为什么高等教材中极少出现 ÷（除号）？
高等数学的教材，你可能确实会发现除号“÷”的身影越来越稀疏，甚至几乎消失不见。这并非是故意的“打压”，而是数学发展到一定阶段后，语言和符号的自然演变，以及更高效、更普适表达方式的需求所致。
要理解这一点，我们得先回到符号“÷”的起源，以及它在数学中的位置。
“÷”号的历史与局限
“÷”这个符号，通常我们称之为“除号”或“除法符号”。它出现的时间相对较晚，大约在17世纪才开始流行。在它之前，人们也用各种方式表示除法。比如，拉丁语中的“per”就表示“除以”，或者用分数线来表示。
“÷”符号的设计初衷是为了直观地表示“被一个数分成若干份”。它两侧的数字，一个是被除数，一个是除数，中间的符号就是“操作”。这种表示方式非常形象，尤其适合在基础教育阶段教授除法的概念。它就像一个“分割”的动作，让初学者更容易理解“把多少东西平均分成几份”。
然而，随着数学的深入发展，特别是到了代数和高等数学领域，“÷”号的局限性就暴露出来了。
1. 书写的不便与歧义：
垂直空间占用大： “÷”号及其两侧的被除数和除数，需要占用相对较大的垂直空间。想象一下，在一个复杂的代数表达式中，如果到处都是这种形式的除法，整个式子会显得非常臃肿和难以阅读。
与分数线的冲突： 分数线本身就是一种非常古老且强大的表示除法的方式。比如，“a除以b”就可以写作 $frac{a}{b}$。这个分数形式不仅更简洁，而且能够更好地融入到更复杂的表达式中。而且，分数线天然地就允许我们写出多层嵌套的除法，这是“÷”号很难做到的。你能想象写 $frac{frac{a}{b}}{frac{c}{d}}$ 吗？用“÷”号来表示就是 $frac{a}{b} div frac{c}{d}$，但如果再往深处嵌套，例如写成 $frac{a div b}{c div d}$，就已经开始变得不那么直观和统一了。
2. 无法很好地与代数运算融合：
符号的“个体性”： “÷”号更像是一个“动作”的指示，它需要明确地放在两个具体的数字或代数表达式之间。但在高等数学中，我们处理的常常是函数、向量、矩阵、变量的组合，这些对象之间的关系更为复杂。
分数线作为“运算”和“结构”： 分数线不仅仅表示除法，它还同时表示了“一个整体”的概念。例如，$frac{f(x)}{g(x)}$ 就代表了两个函数做除法运算的结果，但同时它本身也是一个单一的、新的函数表达式。这种将运算和结果的结构融合在一起的能力，“÷”号是很难做到的。想象一下微积分中的求导法则，比如商法则：$(frac{f}{g})' = frac{f'g fg'}{g^2}$。这里的分数线就将整个“商”作为一个对象来处理。
3. 更普适和抽象的表达需求：
函数与映射： 在高等数学中，我们经常讨论函数之间的关系，包括函数的“除法”。例如，如果 $f$ 和 $g$ 是两个函数，那么它们的“商”可以定义为另一个函数 $h(x) = frac{f(x)}{g(x)}$。这里的 $frac{f(x)}{g(x)}$ 就比 $f(x) div g(x)$ 更为自然和普遍。
向量空间与线性代数： 在向量空间中，我们谈论向量的“缩放”或“除以”一个标量，通常用 $frac{1}{c} mathbf{v}$ 或 $mathbf{v}/c$ 来表示，这里的斜杠也是分数线的变体。矩阵的运算更是如此，矩阵的“除法”通常被转化为乘以逆矩阵，即 $A^{1}B$，而不是 $A div B$。
抽象代数： 在更抽象的代数结构（如群、环、域）中，除法通常被定义为乘以乘法逆元。例如，在一个域 $F$ 中，对于任意非零元素 $b in F$，其“除以 $b$”的操作就是乘以 $b^{1}$。这里的 $b^{1}$ 本身就蕴含了除法的概念，但我们不再需要一个单独的“÷”符号来表示这个操作。
4. 计算机和排版的需求：
