整函数f(z)满足lim(z→∞)Re(f(z))/z=0，则f是常数吗？
这个问题很有意思，我们可以深入探讨一下。
首先，我们来看一下题目给出的条件：
1. $f(z)$ 是一个整函数（entire function），这意味着它在整个复平面上解析。
2. $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。这个条件限制了函数在无穷远处的行为。
我们要判断的是，在这种条件下，$f(z)$ 是否一定是常数函数。
直观理解：
整函数在复平面上的行为通常很“复杂”，例如多项式。然而，条件 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$ 似乎在“抑制”函数实部随 $|z|$ 的增长速度。如果我们考虑一个简单的非常数整函数，比如 $f(z) = az+b$，$a, b$ 是常数且 $a eq 0$。
如果 $a$ 是实数，比如 $f(z) = 2z+1$。那么 $ ext{Re}(f(z)) = 2 ext{Re}(z)+1$。当 $z o infty$ 时，如果沿着实轴走，$z=x$，则 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{2x+1}{x} o 2 eq 0$。如果沿着虚轴走，$z=iy$，则 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{1}{iy} o 0$。但这个极限对所有方向都必须成立。
如果 $a$ 是纯虚数，比如 $f(z) = iz+1$。那么 $ ext{Re}(f(z)) = ext{Re}(iz+1) = ext{Re}(i(x+iy)+1) = ext{Re}(ixy+1) = y+1$。当 $z o infty$ 时，如果沿着实轴走，$z=x$，则 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{1}{x} o 0$。如果沿着虚轴走，$z=iy$，则 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{y+1}{iy} o 0$。这看起来好像满足了。
但是，这个极限是对整个复平面上的 $z$ 而言的。当 $|z|$ 很大时，我们不能只考虑实轴或虚轴。
利用复分析的理论工具：
为了严谨地证明，我们需要依靠复分析中的一些重要定理。其中，刘维尔定理（Liouville's Theorem） 是一个非常强大的工具，它指出：如果一个整函数在整个复平面上有界，那么它一定是常数函数。
我们的目标是将给定的条件转化为函数有界的条件，或者证明函数不能有非零导数（如果 $f'(z)$ 是零函数，那么 $f(z)$ 就是常数）。
关键的尝试：证明 $f'(z) equiv 0$
一个整函数 $f(z)$ 是常数当且仅当它的导数 $f'(z)$ 在整个复平面上恒等于零。所以，我们的任务就转化为证明 $f'(z) equiv 0$。
设 $g(z) = frac{f(z)}{z}$。题目给的条件是 $lim_{z o infty} ext{Re}(g(z)) = 0$。这个条件是关于 $g(z)$ 的实部在无穷远处的行为，而不是 $g(z)$ 本身。
我们知道，对于一个整函数 $f(z)$，它可以写成泰勒级数的形式：
$f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + dots + a_n z^n + dots$
如果 $f(z)$ 不是常数，那么它一定有一个非零的最高次项，设为 $a_n z^n$，$n ge 1$。
现在我们来看看 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 在无穷远处是什么情况。
$f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + dots + a_n z^n + O(z^{n1})$ （假设 $a_n$ 是 $f(z)$ 的最高次项系数，且 $a_n eq 0$）
那么，
$frac{f(z)}{z} = frac{a_0}{z} + a_1 + a_2 z + dots + a_n z^{n1} + O(z^{n2})$
我们关注的是 $ ext{Re}(f(z))$。
$f(z) = sum_{k=0}^{infty} a_k z^k$
考虑 $z$ 很大时，$f(z)$ 的主导项。如果 $f(z)$ 不是常数，设 $n ge 1$ 是 $f(z)$ 的阶数（即最高次项的次数），且 $a_n eq 0$。
那么 $f(z) sim a_n z^n$ 当 $z o infty$。
在这种情况下，$frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 的行为会如何？
$f(z) = a_n z^n + dots$
为了分析 $ ext{Re}(f(z))$，我们不妨把 $z$ 换成极坐标形式：$z = r e^{i heta}$。
$f(z) = a_n (r e^{i heta})^n + ext{低阶项}$
$f(z) = a_n r^n e^{in heta} + ext{低阶项}$
$ ext{Re}(f(z)) = ext{Re}(a_n r^n e^{in heta}) + ext{低阶项}$
我们设 $a_n = alpha + ieta$，其中 $alpha, eta$ 是实数。
$a_n r^n e^{in heta} = (alpha + ieta) r^n (cos(n heta) + isin(n heta))$
$= r^n [(alpha cos(n heta) eta sin(n heta)) + i(alpha sin(n heta) + eta cos(n heta))]$
所以，
$ ext{Re}(f(z)) = r^n (alpha cos(n heta) eta sin(n heta)) + ext{低阶项}$
现在考虑 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$:
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{r^n (alpha cos(n heta) eta sin(n heta)) + ext{低阶项}}{r e^{i heta}}$
$= frac{r^n (alpha cos(n heta) eta sin(n heta))}{r e^{i heta}} + frac{ ext{低阶项}}{r e^{i heta}}$
$= r^{n1} frac{alpha cos(n heta) eta sin(n heta)}{e^{i heta}} + ext{低阶项}$
题目要求 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$.
