效用函数的高阶导数有何经济学含义？如何推导？
效用函数的高阶导数：经济学含义、推导与应用
效用函数是经济学中用来描述消费者偏好的核心工具。它将消费者购买的一篮子商品（或劳务）的组合映射到一个数字，这个数字代表了消费者从该组合中获得的满足感或效用水平。我们通常关注效用函数的一阶导数（边际效用），它描述了消费一种商品时，总效用增加的量。然而，效用函数的高阶导数也蕴含着丰富的经济学含义，帮助我们更深入地理解消费者的行为和市场动态。
1. 效用函数的一阶导数：回顾与基础
在深入探讨高阶导数之前，我们先回顾一下一阶导数。
假设消费者消费两种商品，商品的数量分别为 $x_1$ 和 $x_2$。效用函数可以表示为 $U(x_1, x_2)$。
边际效用 (Marginal Utility, MU):
对商品 1 的边际效用：$MU_1 = frac{partial U}{partial x_1}$。它表示在其他商品数量不变的情况下，消费者每增加一单位商品 1 所获得的额外效用。
对商品 2 的边际效用：$MU_2 = frac{partial U}{partial x_2}$。它表示在其他商品数量不变的情况下，消费者每增加一单位商品 2 所获得的额外效用。
经济学含义: 边际效用是做出消费决策的核心驱动力。消费者通常倾向于将预算分配给能带来更高边际效用的商品。著名的“边际效用递减法则”表明，随着对某种商品的消费量增加，该商品带来的边际效用会逐渐下降。
2. 效用函数的高阶导数：经济学含义
高阶导数描述了边际效用自身的变化率，即“边际效用的边际变化”。它们揭示了消费者在消费过程中更精细的心理和行为特征。
2.1. 二阶导数 (SecondOrder Derivatives)
二阶导数描述了边际效用如何随着商品数量的变化而变化。
纯二阶偏导数 (Pure SecondOrder Partial Derivatives):
$frac{partial^2 U}{partial x_1^2}$: 商品 1 的边际效用的变化率。经济学上，这通常被称为 边际效用递减 (Diminishing Marginal Utility) 的度量。如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} < 0$，则意味着随着商品 1 消费量的增加，其边际效用在下降。这是大多数关于消费者行为模型的标准假设。
$frac{partial^2 U}{partial x_2^2}$: 商品 2 的边际效用的变化率。同理，如果 $frac{partial^2 U}{partial x_2^2} < 0$，则意味着商品 2 也存在边际效用递减。
混合二阶偏导数 (Mixed SecondOrder Partial Derivatives):
$frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2}$: 商品 1 消费量变化对商品 2 边际效用的影响，或者商品 2 消费量变化对商品 1 边际效用的影响（根据克莱罗定理，如果二阶导数连续可微，则混合偏导数相等：$frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} = frac{partial^2 U}{partial x_2 partial x_1}$）。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} > 0$: 这表示商品 1 和商品 2 是 互补品 (Complements)。增加商品 1 的消费会提高商品 2 的边际效用。例如，买打印机（商品 1）会增加打印纸（商品 2）的边际效用，因为打印机本身就产生了对打印纸的需求。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} < 0$: 这表示商品 1 和商品 2 是 替代品 (Substitutes)。增加商品 1 的消费会降低商品 2 的边际效用。例如，喝咖啡（商品 1）会减少对茶（商品 2）的需求，从而降低茶的边际效用。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} = 0$: 这表示商品 1 和商品 2 是 独立品 (Independent Goods)。它们之间的消费不会相互影响边际效用。
经济学含义的总结:
边际效用递减: 衡量的是消费者对某种商品消费饱和的程度。越负，说明效用递减越快，消费者越不愿意大量消费该商品。
商品间的关系 (互补/替代): 衡量的是消费者对不同商品进行消费时的交叉效应。
2.3. 三阶及更高阶导数 (ThirdOrder and HigherOrder Derivatives)
更高阶导数描述了边际效用的变化率的变化率，或者说边际效应的交叉效应的交叉效应等。虽然在基础的消费者理论中较少直接使用，但在更高级的经济模型中具有重要意义。