从计算机编程和排版的角度看，分数形式 $frac{a}{b}$（在计算机语言中常写作 `a / b`）比包含特殊符号“÷”的表达式更容易处理和显示。很多排版系统（如 LaTeX）就是以分数形式为基础来处理数学公式的。
高等数学教材中主流的表示方法
因此，在高等数学教材中，你会看到：
分数形式： 这是最普遍、最核心的表示方法，如 $frac{a}{b}$，$frac{x^2+1}{x3}$，$frac{f(x)}{g(x)}$ 等。
斜杠（Slash）： 在代数表达式中，特别是当分子和分母相对简单，或者作为函数的一部分时，也会用斜杠表示，如 $f(x)/g(x)$。这其实可以看作是分数的一种线性表示。
乘法逆元： 在更抽象的代数和线性代数中，除法被直接转化为乘以逆元，如 $a^{1}b$ 或 $A^{1}B$。
总结来说
“÷”号之所以在高等教材中罕见，是因为：
数学语言的演进： 随着数学的深入，需要更简洁、更强大、更普适的符号和表达方式。
分数线的优势： 分数线不仅简洁，还能更好地融入复杂的代数结构，表达更丰富的概念。
抽象化需求： 高等数学处理的是更为抽象的对象和关系，需要能够代表运算本身或运算结果的统一结构，而不是仅仅一个操作符号。
效率和清晰度： 在复杂的推导中，分数线和乘法逆元比反复使用“÷”号能显著提高清晰度和书写效率。
“÷”号并没有消失，它依然是我们认识除法的基础。但当数学的表达进入更复杂的层面时，数学家们自然会选择那些更适合、更高效、更普适的工具，而分数线无疑是其中最重要的一件。就像你不会用一根小木棍去建造一座摩天大楼一样，数学语言也在不断“升级换代”，以适应更宏伟的表达需求。
要理解这一点，我们得先回到符号“÷”的起源，以及它在数学中的位置。
“÷”号的历史与局限
“÷”这个符号，通常我们称之为“除号”或“除法符号”。它出现的时间相对较晚，大约在17世纪才开始流行。在它之前，人们也用各种方式表示除法。比如，拉丁语中的“per”就表示“除以”，或者用分数线来表示。
“÷”符号的设计初衷是为了直观地表示“被一个数分成若干份”。它两侧的数字，一个是被除数，一个是除数，中间的符号就是“操作”。这种表示方式非常形象，尤其适合在基础教育阶段教授除法的概念。它就像一个“分割”的动作，让初学者更容易理解“把多少东西平均分成几份”。
然而，随着数学的深入发展，特别是到了代数和高等数学领域，“÷”号的局限性就暴露出来了。
1. 书写的不便与歧义：
垂直空间占用大： “÷”号及其两侧的被除数和除数，需要占用相对较大的垂直空间。想象一下，在一个复杂的代数表达式中，如果到处都是这种形式的除法，整个式子会显得非常臃肿和难以阅读。
与分数线的冲突： 分数线本身就是一种非常古老且强大的表示除法的方式。比如，“a除以b”就可以写作 $frac{a}{b}$。这个分数形式不仅更简洁，而且能够更好地融入到更复杂的表达式中。而且，分数线天然地就允许我们写出多层嵌套的除法，这是“÷”号很难做到的。你能想象写 $frac{frac{a}{b}}{frac{c}{d}}$ 吗？用“÷”号来表示就是 $frac{a}{b} div frac{c}{d}$，但如果再往深处嵌套，例如写成 $frac{a div b}{c div d}$，就已经开始变得不那么直观和统一了。
2. 无法很好地与代数运算融合：
符号的“个体性”： “÷”号更像是一个“动作”的指示，它需要明确地放在两个具体的数字或代数表达式之间。但在高等数学中，我们处理的常常是函数、向量、矩阵、变量的组合，这些对象之间的关系更为复杂。
分数线作为“运算”和“结构”： 分数线不仅仅表示除法，它还同时表示了“一个整体”的概念。例如，$frac{f(x)}{g(x)}$ 就代表了两个函数做除法运算的结果，但同时它本身也是一个单一的、新的函数表达式。这种将运算和结果的结构融合在一起的能力，“÷”号是很难做到的。想象一下微积分中的求导法则，比如商法则：$(frac{f}{g})' = frac{f'g fg'}{g^2}$。这里的分数线就将整个“商”作为一个对象来处理。
