为何常用偶数进制却少见奇数进制？
为何常用偶数进制却少见奇数进制？ 详细解析
你提出的问题非常有趣且深刻，触及了计数系统设计的核心原理。事实上，并非所有奇数进制都“少见”到完全无法使用，但与偶数进制相比，确实存在明显的数量和普及度差异。这背后有着多方面的原因，可以从数学性质、工程实现、人类认知习惯等多个角度来解释。
1. 数学上的优势：整除性和对称性
这是最核心的原因之一。
偶数进制的整除性： 在一个基数为 $b$ 的进制系统中，如果 $b$ 是偶数，那么它就能被 $b/2$ 整除。这意味着在进行除法运算时，对于以 $b/2$ 为因数的目标数，结果的表示会相对简洁。例如，在十进制（基数10，偶数）中，50除以10等于5，除以5等于10。在二进制（基数2，偶数）中，任何偶数都可以被2整除，这使得表示和处理偶数非常方便。
奇数进制的“不平衡性”： 对于奇数进制 $b$，它无法被 $b/2$ 整除。这意味着在涉及到与 $b$ 的因子相关的运算时，奇数进制可能会显得有些“不平衡”。例如，在一个基数为3的系统中，将一个数除以3（即 $3/2$ 的两倍）可能需要更复杂的表示或处理。
因子分布的差异： 偶数通常比奇数拥有更多的因子（除了1和自身之外）。例如，10的因子有1, 2, 5, 10；而7的因子只有1, 7。因子越多，意味着在进行乘法和除法时，有更多的“简洁”表示方式。这对于早期手动计算或简化计算非常有利。
举例说明：
假设我们要表示“一半”。
十进制 (10进制): 一半是 5。非常简洁。
二进制 (2进制): 十进制的 0.5 在二进制中是 $0.1$。 1 除以 2 是 0 余 1，写成 $0.1_2$。
三进制 (3进制): 十进制的 0.5 在三进制中如何表示？ $0.5 imes 3 = 1.5$，所以第一位是1。 $0.5 imes 3 1 = 0.5$，所以下一位还是1。 结果是 $0.111..._3$ (循环小数)。 这显然不如十进制和二进制的“一半”表示简洁。
这种在处理“一半”时的复杂性，也映射到其他因数上的处理。
2. 工程实现和硬件设计
在计算机科学和电子工程领域，进制的选择对硬件设计和电路实现有着直接影响。
二进制 (2进制) 的绝对主导地位： 计算机的底层逻辑是基于电信号的“开”和“关”，这完美对应了0和1。一个二进制位（bit）可以用一个晶体管的状态来表示，这使得逻辑门和电路设计极为简洁高效。
偶数进制的优势在早期尤为明显： 在早期电子计算机发展过程中，设计能够可靠处理不同电平状态的逻辑电路需要大量的技术积累。二进制的两个稳定状态（高电平/低电平）是最容易实现的。
其他偶数进制的考虑：
四进制 (4进制) 和八进制 (8进制): 它们可以看作是二进制的“打包”。例如，8进制的一位数字可以表示3个二进制位 ($2^3=8$)。这在早期的机器码和汇编语言中很有用，可以减少表示长度，简化阅读和记忆。现在虽然不如二进制直接，但依然在某些领域有应用。
十六进制 (16进制): 这是目前最常用的一种偶数进制（除了十进制和二进制）。它能用单个字符（09，AF）表示4个二进制位（$2^4=16$）。这在内存地址、颜色编码、网络协议等领域非常普遍，因为它极大地压缩了信息的长度，同时又比直接使用二进制更易读。
奇数进制在硬件上的不便： 如果要实现一个奇数进制的计数器，比如三进制，就需要设计能够稳定表示0、1、2三种状态的存储单元。这通常需要更复杂的电路，或者通过组合多个二进制组件来实现，增加了设计的复杂性和成本。虽然技术上是可行的，但在效率和成本上不敌直接使用二进制的偶数进制。
3. 人类认知和习惯
虽然不如数学和工程原因那么决定性，但人类的认知习惯也起到了辅助作用。
十进制的普及： 我们最熟悉的是十进制。这很可能与我们有十根手指有关。十进制系统在历史上被广泛采纳，并已经深入到我们生活的方方面面。这使得我们习惯于使用10的幂来组织数字。
