数学史上你认为最丑陋的公式是什么？
在数学史上，确实存在一些被认为“丑陋”的公式，它们可能因为形式复杂、难以理解、计算困难，或者在历史中引发了争议。以下是一些可能被广泛认为“丑陋”的数学公式及其背景：
1. 黎曼ζ函数的解析延拓公式
公式：
$$
zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s} quad ext{（当 } ext{Re}(s) > 1 ext{ 时）}
$$
解析延拓：
$$
zeta(s) = frac{1}{Gamma(s)} int_0^{infty} frac{x^{s1}}{e^x 1} dx
$$
丑陋原因：
形式复杂：解析延拓涉及无穷积分和伽马函数（Γ函数），在形式上非常繁琐。
历史背景：黎曼在1859年提出这个函数，但其解析延拓的证明（通过函数方程）需要复杂的分析技巧，导致早期数学家难以理解。
争议：黎曼猜想的证明依赖于这个函数的性质，但其形式复杂性使得它在数学史中被视作“丑陋”的代表。
2. 贝塞尔函数的积分表达式
公式：
$$
J_n(x) = frac{1}{pi} int_0^{pi} cos(n heta x sin heta) d heta
$$
丑陋原因：
积分形式：贝塞尔函数的积分表达式涉及三角函数和正弦函数的组合，形式上难以简化。
计算难度：在19世纪，这种积分形式需要复杂的数值计算方法，使得贝塞尔函数的计算变得繁琐。
历史意义：尽管贝塞尔函数在物理和工程中至关重要，但其原始定义形式被视作“丑陋”，直到后来被更简洁的级数表达式取代。
3. 克莱因瓶的拓扑公式
公式：
克莱因瓶的拓扑结构无法用简单的欧几里得几何描述，但其在拓扑学中的定义涉及非欧几里得空间。
丑陋原因：
非直观性：克莱因瓶无法在三维欧几里得空间中嵌入，其拓扑结构在直观上难以理解。
历史争议：19世纪末，克莱因提出这个结构时，数学家对其存在性表示怀疑，认为其“丑陋”或“不可能”。
形式复杂：克莱因瓶的定义需要抽象的拓扑学工具，而非直观的几何公式。
4. 椭圆曲线的参数化公式
公式：
$$
y^2 = x^3 + ax + b
$$
丑陋原因：
形式复杂：尽管椭圆曲线是现代数论的核心，但其原始定义（如参数化）需要复杂的代数运算。
历史背景：在18世纪，椭圆曲线的参数化被视作“丑陋”，因为其形式与圆的方程（如$ x^2 + y^2 = r^2 $）相比显得更复杂。
应用矛盾：椭圆曲线在密码学中非常重要，但其原始形式在数学史中被批评为“不优雅”。
5. 希尔伯特空间的正交基
公式：
$$
sum_{n=1}^{infty} langle f, e_n angle e_n = f quad ext{（在希尔伯特空间中）}
$$
丑陋原因：
抽象性：希尔伯特空间的正交基需要无限维的基函数（如傅里叶级数），其形式在数学上被视作“抽象”且“丑陋”。
历史争议：19世纪末，希尔伯特引入这种抽象空间时，数学家对其“不直观性”持怀疑态度，认为其形式过于复杂。
6. 黎曼罗赫定理的复杂表达式
公式：
$$
ext{dim}(L(D)) ext{dim}(L(KD)) = ext{deg}(D) + 1 g
$$
丑陋原因：
形式复杂：该定理涉及代数曲线的线性丛（$ L(D) $）和亏格（$ g $），其表达式需要深入的代数几何知识。
历史背景：黎曼罗赫定理是复几何的基石，但其原始形式在数学史中被批评为“晦涩难懂”。
为什么这些公式被认为是“丑陋”？
1. 形式复杂：涉及无限级数、积分、抽象空间等，难以用简单的几何语言描述。
2. 历史争议：在数学发展的早期，这些公式被视作“不直观”或“不优雅”，直到后来被更简洁的理论取代。
3. 应用矛盾：尽管这些公式在现代数学中至关重要，但其原始形式可能因复杂性而被认为“丑陋”。
结语
数学中的“丑陋”往往源于形式复杂性或历史背景，而非数学本身的内在美。这些公式可能在当时被批评为“丑陋”，但它们在数学的发展中起到了关键作用，推动了数学理论的深化。例如，黎曼ζ函数的解析延拓最终成为数论的核心工具，而贝塞尔函数的积分表达式则被更简洁的级数形式取代。数学的“丑陋”有时正是其深刻性的体现。
网友意见
波尔文积分（Borwein integral）
此特殊积分由波尔文父子（David Borwein & Jonathan Borwein）于 2001 年首次提出，用于举例说明【看似成立的数学规律会在某个时刻突然失效】。
这是一个涉及 sinc 函数的积分，常见的例子为：
此规律一直到：
