)$ 本身（因为 $H_n(A) oplus H_n(B) = 0$），所以 $H_n(S^n)$ 就同构于 $H_n(N) oplus H_n(S)$ 的像，也就是 $0$。

等等，这好像不对！我们知道 $S^n$ 并不是所有维度的同调群都是零。问题出在哪里？

这里的关键在于，我们直接套用了“收缩到一点”的结论，但对于 $n=1$ 的情况，$S^0$ 是两个点，其 $H_0(S^0) = mathbb{Z} oplus mathbb{Z}$。

让我们重新审视这个例子，特别是边界算子 $partial$。

对于 $n$ 维球面 $S^n$，我们有：
$H_k(S^n) = egin{cases} mathbb{Z} & k=0 ext{ 或 } k=n \ 0 & ext{其他} end{cases}$

我们用 MayerVietoris 序列来“归纳”地计算。
首先，对于 $H_0(S^n)$：
$dots o H_0(S^{n1}) xrightarrow{partial} H_0(S^n) xrightarrow{i_} H_0(N) oplus H_0(S) xrightarrow{j_} H_{1}(S^{n1}) o dots$

$H_0(N) = mathbb{Z}$，$H_0(S) = mathbb{Z}$，所以 $H_0(N) oplus H_0(S) = mathbb{Z} oplus mathbb{Z}$。
$H_{1}$ 永远是 $0$。
$H_0(S^{n1})$ 是 $mathbb{Z}$ (如果 $n1 ge 0$)。

序列简化为：
$dots o H_0(S^{n1}) xrightarrow{partial} H_0(S^n) xrightarrow{i_} mathbb{Z} oplus mathbb{Z} xrightarrow{j_} 0 o dots$

这里 $i_$ 是从 $H_0(S^n)$ 映射到 $H_0(N) oplus H_0(S)$。$H_0(S^n)$ 代表了 $S^n$ 的连通分支。$S^n$ (n>0) 是连通的，所以 $H_0(S^n) = mathbb{Z}$。
$N$ 和 $S$ 也是连通的，所以 $H_0(N) = mathbb{Z}$ 和 $H_0(S) = mathbb{Z}$。

$i_$ 的作用是，将 $S^n$ 的一个连通分支（一个 $0$ 维链）“分解”到 $N$ 和 $S$ 中。由于 $N$ 和 $S$ 都包含了 $S^n$ 的这个连通分支，所以 $i_$ 是一个同构（isomorphism）。
因此，$H_0(S^n) cong H_0(N) oplus H_0(S) cong mathbb{Z} oplus mathbb{Z}$。

这又好像不对！我们知道 $S^n$ (n>0) 是连通的，它的 $H_0$ 应该是 $mathbb{Z}$。

啊，这里的细节在于 $N$ 和 $S$ 的选择。为了让 $N$ 和 $S$ 的交集 $S^{n1}$ 恰好能“连接”它们，我们通常选择“开放”的半球，这样交集才是 $S^{n1}$。

让我们换个角度思考 $H_0$ 的情况。$S^n$ (n>0) 是连通的，所以 $H_0(S^n) = mathbb{Z}$。
$N$ 和 $S$ 也是连通的， $H_0(N) = mathbb{Z}, H_0(S) = mathbb{Z}$。
$S^{n1}$ (n>1) 是连通的， $H_0(S^{n1}) = mathbb{Z}$。
$S^0$ 是两个点， $H_0(S^0) = mathbb{Z} oplus mathbb{Z}$。

对于 $n=1$ ($S^1$ 是圆周):
$S^1 = N cup S$, $N cap S = S^0$ (两个点)。
$dots o H_1(S^0) xrightarrow{partial} H_1(S^1) xrightarrow{i_} H_1(N) oplus H_1(S) xrightarrow{j_} H_0(S^0) o H_0(S^1) o H_0(N) oplus H_0(S) o 0$

$H_1(S^0) = 0$
$H_1(N) = 0, H_1(S) = 0$
$H_0(S^0) = mathbb{Z} oplus mathbb{Z}$
$H_0(N) = mathbb{Z}, H_0(S) = mathbb{Z}$

序列简化为：
$0 o H_1(S^1) xrightarrow{i_} 0 xrightarrow{j_} mathbb{Z} oplus mathbb{Z} xrightarrow{j_} H_0(S^1) o mathbb{Z} oplus mathbb{Z} o 0$