纯三阶偏导数 ($frac{partial^3 U}{partial x_1^3}$): 描述了商品 1 的边际效用递减（或递增）的速度如何变化。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} < 0$ 且 $frac{partial^3 U}{partial x_1^3} < 0$: 这意味着边际效用递减的速度在加快。例如，随着你喝得越来越多，你对水的享受感（边际效用）不仅在下降，而且下降的速度也在加快。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} < 0$ 且 $frac{partial^3 U}{partial x_1^3} > 0$: 这意味着边际效用递减的速度在减慢。例如，一开始你非常渴，喝第一杯水感觉极好，边际效用很高。喝第二杯时，满足感不如第一杯，但仍然很高。继续喝下去，每次喝水的额外满足感都在下降，但下降的幅度越来越小，直到你完全不渴为止。这种情况更符合一些“成瘾性”商品或体验，初期效用下降很快，后期下降趋于平缓。
混合高阶偏导数 (如 $frac{partial^3 U}{partial x_1^2 partial x_2}$): 描述了更复杂的交叉效应。例如，$frac{partial^3 U}{partial x_1^2 partial x_2}$ 衡量了商品 2 消费量的变化对商品 1 边际效用递减率的影响。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} > 0$ (互补品) 且 $frac{partial^3 U}{partial x_1^2 partial x_2} > 0$: 这意味着增加商品 2 的消费会减缓商品 1 的边际效用递减的速度。例如，如果你喜欢看电影（商品 1），而有人陪你一起看（商品 2），那么随着你看的电影越来越多，你对“看电影”这种活动本身的边际效用可能在递减，但是由于有朋友陪伴的乐趣，这种递减的速度会比一个人看电影时慢。
经济学含义的更深层理解:
高阶导数可以帮助我们构建更精细的消费者行为模型，例如：
风险规避 (Risk Aversion): 在金融经济学中，通常将效用函数用于衡量风险规避。如果一个效用函数是凹函数（即二阶导数小于零），那么它就代表风险规避。三阶导数等可以用于区分不同程度的风险规避，例如绝度风险规避、相对风险规避等。
动态消费理论: 在涉及时间消费的动态模型中，高阶导数可以描述消费者对未来不确定性的反应，以及消费路径的平滑程度。
行为经济学: 一些行为经济学模型可能涉及到非标准效用函数，其高阶导数可以捕捉人类决策中的某些认知偏差或非理性行为。
3. 效用函数的高阶导数如何推导？
效用函数的高阶导数的推导完全基于微积分的链式法则和求导法则。
3.1. 基础求导法则回顾
幂函数求导: $frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n1}$
指数函数求导: $frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
对数函数求导: $frac{d}{dx}(ln x) = frac{1}{x}$
乘积法则: $frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
链式法则: $frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$
多元函数偏导数: 对于函数 $f(x, y)$：
$frac{partial f}{partial x}$：将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。
$frac{partial f}{partial y}$：将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求导。
3.2. 推导示例
我们以一个简单的效用函数为例，来演示如何推导二阶偏导数。
假设效用函数: $U(x_1, x_2) = x_1^alpha x_2^eta$
其中 $alpha > 0, eta > 0$。
第一步：计算一阶偏导数
对 $x_1$ 求一阶偏导:
将 $x_2^eta$ 视为常数。
$frac{partial U}{partial x_1} = frac{partial}{partial x_1} (x_1^alpha x_2^eta) = alpha x_1^{alpha1} x_2^eta$
这就是 $MU_1$。
对 $x_2$ 求一阶偏导:
将 $x_1^alpha$ 视为常数。
$frac{partial U}{partial x_2} = frac{partial}{partial x_2} (x_1^alpha x_2^eta) = eta x_1^alpha x_2^{eta1}$
这就是 $MU_2$。
第二步：计算二阶偏导数
计算纯二阶偏导数:
$frac{partial^2 U}{partial x_1^2} = frac{partial}{partial x_1} (frac{partial U}{partial x_1}) = frac{partial}{partial x_1} (alpha x_1^{alpha1} x_2^eta)$
将 $x_2^eta$ 视为常数。
$frac{partial^2 U}{partial x_1^2} = alpha(alpha1) x_1^{alpha2} x_2^eta$