依然成立。
好了，算到这里你是不是会想：哦，多棒的规律啊！然后得意洋洋地开始测试下一个数。
然而，打脸来得就是这么猝不及防：
烂，烂尾了……
令人头大。
凭着直觉，你可能以为规律是这样的：
简洁而美丽。
实际上它的通式却是这样的：
从仅有 一个参数，硬生生地加到 四个参数，运算有幂、阶乘、累乘、累和，甚至还包含符号函数 sgn，实在是……
复杂又丑陋。
哦对了，如果你增加附加因子 ，那么这个序列一直坚持到 ，即：
都完全没毛病。
就在你以为大功告成，可以擦一擦额头上的汗时，下一秒……
波尔文积分这个数学例子在某种程度上其实证明了一个老生常谈却又时常被人们用侥幸心理无视掉的道理：
直觉和经验，其实并不总是那么可靠。
一元四次方程的求根公式,参考
百度百科上的公式是用 一层一层套的,然后我花了一个小时把无 版的求根公式打了出来,真的很恶心.后面的公式都是我用LaTeX打出来的，所以别指望双击把它放大，在此我也要对我以前不经意间的骗赞行为道歉。
若 ,则:
看得清吗?这里有一个ｐｄｆ版的(因为公式太长,我只能用A1纸)：
四次方程的求根公式.pdf
我放个图，这里非常感谢 @SCPMTF 为我提供的图片，并允许我在这里使用：
————分割线————
众所周知，我是很鸽的，而且这个答案似乎没有可更的地方，所以.......[逃][doge]
每当我看到这类小众问题出现在热榜，不用想……
肯定有热度太高的新闻被压热度了。
[1]就瘆人来说的话,我认为是马丁迭代公式
该公式生成的图像看得我起鸡皮疙瘩.尤其是马丁迭代是一个生长的过程,它会一圈一圈地变粗.
https://www.zhihu.com/video/1426134845218664448
[2]就邪恶来说的话,我认为是"骷髅五星"(这是我起的名字,如果有人知道它真正的名字请告知),它的公式我不会描述,只能用语言来说下它的生成方式:
生成正五边形的5个顶点，和一个当前点设置为原点；
a.随机选择五边形的某一个顶点，计算出它与当前点的中点位置；
b.将计算出的中点做为当前点，重新执行操作a
由此迭代处理上千万次后，即能生成骷髅五星的像素数据。
[3]就混乱来说的话,我认为是"N体",每一个星体的运动轨迹都是一团乱麻.
下图为一个运动物体在六个固定物体的引力作用下的运动轨迹:
该图像的生成公式是我写的,也是一团乱麻:
p0x=[static]r*sin(0.0)
p1x=[static]r*sin(PI/3)
p2x=[static]r*sin(PI*2/3)
p3x=[static]r*sin(PI*3/3)
p4x=[static]r*sin(PI*4/3)
p5x=[static]r*sin(PI*5/3)
p0y=[static]r*cos(0.0)
p1y=[static]r*cos(PI/3)
p2y=[static]r*cos(PI*2/3)
p3y=[static]r*cos(PI*3/3)
p4y=[static]r*cos(PI*4/3)
p5y=[static]r*cos(PI*5/3)
m0=[static]1.0
m1=[static]1.0
m2=[static]1.0
m3=[static]1.0
m4=[static]1.0
m5=[static]1.0
k=[static]0.5*w*(u*u + v*v)
d0x=[static]p0x - x
d0y=[static]p0y - y
q0=[static]-g*m0*w/sqrt(d0x*d0x + d0y*d0y)
d1x=[static]p1x - x
d1y=[static]p1y - y
q1=[static]-g*m1*w/sqrt(d1x*d1x + d1y*d1y)
d2x=[static]p2x - x
d2y=[static]p2y - y
q2=[static]-g*m2*w/sqrt(d2x*d2x + d2y*d2y)
d3x=[static]p3x - x
d3y=[static]p3y - y
q3=[static]-g*m3*w/sqrt(d3x*d3x + d3y*d3y)
d4x=[static]p4x - x
d4y=[static]p4y - y
q4=[static]-g*m4*w/sqrt(d4x*d4x + d4y*d4y)
d5x=[static]p5x - x
d5y=[static]p5y - y
q5=[static]-g*m5*w/sqrt(d5x*d5x + d5y*d5y)
