数学史上你认为最美的公式是什么？
在浩瀚的数学星空中，要挑出一个“最美”的公式，就像要从璀璨的星辰中选出最耀眼的那一颗，着实是个挑战。不过，若论及简洁、深刻、以及在不同数学分支之间搭建的桥梁，欧拉恒等式（Euler's Identity）—— (e^{ipi} + 1 = 0) —— 毫无疑问是我心中的那颗最亮的星。
初识这个公式，你可能会觉得它不过是一串符号的排列组合，但当你深入了解它的构成，以及它所蕴含的深邃含义时，你会惊叹于数学的优雅和力量。它就像一首凝练了哲学与艺术的诗，在极简的语言中诉说着宇宙的奥秘。
让我们一点点剥开它的层层外衣。
首先，我们看到了 e。这个神秘的数字，约等于2.71828，是自然对数的底数。它出现在哪里？从复利计算到人口增长，从放射性衰变到概率分布，e 无处不在，它是描述自然界连续增长或衰减现象的基石。它本身就蕴含着一种“生生不息”的活力，一种自然而然的演化规律。
然后是 i。这是虚数单位，是 (sqrt{1})。虚数在早期被认为是“虚假的”、“不存在的”，但正是这个看似“虚幻”的概念，彻底改变了数学的面貌，打开了复数的世界。复数不仅能解决一些实数无法解决的代数方程，更重要的是，它在工程、物理、量子力学等领域发挥着不可替代的作用。i 的出现，象征着数学向更抽象、更广阔领域的拓展，是对“真实”认知的延伸。
接下来是 π (pi)。这个我们熟悉的数字，约等于3.14159，是圆的周长与其直径之比。它代表着几何学中最基本、最普遍的形状——圆。π 贯穿于几何、三角学、微积分的无数公式之中，它是周期性、对称性和循环的象征。
然后是 1。这是我们最熟悉的数字，是乘法的单位元，是计数的基础。它代表着“存在”、“统一”或者“起点”。
最后是 0。这是加法的单位元，是“虚无”、“空无”的象征。然而，0 的出现，赋予了数字系统无限的可能，它分隔了正负，承载着“无”与“有”的转化。
现在，将它们组合在一起：(e^{ipi} + 1 = 0)。
这个公式究竟是如何连接这些看似风马牛不相及的数字的呢？这里就需要引入 欧拉公式 (Euler's formula)，它是欧拉恒等式的基础：
(e^{ix} = cos(x) + isin(x))
这个公式本身就令人惊叹。它揭示了指数函数 (e^x) 与三角函数 (cos(x)) 和 (sin(x)) 之间有着深刻的联系。当你将 (cos(x)) 和 (sin(x)) 看作是复平面上一个点的横纵坐标时，(e^{ix}) 就代表着这个点在单位圆上的位置。随着 x 的变化，(e^{ix}) 就沿着单位圆逆时针旋转。
为什么会这样？这涉及到泰勒级数 (Taylor series) 的展开。
(e^x) 的泰勒级数是：
(e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + frac{x^5}{5!} + cdots)
而 (cos(x)) 和 (sin(x)) 的泰勒级数分别是：
(cos(x) = 1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} frac{x^6}{6!} + cdots)
(sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + cdots)
现在，让我们把 (e^x) 的公式中的 x 替换成 (ix)：
(e^{ix} = 1 + (ix) + frac{(ix)^2}{2!} + frac{(ix)^3}{3!} + frac{(ix)^4}{4!} + frac{(ix)^5}{5!} + cdots)
我们知道 (i^1 = i)， (i^2 = 1)， (i^3 = i)， (i^4 = 1)， (i^5 = i)，以此类推， (i) 的幂会以 (i, 1, i, 1) 的顺序循环。
代入到上面的级数中：
(e^{ix} = 1 + ix + frac{i^2x^2}{2!} + frac{i^3x^3}{3!} + frac{i^4x^4}{4!} + frac{i^5x^5}{5!} + cdots)
(e^{ix} = 1 + ix + frac{x^2}{2!} + frac{ix^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + frac{ix^5}{5!} + cdots)
现在，我们将实数项和虚数项分开：