与十进制的关联性： 很多偶数进制（如8进制、16进制）可以通过某种方式与十进制建立联系，或者在表示上更简洁地映射到十进制。例如，八进制的 777 和十进制的 1000 之间关系相对容易理解。
奇数进制的“陌生感”： 奇数进制，特别是那些与10没有明显因子关系的奇数进制（如3进制、7进制），会给我们一种“陌生感”，需要我们主动去适应其计数规则和表示方法。
4. 历史发展和惯性
技术的选择往往受到历史进程的影响，一旦某种技术成为主流，就会产生强大的惯性。
二进制的早期成功： 随着计算机的诞生和发展，二进制作为其核心语言获得了巨大的成功和普及。这种成功进一步巩固了其地位，并影响了后续相关技术的选择。
对现有体系的兼容性： 任何新的计数系统引入都需要考虑与现有体系的兼容性。如果一个奇数进制系统不能在成本、效率或易用性上提供压倒性优势，那么就很难取代已经根深蒂固的偶数进制系统。
总结
总而言之，常用偶数进制而少见奇数进制，主要原因可以归结为：
数学上的优势： 偶数进制在整除性和因子分布上通常比奇数进制更具优势，尤其在处理与基数相关的运算时。
工程实现的简洁性： 二进制的物理实现与电子信号的“开/关”完美契合，为计算机硬件设计奠定了基础。其他偶数进制（如8、16进制）也是二进制的有效“打包”形式，在工程上易于实现且能提高效率。
人类认知习惯： 虽然不是决定性因素，但我们对十进制的熟悉和偶数进制在某些方面的表现，使得它们更容易被接受和使用。
历史惯性： 二进制在计算机科学中的早期成功和广泛应用，带来了强大的技术惯性，使得偶数进制体系得以巩固和发展。
当然，这并不意味着奇数进制就一无是处。在某些特定的理论研究或非常规的应用场景中，奇数进制也可能展现出其独特的价值。但从目前的广泛应用和实用性来看，偶数进制，特别是二进制和十六进制，无疑占据了主导地位。
你提出的问题非常有趣且深刻，触及了计数系统设计的核心原理。事实上，并非所有奇数进制都“少见”到完全无法使用，但与偶数进制相比，确实存在明显的数量和普及度差异。这背后有着多方面的原因，可以从数学性质、工程实现、人类认知习惯等多个角度来解释。
1. 数学上的优势：整除性和对称性
这是最核心的原因之一。
偶数进制的整除性： 在一个基数为 $b$ 的进制系统中，如果 $b$ 是偶数，那么它就能被 $b/2$ 整除。这意味着在进行除法运算时，对于以 $b/2$ 为因数的目标数，结果的表示会相对简洁。例如，在十进制（基数10，偶数）中，50除以10等于5，除以5等于10。在二进制（基数2，偶数）中，任何偶数都可以被2整除，这使得表示和处理偶数非常方便。
奇数进制的“不平衡性”： 对于奇数进制 $b$，它无法被 $b/2$ 整除。这意味着在涉及到与 $b$ 的因子相关的运算时，奇数进制可能会显得有些“不平衡”。例如，在一个基数为3的系统中，将一个数除以3（即 $3/2$ 的两倍）可能需要更复杂的表示或处理。
因子分布的差异： 偶数通常比奇数拥有更多的因子（除了1和自身之外）。例如，10的因子有1, 2, 5, 10；而7的因子只有1, 7。因子越多，意味着在进行乘法和除法时，有更多的“简洁”表示方式。这对于早期手动计算或简化计算非常有利。
举例说明：
假设我们要表示“一半”。
十进制 (10进制): 一半是 5。非常简洁。
二进制 (2进制): 十进制的 0.5 在二进制中是 $0.1$。 1 除以 2 是 0 余 1，写成 $0.1_2$。
三进制 (3进制): 十进制的 0.5 在三进制中如何表示？ $0.5 imes 3 = 1.5$，所以第一位是1。 $0.5 imes 3 1 = 0.5$，所以下一位还是1。 结果是 $0.111..._3$ (循环小数)。 这显然不如十进制和二进制的“一半”表示简洁。
这种在处理“一半”时的复杂性，也映射到其他因数上的处理。
2. 工程实现和硬件设计
在计算机科学和电子工程领域，进制的选择对硬件设计和电路实现有着直接影响。