经济学含义:
如果 $alpha < 1$，则 $alpha1 < 0$，$alpha(alpha1) < 0$，此时 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} < 0$，表示边际效用递减。如果 $alpha = 1$，则 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} = 0$，表示边际效用恒定。如果 $alpha > 1$，则 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} > 0$，表示边际效用递增（这在经济学中比较少见）。
$frac{partial^2 U}{partial x_2^2} = frac{partial}{partial x_2} (frac{partial U}{partial x_2}) = frac{partial}{partial x_2} (eta x_1^alpha x_2^{eta1})$
将 $x_1^alpha$ 视为常数。
$frac{partial^2 U}{partial x_2^2} = eta(eta1) x_1^alpha x_2^{eta2}$
经济学含义: 同上，取决于 $eta$ 的值。
计算混合二阶偏导数:
$frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} = frac{partial}{partial x_2} (frac{partial U}{partial x_1}) = frac{partial}{partial x_2} (alpha x_1^{alpha1} x_2^eta)$
将 $alpha x_1^{alpha1}$ 视为常数。
$frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} = alpha(alpha1) x_1^{alpha1} x_2^{eta1}$ (此处有误，应该是 $alpha eta x_1^{alpha1} x_2^{eta1}$)
修正: $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} = alpha eta x_1^{alpha1} x_2^{eta1}$
经济学含义: 由于 $alpha > 0, eta > 0$，且 $x_1, x_2$ 通常为正数，所以 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} > 0$。这表明在这种CobbDouglas效用函数下，两种商品是互补的。
$frac{partial^2 U}{partial x_2 partial x_1} = frac{partial}{partial x_1} (frac{partial U}{partial x_2}) = frac{partial}{partial x_1} (eta x_1^alpha x_2^{eta1})$
将 $eta x_2^{eta1}$ 视为常数。
$frac{partial^2 U}{partial x_2 partial x_1} = eta alpha x_1^{alpha1} x_2^{eta1}$
经济学含义: 与 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2}$ 相同，印证了克莱罗定理。
3.3. 推导高阶导数
推导更高阶导数的过程也是类似的，只需将前一步得到的偏导数结果，再对相应的变量进行一次偏导数运算即可。
以计算三阶纯偏导数为例:
$frac{partial^3 U}{partial x_1^3} = frac{partial}{partial x_1} (frac{partial^2 U}{partial x_1^2}) = frac{partial}{partial x_1} (alpha(alpha1) x_1^{alpha2} x_2^eta)$
将 $x_2^eta$ 视为常数。
$frac{partial^3 U}{partial x_1^3} = alpha(alpha1)(alpha2) x_1^{alpha3} x_2^eta$
以计算混合三阶偏导数为例:
$frac{partial^3 U}{partial x_1^2 partial x_2} = frac{partial}{partial x_2} (frac{partial^2 U}{partial x_1^2}) = frac{partial}{partial x_2} (alpha(alpha1) x_1^{alpha2} x_2^eta)$
将 $alpha(alpha1) x_1^{alpha2}$ 视为常数。
$frac{partial^3 U}{partial x_1^2 partial x_2} = alpha(alpha1)eta x_1^{alpha2} x_2^{eta1}$
需要注意的几点:
链式法则的反复应用: 当效用函数是复合函数时（例如 $U(f(x_1, x_2))$），求导时需要反复应用链式法则。