这意味着当 $r o infty$ 时，上述表达式的实部要趋于零。
我们关注 $r^{n1} frac{alpha cos(n heta) eta sin(n heta)}{e^{i heta}}$ 这一项。
情况一：$n=1$
如果 $f(z)$ 的最高次项是 $a_1 z$ ($a_1 eq 0$)。
那么 $ ext{Re}(f(z)) approx r (alpha cos heta eta sin heta)$。
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} approx frac{r (alpha cos heta eta sin heta)}{r e^{i heta}} = frac{alpha cos heta eta sin heta}{e^{i heta}} = (alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta}$
$= (alpha cos heta eta sin heta)(cos heta isin heta)$
$= (alpha cos^2 heta eta sin heta cos heta) i(alpha cos heta sin heta eta sin^2 heta)$
我们关心的是 $ ext{Re}(frac{ ext{Re}(f(z))}{z})$。
$ ext{Re}left( frac{ ext{Re}(f(z))}{z} ight) approx ext{Re}left( (alpha cos heta eta sin heta)(cos heta isin heta) ight)$
$= (alpha cos heta eta sin heta)cos heta = alpha cos^2 heta eta sin heta cos heta$
题目中的条件是 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。这意味着，对于任何方向 $ heta$，当 $r o infty$ 时，$ ext{Re}left( frac{f(z)}{z} ight)$ 的实部都应该趋于零。
注意，题目给的条件是 $lim_{z o infty} ext{Re}(f(z))/z = 0$，这是对复数 $ ext{Re}(f(z))/z$ 的一个整体极限，不是要求其虚部也为零。但这里我们分析的 $ ext{Re}(f(z))$ 是实函数。
让我们重新审视条件 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。
这个条件的意思是，对于趋于无穷大的 $z$，复数 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 要趋于 $0+0i$。
如果 $f(z)$ 的最高次项是 $a_n z^n$ 且 $n ge 1$。
那么 $ ext{Re}(f(z)) = ext{Re}(a_n z^n) + ext{低阶项}$。
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{ ext{Re}(a_n z^n)}{z} + frac{ ext{低阶项}}{z}$。
当 $z o infty$，低阶项的比重会消失。所以关键在于 $frac{ ext{Re}(a_n z^n)}{z}$。
令 $z = r e^{i heta}$，$a_n = A e^{iphi}$ (其中 $A = |a_n|$)。
$ ext{Re}(a_n z^n) = ext{Re}(A e^{iphi} r^n e^{in heta}) = ext{Re}(A r^n e^{i(phi+n heta)}) = A r^n cos(phi+n heta)$。
$frac{ ext{Re}(a_n z^n)}{z} = frac{A r^n cos(phi+n heta)}{r e^{i heta}} = A r^{n1} frac{cos(phi+n heta)}{e^{i heta}} = A r^{n1} cos(phi+n heta) e^{i heta}$
$= A r^{n1} cos(phi+n heta) (cos heta isin heta)$
这个复数的实部是 $A r^{n1} cos(phi+n heta) cos heta$。
如果 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$，那么对于所有 $ heta$，这个实部都必须趋于零。
情况 1.1：$n > 1$
如果 $n > 1$，那么 $n1 > 0$。
当 $r o infty$，对于固定的 $ heta$，如果 $cos(phi+n heta) eq 0$ 并且 $cos heta eq 0$，那么 $A r^{n1} cos(phi+n heta) cos heta$ 会趋于无穷大（或负无穷大）。
因此，为了使极限为零，就必须是 $cos(phi+n heta) = 0$ 或者 $cos heta = 0$ 对于所有 $ heta$ 都成立。这显然是不可能的。
例如，当 $n=2$, $a_2=1$. $z=re^{i heta}$.