从 $H_1(S^1) xrightarrow{i_} 0$，可知 $i_$ 是零映射，其像为 $0$。由于正合性，$partial$ 的像等于 $i_$ 的核，所以 $partial$ 的像为 $0$。
从 $0 xrightarrow{j_} mathbb{Z} oplus mathbb{Z}$，可知 $j_$ 是零映射，其核为 $0$。
从 $mathbb{Z} oplus mathbb{Z} xrightarrow{j_} H_0(S^1)$，这是关键。
由于序列是正合的， $j_$ 的像等于 $partial$ 的核。
我们还有 $mathbb{Z} oplus mathbb{Z} o H_0(S^1) o mathbb{Z} oplus mathbb{Z} o 0$。
$H_0(S^1)$ 是连通分支， $S^1$ 是连通的，所以 $H_0(S^1) = mathbb{Z}$。

这个例子说明了，MayerVietoris 序列的正确使用需要非常仔细地处理边界情况和对子空间的选取。

更直观的理解方式：

把 $H_n(X)$ 看作是“n 维的洞”。
$H_n(A) oplus H_n(B)$：这是 $A$ 和 $B$ 中的所有“n 维洞”的集合。
$i_$：从 $X$ 的洞到 $A$ 和 $B$ 的洞的映射。一个 $X$ 中的洞，在 $A$ 和 $B$ 中分别是什么样子。
$j_$：从 $A$ 和 $B$ 的洞，到 $A cap B$ 的 $(n1)$ 维洞的映射。这代表了，如果一个 $n$ 维链在 $A$ 中“看起来”是一个洞，在 $B$ 中也“看起来”是一个洞，那么它们在交集 $A cap B$ 中是如何“抵消”的。
$partial$：从 $A cap B$ 的 $(n1)$ 维洞，到 $X$ 的 $n$ 维洞的映射。这个映射非常有意思。它说明，如果在 $A cap B$ 中有一个 $(n1)$ 维的“形状”（闭链但不是边界），那么它可以在 $X$ 中“围成”一个 $n$ 维的洞。

MayerVietoris 序列正是通过这个“洞”的“进出”和“抵消”关系，建立起了不同空间同调群之间的联系。

总结一下：

MayerVietoris 序列是一个强大的工具，它允许我们通过将空间 $X$ 分解为两个子空间 $A$ 和 $B$ 的并集，并利用 $A$、$B$ 和它们的交集 $A cap B$ 的同调群来计算 $X$ 的同调群。

序列的形式是：
$dots o H_{n1}(A cap B) xrightarrow{partial} H_n(X) xrightarrow{i_} H_n(A) oplus H_n(B) xrightarrow{j_} H_{n1}(A cap B) o dots$

它的核心是“正合性”，即链映射的像等于下一个链映射的核。这提供了一种代数上的“平衡”关系，使得我们可以通过已知部分推断未知部分。

理解 MayerVietoris 序列的关键在于：

1. 分而治之：把复杂问题分解为简单问题。
2. 代数结构：利用链复形和边界算子将拓扑信息转化为代数信息。
3. 同态的性质：特别是像和核的关系，来连接不同群。
4. “洞”的视角：将同调群理解为空间的“洞”，理解映射如何传递或抵消这些“洞”。

初次接触时，重点是理解这个序列的结构和它解决问题的思想。随着对代数拓扑的深入，你就能更深刻地理解序列中每一个映射的具体构造以及它们为何如此重要。希望这个解释能让你对 MayerVietoris 序列有一个更清晰的认识。

我是搬运工^[1]。

首先明白一个概念——

结构元

简单说，共轭元就是 维无边子流形 ，它不可缩，不是高维空间的边界。并且它可以分解为可数个 维闭圆盘的并，这些圆盘的交集等于它们边界的交集。

比如轮胎面的纬圆，可以被首尾相接的一维闭圆盘——闭线段分解。它就是一个 维结构元。我们更关注与它同调的等价类 .

共轭元

如果 存在逐点与之横截相交（不是相切那种相交）的结构元同调类 ，则 称为 维共轭元.

就比如轮胎面的纬圆和经圆，就是互为对偶共轭元.

同调类几何化

而共轭元分为自由与非自由，有以下关键定理——

定理 是正则流形，同调群

是自由子群， 为挠子群，它们的生成元基分别是自由共轭元与非自由共轭元.

关于自由非自由共轭元的定义为了叙述方便我就省去了。

然后回到我们的目标——

序列

，则有正合列

其中

几何解释： 维共轭元 只有如下情况：

• 或 ；

表示 与 在边界粘接. 与是对应以上情况分别有：

• ；
• .

于是由 的定义，显然有 ；

于是 ， 也容易验证.

参考

1. ^ 马天《流形拓扑学——理论与概念的实质》