对变量的识别: 在多元函数求偏导时，必须清楚哪个是自变量，哪个是需要视为常数的变量。
微积分的熟练程度: 高阶导数的推导本质上是数学运算，需要扎实的微积分基础。
4. 效用函数高阶导数的应用
虽然基础的消费者理论主要关注一阶导数，但高阶导数在更深入的经济学研究中有广泛的应用：
风险理论: 如前所述，风险规避的程度可以通过效用函数的凹凸性（二阶导数）以及对风险价格的敏感度（三阶导数）来衡量。
福利经济学: 在评估政策对社会福利影响时，需要理解不同人群的边际效用变化率，这可能涉及高阶导数。
市场微观结构: 在分析高频交易或市场波动时，可能需要考虑交易者对价格变化的敏感度（这可能与边际效用的变化相关）。
行为经济学模型: 设计更复杂的消费者选择模型，如考虑“习惯形成”或“适应性”的模型，可能需要高阶导数来捕捉这些效应。
经济增长模型: 在一些增长模型中，效用函数的性质（包括其高阶导数）会影响储蓄率和消费路径的长期行为。
总结
效用函数的高阶导数提供了一个更丰富、更精细的视角来理解消费者的偏好和行为。二阶导数主要衡量边际效用递减的程度以及商品之间的互补或替代关系。更高阶的导数则揭示了这些效应的变化率，对于构建更复杂的经济模型和解释更微妙的经济现象至关重要。虽然推导过程需要熟练的微积分技巧，但其背后蕴含的经济学含义是理解消费者行为和市场机制不可或缺的一部分。
效用函数是经济学中用来描述消费者偏好的核心工具。它将消费者购买的一篮子商品（或劳务）的组合映射到一个数字，这个数字代表了消费者从该组合中获得的满足感或效用水平。我们通常关注效用函数的一阶导数（边际效用），它描述了消费一种商品时，总效用增加的量。然而，效用函数的高阶导数也蕴含着丰富的经济学含义，帮助我们更深入地理解消费者的行为和市场动态。
1. 效用函数的一阶导数：回顾与基础
在深入探讨高阶导数之前，我们先回顾一下一阶导数。
假设消费者消费两种商品，商品的数量分别为 $x_1$ 和 $x_2$。效用函数可以表示为 $U(x_1, x_2)$。
边际效用 (Marginal Utility, MU):
对商品 1 的边际效用：$MU_1 = frac{partial U}{partial x_1}$。它表示在其他商品数量不变的情况下，消费者每增加一单位商品 1 所获得的额外效用。
对商品 2 的边际效用：$MU_2 = frac{partial U}{partial x_2}$。它表示在其他商品数量不变的情况下，消费者每增加一单位商品 2 所获得的额外效用。
经济学含义: 边际效用是做出消费决策的核心驱动力。消费者通常倾向于将预算分配给能带来更高边际效用的商品。著名的“边际效用递减法则”表明，随着对某种商品的消费量增加，该商品带来的边际效用会逐渐下降。
2. 效用函数的高阶导数：经济学含义
高阶导数描述了边际效用自身的变化率，即“边际效用的边际变化”。它们揭示了消费者在消费过程中更精细的心理和行为特征。
2.1. 二阶导数 (SecondOrder Derivatives)
二阶导数描述了边际效用如何随着商品数量的变化而变化。
纯二阶偏导数 (Pure SecondOrder Partial Derivatives):
$frac{partial^2 U}{partial x_1^2}$: 商品 1 的边际效用的变化率。经济学上，这通常被称为 边际效用递减 (Diminishing Marginal Utility) 的度量。如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} < 0$，则意味着随着商品 1 消费量的增加，其边际效用在下降。这是大多数关于消费者行为模型的标准假设。
$frac{partial^2 U}{partial x_2^2}$: 商品 2 的边际效用的变化率。同理，如果 $frac{partial^2 U}{partial x_2^2} < 0$，则意味着商品 2 也存在边际效用递减。
混合二阶偏导数 (Mixed SecondOrder Partial Derivatives):
$frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2}$: 商品 1 消费量变化对商品 2 边际效用的影响，或者商品 2 消费量变化对商品 1 边际效用的影响（根据克莱罗定理，如果二阶导数连续可微，则混合偏导数相等：$frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} = frac{partial^2 U}{partial x_2 partial x_1}$）。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} > 0$: 这表示商品 1 和商品 2 是 互补品 (Complements)。增加商品 1 的消费会提高商品 2 的边际效用。例如，买打印机（商品 1）会增加打印纸（商品 2）的边际效用，因为打印机本身就产生了对打印纸的需求。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} < 0$: 这表示商品 1 和商品 2 是 替代品 (Substitutes)。增加商品 1 的消费会降低商品 2 的边际效用。例如，喝咖啡（商品 1）会减少对茶（商品 2）的需求，从而降低茶的边际效用。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} = 0$: 这表示商品 1 和商品 2 是 独立品 (Independent Goods)。它们之间的消费不会相互影响边际效用。