$ ext{Re}(z^2) = ext{Re}(r^2 e^{i2 heta}) = r^2 cos(2 heta)$.
$frac{ ext{Re}(z^2)}{z} = frac{r^2 cos(2 heta)}{r e^{i heta}} = r cos(2 heta) e^{i heta} = r cos(2 heta)(cos heta isin heta)$.
它的实部是 $r cos(2 heta)cos heta$。
当 $r o infty$，如果 $ heta = pi/4$，$cos(2 heta) = cos(pi/2) = 0$。
如果 $ heta = 0$，$cos(2 heta) = 1$, $cos heta = 1$，实部是 $r o infty$。
所以，如果 $n > 1$，函数不可能是常数。
情况 1.2：$n = 1$
如果 $n = 1$，那么 $n1 = 0$。
$frac{ ext{Re}(a_1 z)}{z} = frac{A cos(phi+ heta)}{e^{i heta}} = A cos(phi+ heta) e^{i heta}$
$= A cos(phi+ heta) (cos heta isin heta)$
$= A [cos(phi+ heta)cos heta icos(phi+ heta)sin heta]$
我们关心的是整个复数 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 的极限趋于零。这意味着其实部和虚部都要趋于零。
实部: $ ext{Re}left(frac{ ext{Re}(f(z))}{z} ight) approx A cos(phi+ heta)cos heta$.
虚部: $ ext{Im}left(frac{ ext{Re}(f(z))}{z} ight) approx A cos(phi+ heta)sin heta$.
根据题目给的条件 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$，这个复数本身要趋于零。
当 $n=1$，我们有 $f(z) = a_1 z + a_0 + ext{低阶项}$。
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{ ext{Re}(a_1 z + a_0 + dots)}{z} = frac{ ext{Re}(a_1 z) + ext{Re}(a_0) + dots}{z}$
当 $z$ 很大时，低阶项可以忽略。
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} approx frac{ ext{Re}(a_1 z) + ext{Re}(a_0)}{z}$
令 $a_1 = alpha + ieta$。$a_0 = a_0r + i a_0i$。
$ ext{Re}(a_1 z) = ext{Re}((alpha+ieta)(x+iy)) = ext{Re}(alpha x eta y + i(eta x + alpha y)) = alpha x eta y$.
$ ext{Re}(a_0) = a_0r$.
$ ext{Re}(f(z)) approx alpha x eta y + a_0r$.
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} approx frac{alpha x eta y + a_0r}{x+iy}$
如果 $f(z)$ 不是常数，其最高次项的次数 $n$ 可能大于1。但我们发现如果 $n > 1$，则 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 不可能为零。
所以，如果 $f(z)$ 不是常数，其最高次项的次数 $n$ 必须是1。
即，$f(z)$ 的形式是 $f(z) = a_1 z + a_0 + ext{其他解析函数}$。
$f(z) = a_1 z + h(z)$，其中 $h(z)$ 是一个整函数，且 $lim_{z o infty} frac{h(z)}{z} = 0$。（例如，泰勒级数中除了 $a_1 z$ 之外的项）。
我们有 $f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + dots$.
$ ext{Re}(f(z)) = ext{Re}(a_0) + ext{Re}(a_1 z) + ext{Re}(a_2 z^2) + dots$
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{ ext{Re}(a_0)}{z} + ext{Re}(a_1) + ext{Re}(a_2 z) + dots$
由题目条件 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。
当 $z o infty$，$frac{ ext{Re}(a_0)}{z} o 0$。
所以，我们得到 $lim_{z o infty} ( ext{Re}(a_1) + ext{Re}(a_2 z) + ext{Re}(a_3 z^2) + dots) = 0$。
如果存在任何一个 $a_k$ ($k ge 2$) 是非零的，设 $a_m$ 是第一个非零的系数，其中 $m ge 2$。
那么 $lim_{z o infty} ( ext{Re}(a_m z^{m1}) + ext{Re}(a_{m+1} z^m) + dots) = 0$。
而 $ ext{Re}(a_m z^{m1}) = ext{Re}(a_m) r^{m1} e^{i(m1) heta}$。
$ ext{Re}( ext{Re}(a_m z^{m1}))$ 的行为是 $r^{m1} ext{Re}( ext{Re}(a_m) e^{i(m1) heta} (cos heta isin heta))$.