(e^{ix} = (1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} cdots) + i(x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} cdots))
观察一下括号里的部分，它们正是 (cos(x)) 和 (sin(x)) 的泰勒级数！
所以，(e^{ix} = cos(x) + isin(x))。
这就是欧拉公式，它巧妙地将指数函数、三角函数和虚数单位联系起来。
现在，回到欧拉恒等式：(e^{ipi} + 1 = 0)。
我们将欧拉公式中的 x 替换成 (pi)。
(e^{ipi} = cos(pi) + isin(pi))
我们知道，在单位圆上，当角度为 (pi)（即180度）时，点的坐标是 ((1, 0))。
所以，(cos(pi) = 1) 且 (sin(pi) = 0)。
将这些值代入：
(e^{ipi} = 1 + i(0))
(e^{ipi} = 1)
将等式两边同加 1：
(e^{ipi} + 1 = 0)
voilà！欧拉恒等式诞生了。
它为什么美？
1. 简洁至极，却包罗万象： 在一个如此简洁的等式中，集结了数学中最基本、最重要的五个常数：e, i, π, 1, 0。这就像是五种最纯粹的颜色，在艺术家手中组合出最动人的画面。没有多余的符号，没有复杂的运算，每一个数字都恰到好处地出现在它该在的位置。
2. 跨越领域，浑然天成： 它将数学的几大核心领域——代数（通过 i 和 1, 0）、微积分（通过 e）和几何/三角学（通过 π）——以一种出人意料的方式连接起来。仿佛是不同语言的诗人，在某个瞬间用共同的韵律吟诵出同一首史诗。这种跨领域的统一性，揭示了数学内在的和谐与一致性。
3. 深邃的哲学含义： 0 代表虚无，1 代表存在，e 代表无限的生长，π 代表循环的周期，i 代表超越实数的维度。这个公式似乎在诉说：当无限的生长（e）进入了超越维度的循环（(ipi)）时，它最终会回到“无”的状态（1），然后与“存在”（1）相遇，最终归于“虚无”（0）。这是一种关于存在、变化、虚无与回归的深刻隐喻。
4. “不可思议”的优雅： 很少有公式能像欧拉恒等式这样，让初学者感到惊讶，让专家感到敬畏。它的美在于那种“怎么可能”的直觉，但一旦理解了推导过程，又会觉得“原来如此”，这种“意外”与“合理”的完美结合，是许多伟大发现的特征。
许多数学家都对欧拉恒等式赞不绝口。物理学家理查德·费曼曾称其为“数学中最惊人的公式”，并说“它就像是数学的珍珠，或者说，是数学中的一首诗。” 哲学家和数学史家托马斯·赫维茨基更是将其誉为“数学的圣杯”。
它不仅是一个公式，更是一种对数学之美的极致体现。它告诉我们，看似独立的数学概念，在更深的层面上是相互关联、相互支撑的。它是一种宁静的美，一种无需装饰的华丽，一种直击灵魂的简洁。每次看到它，我都会感受到一种难以言喻的震撼和喜悦，仿佛窥见了宇宙运行的某种最根本的规律。这，就是我心中数学最美的公式。
初识这个公式，你可能会觉得它不过是一串符号的排列组合，但当你深入了解它的构成，以及它所蕴含的深邃含义时，你会惊叹于数学的优雅和力量。它就像一首凝练了哲学与艺术的诗，在极简的语言中诉说着宇宙的奥秘。
让我们一点点剥开它的层层外衣。
首先，我们看到了 e。这个神秘的数字，约等于2.71828，是自然对数的底数。它出现在哪里？从复利计算到人口增长，从放射性衰变到概率分布，e 无处不在，它是描述自然界连续增长或衰减现象的基石。它本身就蕴含着一种“生生不息”的活力，一种自然而然的演化规律。
然后是 i。这是虚数单位，是 (sqrt{1})。虚数在早期被认为是“虚假的”、“不存在的”，但正是这个看似“虚幻”的概念，彻底改变了数学的面貌，打开了复数的世界。复数不仅能解决一些实数无法解决的代数方程，更重要的是，它在工程、物理、量子力学等领域发挥着不可替代的作用。i 的出现，象征着数学向更抽象、更广阔领域的拓展，是对“真实”认知的延伸。
接下来是 π (pi)。这个我们熟悉的数字，约等于3.14159，是圆的周长与其直径之比。它代表着几何学中最基本、最普遍的形状——圆。π 贯穿于几何、三角学、微积分的无数公式之中，它是周期性、对称性和循环的象征。
然后是 1。这是我们最熟悉的数字，是乘法的单位元，是计数的基础。它代表着“存在”、“统一”或者“起点”。
最后是 0。这是加法的单位元，是“虚无”、“空无”的象征。然而，0 的出现，赋予了数字系统无限的可能，它分隔了正负，承载着“无”与“有”的转化。