3. 更普适和抽象的表达需求：
函数与映射： 在高等数学中，我们经常讨论函数之间的关系，包括函数的“除法”。例如，如果 $f$ 和 $g$ 是两个函数，那么它们的“商”可以定义为另一个函数 $h(x) = frac{f(x)}{g(x)}$。这里的 $frac{f(x)}{g(x)}$ 就比 $f(x) div g(x)$ 更为自然和普遍。
向量空间与线性代数： 在向量空间中，我们谈论向量的“缩放”或“除以”一个标量，通常用 $frac{1}{c} mathbf{v}$ 或 $mathbf{v}/c$ 来表示，这里的斜杠也是分数线的变体。矩阵的运算更是如此，矩阵的“除法”通常被转化为乘以逆矩阵，即 $A^{1}B$，而不是 $A div B$。
抽象代数： 在更抽象的代数结构（如群、环、域）中，除法通常被定义为乘以乘法逆元。例如，在一个域 $F$ 中，对于任意非零元素 $b in F$，其“除以 $b$”的操作就是乘以 $b^{1}$。这里的 $b^{1}$ 本身就蕴含了除法的概念，但我们不再需要一个单独的“÷”符号来表示这个操作。
4. 计算机和排版的需求：
从计算机编程和排版的角度看，分数形式 $frac{a}{b}$（在计算机语言中常写作 `a / b`）比包含特殊符号“÷”的表达式更容易处理和显示。很多排版系统（如 LaTeX）就是以分数形式为基础来处理数学公式的。
高等数学教材中主流的表示方法
因此，在高等数学教材中，你会看到：
分数形式： 这是最普遍、最核心的表示方法，如 $frac{a}{b}$，$frac{x^2+1}{x3}$，$frac{f(x)}{g(x)}$ 等。
斜杠（Slash）： 在代数表达式中，特别是当分子和分母相对简单，或者作为函数的一部分时，也会用斜杠表示，如 $f(x)/g(x)$。这其实可以看作是分数的一种线性表示。
乘法逆元： 在更抽象的代数和线性代数中，除法被直接转化为乘以逆元，如 $a^{1}b$ 或 $A^{1}B$。
总结来说
“÷”号之所以在高等教材中罕见，是因为：
数学语言的演进： 随着数学的深入，需要更简洁、更强大、更普适的符号和表达方式。
分数线的优势： 分数线不仅简洁，还能更好地融入复杂的代数结构，表达更丰富的概念。
抽象化需求： 高等数学处理的是更为抽象的对象和关系，需要能够代表运算本身或运算结果的统一结构，而不是仅仅一个操作符号。
效率和清晰度： 在复杂的推导中，分数线和乘法逆元比反复使用“÷”号能显著提高清晰度和书写效率。
“÷”号并没有消失，它依然是我们认识除法的基础。但当数学的表达进入更复杂的层面时，数学家们自然会选择那些更适合、更高效、更普适的工具，而分数线无疑是其中最重要的一件。就像你不会用一根小木棍去建造一座摩天大楼一样，数学语言也在不断“升级换代”，以适应更宏伟的表达需求。
网友意见
写成分式的比较多。
我个人觉得原因应该是：
1：除号比较适合一行内写完的简单式子，而高等数学一般公式本来就比较复杂，一行内很难完全写下。所以，用分式写反而会短一些，清晰一些。
2：在做数值计算时，除法一般是无法有精确结果的，所以在计算时，都会尽量的放在最后一步来做。这时，如果用除号，就需要加额外的括号，而且这括号可能包含的内容很多，一下子也不一定容易看到起止。
3：如果不需要四舍五入的小数解，那么（需要用到除法的）最终精确结果肯定只能用分式来表达（例如说如果不是特别原因，肯定应该用1/3作为数值解而不是0.333……）。所以，在原公式里，也用分式来代表除法，会更直观点。
4：既然数值解用了分式表示，那解析解也为了兼容和对应，用a/b的形式就显然比a➗b在写法上更贴近1/3。
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