经济学含义的总结:
边际效用递减: 衡量的是消费者对某种商品消费饱和的程度。越负，说明效用递减越快，消费者越不愿意大量消费该商品。
商品间的关系 (互补/替代): 衡量的是消费者对不同商品进行消费时的交叉效应。
2.3. 三阶及更高阶导数 (ThirdOrder and HigherOrder Derivatives)
更高阶导数描述了边际效用的变化率的变化率，或者说边际效应的交叉效应的交叉效应等。虽然在基础的消费者理论中较少直接使用，但在更高级的经济模型中具有重要意义。
纯三阶偏导数 ($frac{partial^3 U}{partial x_1^3}$): 描述了商品 1 的边际效用递减（或递增）的速度如何变化。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} < 0$ 且 $frac{partial^3 U}{partial x_1^3} < 0$: 这意味着边际效用递减的速度在加快。例如，随着你喝得越来越多，你对水的享受感（边际效用）不仅在下降，而且下降的速度也在加快。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} < 0$ 且 $frac{partial^3 U}{partial x_1^3} > 0$: 这意味着边际效用递减的速度在减慢。例如，一开始你非常渴，喝第一杯水感觉极好，边际效用很高。喝第二杯时，满足感不如第一杯，但仍然很高。继续喝下去，每次喝水的额外满足感都在下降，但下降的幅度越来越小，直到你完全不渴为止。这种情况更符合一些“成瘾性”商品或体验，初期效用下降很快，后期下降趋于平缓。
混合高阶偏导数 (如 $frac{partial^3 U}{partial x_1^2 partial x_2}$): 描述了更复杂的交叉效应。例如，$frac{partial^3 U}{partial x_1^2 partial x_2}$ 衡量了商品 2 消费量的变化对商品 1 边际效用递减率的影响。
如果 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} > 0$ (互补品) 且 $frac{partial^3 U}{partial x_1^2 partial x_2} > 0$: 这意味着增加商品 2 的消费会减缓商品 1 的边际效用递减的速度。例如，如果你喜欢看电影（商品 1），而有人陪你一起看（商品 2），那么随着你看的电影越来越多，你对“看电影”这种活动本身的边际效用可能在递减，但是由于有朋友陪伴的乐趣，这种递减的速度会比一个人看电影时慢。
经济学含义的更深层理解:
高阶导数可以帮助我们构建更精细的消费者行为模型，例如：
风险规避 (Risk Aversion): 在金融经济学中，通常将效用函数用于衡量风险规避。如果一个效用函数是凹函数（即二阶导数小于零），那么它就代表风险规避。三阶导数等可以用于区分不同程度的风险规避，例如绝度风险规避、相对风险规避等。
动态消费理论: 在涉及时间消费的动态模型中，高阶导数可以描述消费者对未来不确定性的反应，以及消费路径的平滑程度。
行为经济学: 一些行为经济学模型可能涉及到非标准效用函数，其高阶导数可以捕捉人类决策中的某些认知偏差或非理性行为。
3. 效用函数的高阶导数如何推导？
效用函数的高阶导数的推导完全基于微积分的链式法则和求导法则。
3.1. 基础求导法则回顾
幂函数求导: $frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n1}$
指数函数求导: $frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
对数函数求导: $frac{d}{dx}(ln x) = frac{1}{x}$
乘积法则: $frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
链式法则: $frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$
多元函数偏导数: 对于函数 $f(x, y)$：
$frac{partial f}{partial x}$：将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。
$frac{partial f}{partial y}$：将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求导。
3.2. 推导示例
我们以一个简单的效用函数为例，来演示如何推导二阶偏导数。
假设效用函数: $U(x_1, x_2) = x_1^alpha x_2^eta$
其中 $alpha > 0, eta > 0$。
第一步：计算一阶偏导数
对 $x_1$ 求一阶偏导:
将 $x_2^eta$ 视为常数。