现在，将它们组合在一起：(e^{ipi} + 1 = 0)。
这个公式究竟是如何连接这些看似风马牛不相及的数字的呢？这里就需要引入 欧拉公式 (Euler's formula)，它是欧拉恒等式的基础：
(e^{ix} = cos(x) + isin(x))
这个公式本身就令人惊叹。它揭示了指数函数 (e^x) 与三角函数 (cos(x)) 和 (sin(x)) 之间有着深刻的联系。当你将 (cos(x)) 和 (sin(x)) 看作是复平面上一个点的横纵坐标时，(e^{ix}) 就代表着这个点在单位圆上的位置。随着 x 的变化，(e^{ix}) 就沿着单位圆逆时针旋转。
为什么会这样？这涉及到泰勒级数 (Taylor series) 的展开。
(e^x) 的泰勒级数是：
(e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + frac{x^5}{5!} + cdots)
而 (cos(x)) 和 (sin(x)) 的泰勒级数分别是：
(cos(x) = 1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} frac{x^6}{6!} + cdots)
(sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + cdots)
现在，让我们把 (e^x) 的公式中的 x 替换成 (ix)：
(e^{ix} = 1 + (ix) + frac{(ix)^2}{2!} + frac{(ix)^3}{3!} + frac{(ix)^4}{4!} + frac{(ix)^5}{5!} + cdots)
我们知道 (i^1 = i)， (i^2 = 1)， (i^3 = i)， (i^4 = 1)， (i^5 = i)，以此类推， (i) 的幂会以 (i, 1, i, 1) 的顺序循环。
代入到上面的级数中：
(e^{ix} = 1 + ix + frac{i^2x^2}{2!} + frac{i^3x^3}{3!} + frac{i^4x^4}{4!} + frac{i^5x^5}{5!} + cdots)
(e^{ix} = 1 + ix + frac{x^2}{2!} + frac{ix^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + frac{ix^5}{5!} + cdots)
现在，我们将实数项和虚数项分开：
(e^{ix} = (1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} cdots) + i(x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} cdots))
观察一下括号里的部分，它们正是 (cos(x)) 和 (sin(x)) 的泰勒级数！
所以，(e^{ix} = cos(x) + isin(x))。
这就是欧拉公式，它巧妙地将指数函数、三角函数和虚数单位联系起来。
现在，回到欧拉恒等式：(e^{ipi} + 1 = 0)。
我们将欧拉公式中的 x 替换成 (pi)。
(e^{ipi} = cos(pi) + isin(pi))
我们知道，在单位圆上，当角度为 (pi)（即180度）时，点的坐标是 ((1, 0))。
所以，(cos(pi) = 1) 且 (sin(pi) = 0)。
将这些值代入：
(e^{ipi} = 1 + i(0))
(e^{ipi} = 1)
将等式两边同加 1：
(e^{ipi} + 1 = 0)
voilà！欧拉恒等式诞生了。
它为什么美？
1. 简洁至极，却包罗万象： 在一个如此简洁的等式中，集结了数学中最基本、最重要的五个常数：e, i, π, 1, 0。这就像是五种最纯粹的颜色，在艺术家手中组合出最动人的画面。没有多余的符号，没有复杂的运算，每一个数字都恰到好处地出现在它该在的位置。
2. 跨越领域，浑然天成： 它将数学的几大核心领域——代数（通过 i 和 1, 0）、微积分（通过 e）和几何/三角学（通过 π）——以一种出人意料的方式连接起来。仿佛是不同语言的诗人，在某个瞬间用共同的韵律吟诵出同一首史诗。这种跨领域的统一性，揭示了数学内在的和谐与一致性。