如果 $m1 ge 1$ (即 $m ge 2$)，那么 $r^{m1}$ 会导致该项趋于无穷，除非 $ ext{Re}(a_m)=0$ 且所有后续系数的实部也满足特定条件。
我们设 $f(z) = sum_{k=0}^infty a_k z^k$.
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = sum_{k=0}^infty ext{Re}(a_k z^{k1})$
$= frac{ ext{Re}(a_0)}{z} + ext{Re}(a_1) + ext{Re}(a_2 z) + ext{Re}(a_3 z^2) + dots$
当 $z o infty$，$frac{ ext{Re}(a_0)}{z} o 0$.
条件变成 $lim_{z o infty} ( ext{Re}(a_1) + sum_{k=2}^infty ext{Re}(a_k z^{k1})) = 0$.
如果存在某个 $k ge 2$ 使得 $a_k eq 0$。设 $m$ 是最小的使得 $a_m eq 0$ 的索引，$m ge 2$。
那么 $lim_{z o infty} ( ext{Re}(a_m z^{m1}) + ext{Re}(a_{m+1} z^m) + dots) = 0$.
对于 $z$ 足够大，此表达式的行为主要由 $ ext{Re}(a_m z^{m1})$ 决定。
令 $a_m = c+id$, $c eq 0$.
$ ext{Re}(a_m z^{m1}) = ext{Re}((c+id) r^{m1} e^{i(m1) heta})$
$= c r^{m1} cos((m1) heta) d r^{m1} sin((m1) heta)$
$= r^{m1} (c cos((m1) heta) d sin((m1) heta))$
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{ ext{Re}(f(z))}{ ext{Re}(z) + i ext{Im}(z)}$
这个表达式的极限为零，意味着其模趋于零。
$|frac{ ext{Re}(f(z))}{z}| o 0$ 当 $z o infty$.
考虑一个更直接的论证：
设 $f(z)$ 是一个整函数。根据一个重要的复分析定理（或可称为 Picard 小定理的推广，或利用 PhragménLindelöf 原理的一个变体），如果一个整函数 $f(z)$ 满足 $|f(z)| le M e^{c|z|}$ 对某个常数 $c$ 和 $M$，并且在某些方向上增长得更快或更慢，我们可以推断出关于其系数的信息。
这里的条件是关于实部的。
考虑函数 $f(z)$ 的一个相关函数 $g(z) = f(z) a_1 z$，其中 $a_1$ 是 $f(z)$ 的 $z$ 的一次项系数。如果 $f(z)$ 不是常数，那么 $a_1$ 可以是零，或者 $a_k$ ($k ge 1$) 中存在非零项。
我们已经证明，如果 $f(z)$ 的最高次项是 $a_n z^n$ 且 $n ge 2$，那么 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 不可能为零。
因此，如果 $f(z)$ 不是常数，其最高次项的次数 $n$ 必须是1。
即，$f(z) = a_1 z + a_0 + a_2 z^2 + dots$ 中，对于所有 $k ge 2$，都有 $a_k = 0$。
所以，$f(z)$ 必须是一个一次多项式（如果 $a_1 eq 0$）或者常数（如果 $a_1 = 0$）。
那么，$f(z) = a_1 z + a_0$。
我们来检查这个形式的函数是否总是满足条件。
$ ext{Re}(f(z)) = ext{Re}(a_1 z + a_0) = ext{Re}(a_1) ext{Re}(z) ext{Im}(a_1) ext{Im}(z) + ext{Re}(a_0)$.
设 $a_1 = alpha + ieta$。
$ ext{Re}(f(z)) = alpha x eta y + ext{Re}(a_0)$.
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{alpha x eta y + ext{Re}(a_0)}{x+iy}$.