$frac{partial U}{partial x_1} = frac{partial}{partial x_1} (x_1^alpha x_2^eta) = alpha x_1^{alpha1} x_2^eta$
这就是 $MU_1$。
对 $x_2$ 求一阶偏导:
将 $x_1^alpha$ 视为常数。
$frac{partial U}{partial x_2} = frac{partial}{partial x_2} (x_1^alpha x_2^eta) = eta x_1^alpha x_2^{eta1}$
这就是 $MU_2$。
第二步：计算二阶偏导数
计算纯二阶偏导数:
$frac{partial^2 U}{partial x_1^2} = frac{partial}{partial x_1} (frac{partial U}{partial x_1}) = frac{partial}{partial x_1} (alpha x_1^{alpha1} x_2^eta)$
将 $x_2^eta$ 视为常数。
$frac{partial^2 U}{partial x_1^2} = alpha(alpha1) x_1^{alpha2} x_2^eta$
经济学含义:
如果 $alpha < 1$，则 $alpha1 < 0$，$alpha(alpha1) < 0$，此时 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} < 0$，表示边际效用递减。如果 $alpha = 1$，则 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} = 0$，表示边际效用恒定。如果 $alpha > 1$，则 $frac{partial^2 U}{partial x_1^2} > 0$，表示边际效用递增（这在经济学中比较少见）。
$frac{partial^2 U}{partial x_2^2} = frac{partial}{partial x_2} (frac{partial U}{partial x_2}) = frac{partial}{partial x_2} (eta x_1^alpha x_2^{eta1})$
将 $x_1^alpha$ 视为常数。
$frac{partial^2 U}{partial x_2^2} = eta(eta1) x_1^alpha x_2^{eta2}$
经济学含义: 同上，取决于 $eta$ 的值。
计算混合二阶偏导数:
$frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} = frac{partial}{partial x_2} (frac{partial U}{partial x_1}) = frac{partial}{partial x_2} (alpha x_1^{alpha1} x_2^eta)$
将 $alpha x_1^{alpha1}$ 视为常数。
$frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} = alpha(alpha1) x_1^{alpha1} x_2^{eta1}$ (此处有误，应该是 $alpha eta x_1^{alpha1} x_2^{eta1}$)
修正: $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} = alpha eta x_1^{alpha1} x_2^{eta1}$
经济学含义: 由于 $alpha > 0, eta > 0$，且 $x_1, x_2$ 通常为正数，所以 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2} > 0$。这表明在这种CobbDouglas效用函数下，两种商品是互补的。
$frac{partial^2 U}{partial x_2 partial x_1} = frac{partial}{partial x_1} (frac{partial U}{partial x_2}) = frac{partial}{partial x_1} (eta x_1^alpha x_2^{eta1})$
将 $eta x_2^{eta1}$ 视为常数。
$frac{partial^2 U}{partial x_2 partial x_1} = eta alpha x_1^{alpha1} x_2^{eta1}$
经济学含义: 与 $frac{partial^2 U}{partial x_1 partial x_2}$ 相同，印证了克莱罗定理。
3.3. 推导高阶导数
推导更高阶导数的过程也是类似的，只需将前一步得到的偏导数结果，再对相应的变量进行一次偏导数运算即可。
以计算三阶纯偏导数为例:
$frac{partial^3 U}{partial x_1^3} = frac{partial}{partial x_1} (frac{partial^2 U}{partial x_1^2}) = frac{partial}{partial x_1} (alpha(alpha1) x_1^{alpha2} x_2^eta)$
将 $x_2^eta$ 视为常数。