二进制 (2进制) 的绝对主导地位： 计算机的底层逻辑是基于电信号的“开”和“关”，这完美对应了0和1。一个二进制位（bit）可以用一个晶体管的状态来表示，这使得逻辑门和电路设计极为简洁高效。
偶数进制的优势在早期尤为明显： 在早期电子计算机发展过程中，设计能够可靠处理不同电平状态的逻辑电路需要大量的技术积累。二进制的两个稳定状态（高电平/低电平）是最容易实现的。
其他偶数进制的考虑：
四进制 (4进制) 和八进制 (8进制): 它们可以看作是二进制的“打包”。例如，8进制的一位数字可以表示3个二进制位 ($2^3=8$)。这在早期的机器码和汇编语言中很有用，可以减少表示长度，简化阅读和记忆。现在虽然不如二进制直接，但依然在某些领域有应用。
十六进制 (16进制): 这是目前最常用的一种偶数进制（除了十进制和二进制）。它能用单个字符（09，AF）表示4个二进制位（$2^4=16$）。这在内存地址、颜色编码、网络协议等领域非常普遍，因为它极大地压缩了信息的长度，同时又比直接使用二进制更易读。
奇数进制在硬件上的不便： 如果要实现一个奇数进制的计数器，比如三进制，就需要设计能够稳定表示0、1、2三种状态的存储单元。这通常需要更复杂的电路，或者通过组合多个二进制组件来实现，增加了设计的复杂性和成本。虽然技术上是可行的，但在效率和成本上不敌直接使用二进制的偶数进制。
3. 人类认知和习惯
虽然不如数学和工程原因那么决定性，但人类的认知习惯也起到了辅助作用。
十进制的普及： 我们最熟悉的是十进制。这很可能与我们有十根手指有关。十进制系统在历史上被广泛采纳，并已经深入到我们生活的方方面面。这使得我们习惯于使用10的幂来组织数字。
与十进制的关联性： 很多偶数进制（如8进制、16进制）可以通过某种方式与十进制建立联系，或者在表示上更简洁地映射到十进制。例如，八进制的 777 和十进制的 1000 之间关系相对容易理解。
奇数进制的“陌生感”： 奇数进制，特别是那些与10没有明显因子关系的奇数进制（如3进制、7进制），会给我们一种“陌生感”，需要我们主动去适应其计数规则和表示方法。
4. 历史发展和惯性
技术的选择往往受到历史进程的影响，一旦某种技术成为主流，就会产生强大的惯性。
二进制的早期成功： 随着计算机的诞生和发展，二进制作为其核心语言获得了巨大的成功和普及。这种成功进一步巩固了其地位，并影响了后续相关技术的选择。
对现有体系的兼容性： 任何新的计数系统引入都需要考虑与现有体系的兼容性。如果一个奇数进制系统不能在成本、效率或易用性上提供压倒性优势，那么就很难取代已经根深蒂固的偶数进制系统。
总结
总而言之，常用偶数进制而少见奇数进制，主要原因可以归结为：
数学上的优势： 偶数进制在整除性和因子分布上通常比奇数进制更具优势，尤其在处理与基数相关的运算时。
工程实现的简洁性： 二进制的物理实现与电子信号的“开/关”完美契合，为计算机硬件设计奠定了基础。其他偶数进制（如8、16进制）也是二进制的有效“打包”形式，在工程上易于实现且能提高效率。
人类认知习惯： 虽然不是决定性因素，但我们对十进制的熟悉和偶数进制在某些方面的表现，使得它们更容易被接受和使用。
历史惯性： 二进制在计算机科学中的早期成功和广泛应用，带来了强大的技术惯性，使得偶数进制体系得以巩固和发展。
当然，这并不意味着奇数进制就一无是处。在某些特定的理论研究或非常规的应用场景中，奇数进制也可能展现出其独特的价值。但从目前的广泛应用和实用性来看，偶数进制，特别是二进制和十六进制，无疑占据了主导地位。
网友意见
当然有五进制的。我设计过一条生产线，每五组产品做一个包装袋。我在PLC程序中植入识别程序，并驱动机械手执行包装操控。
另外，我在变电站测控PLC中植入SOE程序，此程序可以识别最后操控的几个开关量，我设置为9组，即9进制。具体程序如下：
可见，除了十进制外，采用多少进制，完全由实际需求决定的。
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