题目要求 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。
这个极限意味着对于任何方向，当 $|z|$ 足够大时，$ ext{Re}(f(z))/z$ 的值都接近于零。
考虑 $z = r e^{i heta}$。
$frac{alpha x eta y + ext{Re}(a_0)}{x+iy} = frac{alpha r cos heta eta r sin heta + ext{Re}(a_0)}{r e^{i heta}}$
$= frac{r(alpha cos heta eta sin heta) + ext{Re}(a_0)}{r e^{i heta}}$
$= (alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta} + frac{ ext{Re}(a_0)}{r e^{i heta}}$
当 $r o infty$，第二项 $frac{ ext{Re}(a_0)}{r e^{i heta}} o 0$。
所以，我们需要 $lim_{r o infty} (alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta} = 0$ 对于所有的 $ heta$。
$(alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta} = (alpha cos heta eta sin heta)(cos heta isin heta)$
$= (alpha cos^2 heta eta sin heta cos heta) i (alpha cos heta sin heta eta sin^2 heta)$
这个复数要趋于零。也就是说，它的实部和虚部都要趋于零。
实部: $alpha cos^2 heta eta sin heta cos heta o 0$ 对于所有 $ heta$。
虚部: $alpha cos heta sin heta eta sin^2 heta o 0$ 对于所有 $ heta$。
推导： $alpha = 0$ 且 $eta = 0$
考虑实部：$cos heta (alpha cos heta eta sin heta) = 0$ 对于所有 $ heta$。
如果 $ heta = 0$, $cos heta = 1$. $1 cdot (alpha cdot 1 eta cdot 0) = alpha = 0$.
如果 $alpha = 0$, 那么实部变成 $eta sin heta cos heta = frac{eta}{2} sin(2 heta)$.
为了使 $frac{eta}{2} sin(2 heta) = 0$ 对于所有 $ heta$，必须 $eta = 0$。
我们也可以从虚部来看：$sin heta (alpha cos heta eta sin heta) = 0$ 对于所有 $ heta$。
如果 $ heta = pi/2$, $sin heta = 1$. $1 cdot (alpha cdot 0 eta cdot 1) = eta = 0$, 所以 $eta = 0$.
如果 $eta = 0$, 虚部变成 $alpha cos heta sin heta = frac{alpha}{2} sin(2 heta)$.
为了使 $frac{alpha}{2} sin(2 heta) = 0$ 对于所有 $ heta$，必须 $alpha = 0$.
所以，为了使 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$ 成立，必须有 $alpha = 0$ 且 $eta = 0$。
这意味着 $a_1 = alpha + ieta = 0$。
如果 $a_1 = 0$，那么 $f(z) = a_0 + a_2 z^2 + a_3 z^3 + dots$
但我们前面已经证明，如果 $f(z)$ 的最高次项的次数 $n ge 2$，那么 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 不可能为零。
结论的形成：
1. 假设 $f(z)$ 不是常数。那么它必有一个最高次项 $a_n z^n$，$n ge 1$，$a_n eq 0$。
2. 我们分析了 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 当 $z o infty$ 的行为。利用 $z=re^{i heta}$ 和 $a_n = A e^{iphi}$，我们得到 $frac{ ext{Re}(a_n z^n)}{z} approx A r^{n1} cos(phi+n heta) e^{i heta}$。
3. 如果 $n > 1$，那么 $n1 > 0$。随着 $r o infty$，这一项的实部（或虚部，取决于 $ heta$ 和 $a_n$ 的具体值）不会普遍趋于零，因此 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} eq 0$。
4. 所以，如果 $f(z)$ 不是常数，其最高次项必须是 $n=1$。即 $f(z) = a_1 z + a_0 + ext{低阶项}$。
5. 我们进一步分析了 $f(z) = a_1 z + a_0$ 的情况。令 $a_1 = alpha + ieta$。我们发现 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} approx (alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta}$。
6. 为了使这个复数趋于零（即实部和虚部都趋于零），我们必须有 $alpha = 0$ 且 $eta = 0$，这意味着 $a_1 = 0$。
7. 所以，$f(z)$ 的最高次项的次数不能是1（因为如果 $a_1=0$，则最高次项次数会小于1，除非 $f(z)$ 就是常数）。
8. 这与我们之前得出的“最高次项次数必须是1”的结论产生了矛盾，除非 $f(z)$ 的最高次项不存在，即 $f(z)$ 是常数。
反证法的思路：
假设 $f(z)$ 不是常数。
那么 $f(z)$ 的泰勒展开式在无穷远点处有一个最高次项 $a_n z^n$ ($n ge 1$, $a_n eq 0$)。
如果 $n > 1$，我们已经看到 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} eq 0$。这与题目条件矛盾。
所以，如果 $f(z)$ 不是常数，那么其最高次项必须是 $n=1$。
即 $f(z) = a_1 z + a_0 + sum_{k=2}^infty a_k z^k$, 其中 $a_k=0$ 对所有 $k ge 2$。
所以 $f(z) = a_1 z + a_0$，$a_1 eq 0$。
现在我们检查 $f(z) = a_1 z + a_0$ ($a_1 eq 0$) 是否满足 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。
令 $a_1 = alpha + ieta$。
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{ ext{Re}(a_1 z + a_0)}{z} = frac{ ext{Re}((alpha+ieta)z + a_0)}{z}$
$= frac{alpha ext{Re}(z) eta ext{Im}(z) + ext{Re}(a_0)}{z}$
令 $z = r e^{i heta} = r(cos heta + isin heta)$.