3. 深邃的哲学含义： 0 代表虚无，1 代表存在，e 代表无限的生长，π 代表循环的周期，i 代表超越实数的维度。这个公式似乎在诉说：当无限的生长（e）进入了超越维度的循环（(ipi)）时，它最终会回到“无”的状态（1），然后与“存在”（1）相遇，最终归于“虚无”（0）。这是一种关于存在、变化、虚无与回归的深刻隐喻。
4. “不可思议”的优雅： 很少有公式能像欧拉恒等式这样，让初学者感到惊讶，让专家感到敬畏。它的美在于那种“怎么可能”的直觉，但一旦理解了推导过程，又会觉得“原来如此”，这种“意外”与“合理”的完美结合，是许多伟大发现的特征。
许多数学家都对欧拉恒等式赞不绝口。物理学家理查德·费曼曾称其为“数学中最惊人的公式”，并说“它就像是数学的珍珠，或者说，是数学中的一首诗。” 哲学家和数学史家托马斯·赫维茨基更是将其誉为“数学的圣杯”。
它不仅是一个公式，更是一种对数学之美的极致体现。它告诉我们，看似独立的数学概念，在更深的层面上是相互关联、相互支撑的。它是一种宁静的美，一种无需装饰的华丽，一种直击灵魂的简洁。每次看到它，我都会感受到一种难以言喻的震撼和喜悦，仿佛窥见了宇宙运行的某种最根本的规律。这，就是我心中数学最美的公式。
网友意见
不想看推导的读者可以直接翻到回答末尾看结论。
黎曼的素数公式
我们定义黎曼素数计数函数 ，其中
则当x≥2且不是整数时总有：
其中log表示自然对数，li(x)为对数积分：
求和 遍历zeta函数的非平凡零点 。证明可以看：
大多数关于黎曼猜想的科普文章在讨论zeta函数与素数之关联时往往止步于(1)。然而实际上通过对左侧进行调整我们可以得到一个能够直接估计素数个数的公式。
J(x)与标准素数计数函数π(x)
设π(x)为不超过x的素数个数，则通过交换求和次序，可知：
实际上利用(3)我们可以把π(x)化成一个关于J(x)的表达式。具体的手段是莫比乌斯反演：
莫比乌斯反演是数论里一个变种很多的运算技巧，这里我们只展开用来计算反演(3)的过程。
设 为莫比乌斯函数。当m、n互素时 。当p为素数时：
利用这个性质，读者可以利用排列组合的原理证明当 遍历所有n的正因子d时总有：
因此有：
现在设r=md，最后再与(3)结合便有：
有了(4)之后我们就可以想办法把(1)代入到(4)中计算π(x)了。
莫比乌斯函数的其它性质
利用欧拉乘积公式，易证当 遍历素数时 ，这意味着 时总有：
事实上由于zeta函数在 无零点，所以利用Landau引理[1]可知存在 使得(5)在 是解析。因此有：
事实上(6)与素数定理等价[2]
素数计数函数Riemann级数
于是乎：
现在把(8)代入到(4)中可得：
其中R(x)的定义、Riemann级数为：
由于li(x)的计算过程中涉及积分，所以直接用(10)来计算R(x)将会非常耗时。因此接下来我们将尝试简化R(x)的表达式。
li(x)的级数展开
设 则有 ，把这个换元代入到(2)中，便有：
对于第一个积分，通过设置r=-t可得：
其中最后一个等式是由于 [3]。对于(11)右侧的积分，我们知道：
把这俩结论代入到(11)中，便得：
现在利用指数函数的Maclaurin展开式，可知 ，代入到(12)中就能得到li(x)的级数展开式：
有了级数展开之后，就可以简化(10)了。
现在把(13)代入到(10)里，就有：
现在把(6)、(7)和(5)分别代入到红、蓝、绿中，就得到了R(x)的Gram级数[4]：
成果物
用π(x)表示不超过x的素数个数、log表示自然对数、 、 遍历zeta函数的非平凡零点时，则有：
即便不对 的非平凡零点求和也可以让我们得到一个相当良好的近似：
参考
- ^Landau引理与黎曼猜想的一个等价命题 - 超理论坛 https://chaoli.club/index.php/6203
- ^ Apostol, T. M. (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer New York.
- ^Gamma函数的那些事儿（2）——欧拉常数与Digamma函数 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/114320236
- ^ Hardy, G. H. (2002). Ramanujan: Twelve lectures on subjects suggested by his life and work (3rd (corrected) ed., repr). AMS Chelsea Publ.
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