$frac{partial^3 U}{partial x_1^3} = alpha(alpha1)(alpha2) x_1^{alpha3} x_2^eta$
以计算混合三阶偏导数为例:
$frac{partial^3 U}{partial x_1^2 partial x_2} = frac{partial}{partial x_2} (frac{partial^2 U}{partial x_1^2}) = frac{partial}{partial x_2} (alpha(alpha1) x_1^{alpha2} x_2^eta)$
将 $alpha(alpha1) x_1^{alpha2}$ 视为常数。
$frac{partial^3 U}{partial x_1^2 partial x_2} = alpha(alpha1)eta x_1^{alpha2} x_2^{eta1}$
需要注意的几点:
链式法则的反复应用: 当效用函数是复合函数时（例如 $U(f(x_1, x_2))$），求导时需要反复应用链式法则。
对变量的识别: 在多元函数求偏导时，必须清楚哪个是自变量，哪个是需要视为常数的变量。
微积分的熟练程度: 高阶导数的推导本质上是数学运算，需要扎实的微积分基础。
4. 效用函数高阶导数的应用
虽然基础的消费者理论主要关注一阶导数，但高阶导数在更深入的经济学研究中有广泛的应用：
风险理论: 如前所述，风险规避的程度可以通过效用函数的凹凸性（二阶导数）以及对风险价格的敏感度（三阶导数）来衡量。
福利经济学: 在评估政策对社会福利影响时，需要理解不同人群的边际效用变化率，这可能涉及高阶导数。
市场微观结构: 在分析高频交易或市场波动时，可能需要考虑交易者对价格变化的敏感度（这可能与边际效用的变化相关）。
行为经济学模型: 设计更复杂的消费者选择模型，如考虑“习惯形成”或“适应性”的模型，可能需要高阶导数来捕捉这些效应。
经济增长模型: 在一些增长模型中，效用函数的性质（包括其高阶导数）会影响储蓄率和消费路径的长期行为。
总结
效用函数的高阶导数提供了一个更丰富、更精细的视角来理解消费者的偏好和行为。二阶导数主要衡量边际效用递减的程度以及商品之间的互补或替代关系。更高阶的导数则揭示了这些效应的变化率，对于构建更复杂的经济模型和解释更微妙的经济现象至关重要。虽然推导过程需要熟练的微积分技巧，但其背后蕴含的经济学含义是理解消费者行为和市场机制不可或缺的一部分。
网友意见
这个问题太有意思了，让我们一起在经济学中学习人类的各种美德/恶行，修炼成为圣骑士吧！
作为修炼者，要首先有一个效用函数 ，x可以是任何东西，只要能给你带来或正或负的效用就行。
如果一阶导小于零 ，边际效用小于0，那么我们称之为「餍足」，就像吃东西一样，开始吃的时候可能越吃越开心，后来撑了之后就越吃效用越低了。所以我们要尽量做到 ，也就是「不餍足」。
如果二阶导小于零 ，那么我们称之为「风险厌恶」[1]，因为边际效用递减，所以如果在彩票和确定性的x之间选择，确定性会带来更高的效用。但是我们是要做圣骑士的，所以我们要勇于冒险，需要 .
如果三阶导大于零， ，我们称之为「谨慎」[2]。也就是边际效用本身是凸的。体现在个体优化上，个体会尽量避免大起大落，而倾向于平滑的收入。在投资策略的选择上，当均值和方差都一样的情况下，谨慎的个体会倾向于斜度更大的投资策略。圣骑士当然是谨慎的。
如果四阶导小于零， ，我们称之为「节制」[3]。节制是圣骑士的非常重要的美德。当个体面临不可避免的背景风险的时候——比如宏观大形势，央行利率调节等等时，个体会降低其他独立风险领域的投资最优值——有节制的个体会倾向于峰度小的投资策略，按照大魔导师Gollier的说法，就是有节制的人会「分散坏情况出现的可能性」。
如果五阶导大于零， ，我们称之为「急躁」[4]。当存在背景噪声的时候，是不是谨慎还能够被保持？如果不会被保持，那就是说明个体是「急躁」的[5]。圣骑士当然不急躁，所以我们要追求 。
日常的这些效用函数，几乎没有一个能满足这些苛刻的要求。比如说：
这个函数的一阶导大于0，二阶导小于0，三阶导大于0，四阶导小于0，五阶导大于0，所以是不餍足、风险规避，谨慎、节制、而急躁的。
这个函数一阶导大于0，之后所有的导数等于0。除了不餍足之外，不体现任何美德或者恶行。
是1-3阶大于0，4阶小于0，然而5️阶又大于0了，终究是犯了「急躁」的毛病啊，通往圣骑士的道路充满崎岖，果然是修炼不易啊！
一个完美的圣骑士，应该是「不餍足」、「风险热爱」、「谨慎」、「节制」但是不「急躁」的。一阶导到三阶导都大于0，四阶五阶小于0，这样的连续函数挺难找， 我们可以假设一个多项式：
我们需要
在X是[0,1]的区间上， 就完美的满足圣骑士的一切特点:
对于对自己要求特别高，希望继续修炼其他美德的同学，请耐心等待，估计再过几年，其他的什么勤勉、宽容都会被经济学家开发并用效用函数表示出来^_^
最后和题主悄悄说一下，读读参考文献的第四篇，基本上从1阶到n阶都可以理解了。
参考
- ^ Rothschild, M. and J. Stiglitz,“Increasing risk: I. A definition,” Journal of Economic Theory, vol. 2, no. 3, 1970, pp. 225—243.