e=[static]k + q0 + q1 + q2 + q3 + q4 + q5
f0=(p0x - x)*(p0x - x) + (p0y - y)*(p0y - y)
r0=g*m0/f0
f1=(p1x - x)*(p1x - x) + (p1y - y)*(p1y - y)
r1=g*m1/f1
f2=(p2x - x)*(p2x - x) + (p2y - y)*(p2y - y)
r2=g*m2/f2
f3=(p3x - x)*(p3x - x) + (p3y - y)*(p3y - y)
r3=g*m3/f3
f4=(p4x - x)*(p4x - x) + (p4y - y)*(p4y - y)
r4=g*m4/f4
f5=(p5x - x)*(p5x - x) + (p5y - y)*(p5y - y)
r5=g*m5/f5
i=r0*(p0x - x)/sqrt(f0)
j=r0*(p0y - y)/sqrt(f0)
i=i + r1*(p1x - x)/sqrt(f1)
j=j + r1*(p1y - y)/sqrt(f1)
i=i + r2*(p2x - x)/sqrt(f2)
j=j + r2*(p2y - y)/sqrt(f2)
i=i + r3*(p3x - x)/sqrt(f3)
j=j + r3*(p3y - y)/sqrt(f3)
i=i + r4*(p4x - x)/sqrt(f4)
j=j + r4*(p4y - y)/sqrt(f4)
i=i + r5*(p5x - x)/sqrt(f5)
j=j + r5*(p5y - y)/sqrt(f5)
x=x + u*t + 0.5*i*t*t
y=y + v*t + 0.5*j*t*t
u=u + i*t
v=v + j*t
d0x=p0x - x
d0y=p0y - y
q0=-g*m0*w/sqrt(d0x*d0x + d0y*d0y)
d1x=p1x - x
d1y=p1y - y
q1=-g*m1*w/sqrt(d1x*d1x + d1y*d1y)
d2x=p2x - x
d2y=p2y - y
q2=-g*m2*w/sqrt(d2x*d2x + d2y*d2y)
d3x=p3x - x
d3y=p3y - y
q3=-g*m3*w/sqrt(d3x*d3x + d3y*d3y)
d4x=p4x - x
d4y=p4y - y
q4=-g*m4*w/sqrt(d4x*d4x + d4y*d4y)
d5x=p5x - x
d5y=p5y - y
q5=-g*m5*w/sqrt(d5x*d5x + d5y*d5y)
k=e - q0 - q1 - q2 - q3 - q4 - q5
k=if(k < 0.0, 0, k)
s=sqrt(2*k/w)/sqrt(u*u + v*v)
u=u*s
v=v*s
[4]就公式来说的话,那就是上面的公式了.这么一大坨,我写完了都不想多看一眼.
https://www.zhihu.com/video/1426134994040946688=================================
呵呵呵
好想打开你脑子看看是什么样的····
你让我回想起在学校时做过的东西,重口味噢:
不敢说丑陋, 只是感觉有些公式太复杂了. 不出意外, 我本科学过最复杂的公式应该是: Gauss-Codazzi方程在三维空间参数曲面上自然标架下的表达式, 当初上课时, 老师对着书本边抄边说, 这个公式很复杂, 所以我们考试不会让你算这个, 就算要算这两个量, 也不会用上这两个公式.
Gauss方程:
Codazzi方程:
在只知道曲面表达式 的情况下, 计算上面两个式子是非常复杂的, 其中符号 的计算就够再写一个和上面式子差不多长的等式. 而且这里面还利用了Einstein求和约定, 如果按照一般求和符号的形式去写, 式子会变得更加繁琐.
但之所以我不说它丑陋, 是因为利用不同的方法去看这两个方程, 会得到相对简洁直观的方程. 比如在正交标架下, 这两个方程就变成了
Gauss方程:
Codazzi方程:
此外, 在一般的黎曼流形的子流形上, 借助曲率张量或者用正交标架的方法, 这两个方程同样有相对简洁的表达式. 就不在这罗列了.
虽然说了这么多, 真正儿八经算一个曲面的Gauss-Codazzi方程还是一个非常枯燥漫长的过程.
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