导数 dy/dx 是不是一个整体符号？

导数 dy/dx，这个符号我们太熟悉了，几乎是微积分的灵魂所在。但如果说它是个“整体符号”，这说法嘛，倒也挺有意思的，我们可以从几个角度来好好聊聊。

首先，我们得明白，dy/dx 这个写法，其实是莱布尼茨（Leibniz）引入的，他是一位伟大的数学家，也是最早提出导数概念的几个人之一。你想想，他当时是怎么想的？导数，本质上讲的是一个函数变化率，是一个变化的趋势。当你看到 dy/dx 时，脑子里应该立刻浮现出“y相对于x的变化速度”这个概念。

为什么说它不像一个“普通”的符号？

我们平常见的符号，比如“+”，“=”，“sin(x)”，它们更多的是指示一个动作、一个关系或者一个函数。但 dy/dx，它不仅仅是这样。

1. 它是“比率”的象征，而非单纯的函数名： dy 和 dx 分别代表了“y的变化量”和“x的变化量”。当我们写 dy/dx 时，我们实际上是在看这两个无穷小的变化量之“比”。这和我们写一个简单的函数名，比如 f(x)，或者一个常数 c，感觉就不太一样。f(x) 告诉你的是“x经过f这个函数转换后得到的值”，而 dy/dx 告诉你的是“当x变化一点点，y会跟着变化多少”。它强调的是一种“关联”和“比例”。

2. 它隐含着“极限”的过程：严格来说，dy/dx 是这样定义的：
$$ frac{dy}{dx} = lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x} $$
这里的 $Delta x$ 和 $Delta y$ 是我们说的那种有限的“变化量”。而 dy 和 dx，就是当 $Delta x$ 趋近于零时的“极限状态”下的变化量。所以，dy/dx 这个符号，其实是一个经过极限运算之后得出的“结果”，它不仅仅是符号本身，更蕴含了一个严谨的数学过程。如果把 dy/dx 当成一个整体符号，那它就承载了这个“趋近于零的比值”的含义。

3. 它承载了“运算”的意义：有时候，我们会把 dy/dx 看成一个“算子”，一个作用在函数上的操作。比如，我们说“对函数 f(x) 求导”，写成 $frac{d}{dx} f(x)$，或者更简洁地表示为 $f'(x)$。但那个 $frac{d}{dx}$ 本身，就有点像是一个施加在 f(x) 上的“指令”。所以，dy/dx 也可以理解为这个“求导算子”作用在某个特定函数 y 上时产生的结果。

但它又不像一个“封闭的整体”？

尽管有上述的“整体感”，但 dy/dx 也有些地方让它不像一个完全封闭的、独立的整体：

1. 它是“部分”的组合：就像上面说的，它是 dy 除以 dx。如果你只看到一个“dy”或者一个“dx”，它们本身是没有“导数”这个概念的。只有当它们作为一个“比率”组合起来，并且是在“x变化y也变化”这个特定语境下，它们才构成了导数。它们有各自的意义，然后结合起来才赋予了新的、更深层的意义。

2. 它允许“分裂”和“重组”的“错觉”：在某些场合，比如做隐函数求导或者变量代换的时候，你会发现 dy/dx 的符号可以像普通分数一样进行“交叉相乘”或者“约分”（虽然这只是形式上的），比如：
$$ frac{dz}{dx} = frac{dz}{dy} cdot frac{dy}{dx} $$
这种看起来可以“拆开”、“组合”的特性，让它又不像一个固定不变的整体。当然，从严格的数学定义来看，这是可以证明的，但从符号的“直观感受”上，它确实显得比较“灵活”。

所以，怎么理解这个“整体符号”的说法？

我想，说 dy/dx 是一个“整体符号”，更倾向于强调它作为一个数学概念的完整性和代表性。它不是简单地把两个字母放在一起，而是代表了“函数y随变量x变化的比率”这个核心思想。它是一个被数学家们约定俗成、赋予了特定含义的符号，并且这个含义是围绕着“变化率”这一核心概念构建起来的。

它就像一个浓缩了整个极限过程和函数关系的思想结晶。所以，从这个意义上来说，把它看作一个承载了丰富数学意义的“整体符号”，也是有其道理的。它不是一个可以随意拆解或组合后就失去意义的符号，而是有其内在逻辑和统一概念的符号。

总而言之，dy/dx 是一个非常特别的符号，它既有普通数学符号的表述功能，又蕴含了深层的数学概念和运算过程。理解它，关键在于理解它背后所代表的“变化率”这个核心思想，以及它如何通过极限过程被定义出来。它是一个符号，但更是一个概念，一个思想。

网友意见

一、微分

1. 分离变量

首先，定义出发点不同：

但是容易证明，一元函数可导与可微等价，于是与可以拆开解释：

这就是解微分方程时，分离变量的理论基础.