- ^ Kimball, M.,“Precautionary savings in the small and in the large,” Econometrica, vol. 58, no. 1, 1990, pp. 53—73.
- ^ Gollier, Christian, and John W. Pratt. "Risk vulnerability and the tempering effect of background risk." Econometrica: Journal of the Econometric Society (1996): 1109-1123.
- ^ Deck, Cary, and Harris Schlesinger. "Consistency of higher order risk preferences." Econometrica 82, no. 5 (2014): 1913-1943.
- ^ Lajeri-Chaherli, F., “Proper prudence, standard prudence and precautionary vulnerability,” Economics Letters, vol. 82, no. 1, 2004, pp. 29—34.
本回答可以看做对@司马懿 回答的补充。高阶导数的正负可以用一系列抽奖券来描述嘛。
圣骑士的自我修养之抽奖券篇：
河神曾经曰过：路过的圣骑士啊，你掉的是这个 Y1 lottery还是X1 lottery啊？
圣骑士：你当我是傻子吗
效用一阶导大于零，意味着多多益善，当h大于0时，对于以下两个选项，圣骑士总是喜欢Y1多于X1；
河神： 圣骑士啊，游戏版本升级了，现在X1和Y1只能随机掉落了。你是希望X1和h一起掉落(X2)呢，还是Y1和h一起掉落(Y2)？
圣骑士：当我非酋（抽到X1）的时候，希望可以有点补偿（h）。这种品质我们称之为“风险厌恶”，或者说， 效用函数二阶导小于零，或者，圣骑士喜欢X2多过Y2。
河神：圣骑士啊，游戏版本又升级了，这次的掉落换成抽奖券了。你是希望抽奖券X2和h一起掉落（X3）呢，还是抽奖券Y2和h一起掉落（Y3)呢？
圣骑士想起，自己是个风险厌恶的人，Y2意味着更大的风险（当自己非酋的时候莫得补偿），于是谨慎的圣骑士希望，当自己抽到Y2的时候，可以先要点补偿（h），以免非酋的时候自己的小心脏受不了。这种心理我们称作“谨慎”，或者，效用函数三阶导大于零，或者，圣骑士喜欢Y3多过X3。
河神：圣骑士啊，游戏版本又双升级了，这次的掉落变成能抽抽奖券的抽奖券了。你是希望抽奖券X3和h一起掉落（X4）呢，还是抽奖券Y3和h一起掉落呢（Y4）？
圣骑士：你们和非酋有仇吗？
（这部分懒得写了留给题主推导吧，但节制的圣骑士比起比非更非，更喜欢两非相权取其欧，于是选择了X4）
更高阶的情况：
（河神： 这游戏又双叒叕更新了）
当我们说圣骑士的效用满足 的时候，意味着
当s是奇数时，面对河神的俄罗斯套娃式抽奖券之奇数版，圣骑士总是喜欢Ys多于Xs:
当s是偶数时，面对河神的俄罗斯套娃式抽奖券之偶数版，圣骑士总是喜欢Xs多于Ys:
参考文献
Denuit, Michel M., Eeckhoudt, Louis, 'Stronger measures of higher-order risk attitudes', Journal of Economic Theory 145 (2010) 2017-2036
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