2. 流形上的导数

但是我们知道，当是多元函数时，可微蕴含可导，但反之不然. 可微和可导都关注到了函数增量关于某自变量增量的近似线性增长关系.

当考虑光滑流形时，在一点处的切空间上讨论是十分愉快的.

记上的光滑函数集，任取，考虑过点的光滑曲线，，

全体切向量 构成切空间，注意切向量是作为一个映射的存在：

3. 流形上的微分

作为向量空间，它存在一组天然的基.

设的坐标卡：

此为微分同胚. 通过切向量的定义，显然坐标曲线

诱导出一个切向量，构成切空间的一组基. 于是所有切向量都可以被这组基线性张成

切向量的定义是由光滑函数诱导，可视为一维光滑流形；那么对于映射到维流形，，同样可以诱导出切映射^[1].

其中是线性同构，所以我们不加区别地对待与，前者简洁，后者用于计算.

于是有切映射

其中

于是该线性映射在坐标卡下的矩阵恰是的矩阵.

二、积分

就像题主问的这类符号问题，比如起初只是形式定义，但是随着后面的数学家不断优化理论，于是有机会对以前的符号进行再观察. 比如积分符号，初始定义就是“分割求和取极限”，就是区间分割的符号化，就是极限求和的符号化. 但是现代数学对此又有了新的看法. 无论是还是，都源于几何微元（线、面）. 我们将这种微元抽象，用其性质将其固定下来——线性是它的灵魂.

1. 张量（tensor）

的“ ”是什么意思呢？第一反应是“ ”，毕竟是“切空间”嘛，但是在这里理解为“ ”也是可以的. 这个想法了不得，瞬间上的张量从^[2]丰富了起来：

其中是的对偶空间，后面我们还会提到. 张量就是线性函数的集大成者.

设是向量空间，张量是一个多重线性函数：

由张量构成的集合记为 . 显然它是一个向量空间：，

例如行列式就是典型的张量. 列向量构成的阶方阵，回忆行列式的初等变换，其中就有多重线性性：

张量积顺便提一下： ,

2. 行列式与体积

说起这行列式，就不得不说行列式和几何的关系——平行多面的有向体积.

以下内容是我抄我自己写的，但其实就是转述大神的思想^[3]（矩阵力 - 三川啦啦啦的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/52821612）：

由解析几何的知识可知，行列式绝对值表示的是维平行多面体的体积，即
表示向量、所围成的平行四边形面积；
表示、、所围成的平行六面体体积；如果矩阵是对角阵，那么意味着所求体积是一个（超）长方体体积.另外， Green 公式的退化版本也可由此初见端倪，考虑平面上一个包含原点、分段光滑的封闭曲线，考虑一个以原点以及曲线上两点为顶点微分三角形，，，那么这个微分三角形的面积（这里我们考虑有向面积，即面积可为负）：
当我们把这些微分三角形“积”起来，就是曲线所围成区域的面积. 这就是 Green 公式——

令，的退化形式.

3. 几何微元与张量

通过行列式，我们将这两者终于联系到了一起，成功回归主题.

行列式重要的性质——反交换性：

我们定义这类张量称为交错张量，交错张量的集合记为或 .

回到流形上，上的基是前文提到过的，那么在上与之对偶的基，这样一来就瞬间理解的全微分公式：

这个时候回到积分学中的公式，引入外微分：

我们称，为 0 形式，也就是标量函数；形如是 1 形式；形如是 2 形式……外微分实际上就是从 k 形式到 k+1 形式的线性变换
其中

这个映射和普通微分没有区别。关于外微分、楔积我就不多做介绍了，只要知道两个性质就可以：

利用上面性质，对求外微分恰为

（格林公式——在你来之前我就已经… - 三川啦啦啦的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/71582821）

由此诱导出的拉回映射，积分换元公式等等就不说了. 另外还有关于同调论^[4]的事实：

……

有了上同调群就可以理解很多事情了，诸如公式、、定理公式……但是我就不写，诸君就看参考文献吧.

总结

虽然我们可以用更先进的工具理解积分符号——将视为张量、形式，但这种理解始终是根植于基本几何事实. 虽然很多内容都是从书上搬运下来的，但是难免夹带一点私货，请大家多多指教.

参考

^ 唐梓洲《黎曼几何基础》
^ GTM218
^ Klein《高观点下的初等几何》
^ 姜伯驹《同调论》

那我要推荐我的一个文章了。完全可以认为，dx和dy是有自己的意义的，可以怎么去解释，请看http://zhuanlan.zhihu.com/p/85849857

这玩意可以拆开，不过严格解释并不方便。

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