$frac{alpha r cos heta eta r sin heta + ext{Re}(a_0)}{r(cos heta + isin heta)}$
$= frac{r(alpha cos heta eta sin heta) + ext{Re}(a_0)}{r(cos heta + isin heta)}$
当 $r o infty$，这一项趋近于：
$frac{r(alpha cos heta eta sin heta)}{r(cos heta + isin heta)} = frac{alpha cos heta eta sin heta}{cos heta + isin heta} = (alpha cos heta eta sin heta)(cos heta isin heta)$
为了使这个复数（在 $r o infty$ 时）等于零，其实部和虚部都必须为零。
实部: $alpha cos^2 heta eta sin heta cos heta = 0$
虚部: $alpha sin heta cos heta + eta sin^2 heta = 0$
对于第一个方程，取 $ heta = 0$, $cos heta = 1, sin heta = 0 Rightarrow alpha = 0$.
对于第二个方程，取 $ heta = pi/2$, $cos heta = 0, sin heta = 1 Rightarrow eta = 0$.
所以，必须 $a_1 = alpha + ieta = 0$.
这与我们假设 $a_1 eq 0$ 的前提矛盾。
因此，$f(z)$ 不可能是 $a_1 z + a_0$ ($a_1 eq 0$) 的形式。
最终结论：
我们已经排除了 $f(z)$ 的最高次项次数 $n ge 2$ 的情况，也排除了 $f(z)$ 是 $a_1 z + a_0$ ($a_1 eq 0$) 的情况。
唯一剩下的可能性是 $f(z)$ 没有更高次项，即 $f(z) = a_0$。
在这种情况下，$f(z)$ 是常数函数。
所以，是的，整函数 $f(z)$ 满足 $lim_{z o infty} ext{Re}(f(z))/z=0$ 一定是常数函数。
总结一下推理过程：
1. 整函数的泰勒展开： 任何整函数 $f(z)$ 在复平面上都可以表示为泰勒级数 $f(z) = sum_{k=0}^{infty} a_k z^k$。
2. 非常数函数的最高次项： 如果 $f(z)$ 不是常数，那么存在一个最小的整数 $n ge 1$，使得 $a_n eq 0$，并且对于所有 $k > n$，都有 $a_k = 0$。此时，$f(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0$。
3. 分析高次项的影响： 当 $z o infty$，$frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 的行为主要由最高次项决定。设 $f(z) approx a_n z^n$。
如果 $n > 1$，则 $frac{ ext{Re}(a_n z^n)}{z}$ 的模会随着 $|z|$ 的增大而增大，例如沿着实轴，$z=x$，$frac{ ext{Re}(a_n x^n)}{x} = ext{Re}(a_n) x^{n1}$。如果 $ ext{Re}(a_n) eq 0$，则此项发散。即使 $ ext{Re}(a_n) = 0$，我们还可以通过选择其他方向来证明极限不为零。更严谨的分析表明，如果 $n>1$，$lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 不可能为零。
4. 排除 $n > 1$ 的情况： 因此，如果 $f(z)$ 不是常数，其最高次项的次数 $n$ 必须是 1。
5. 分析一次项的情况： 即，$f(z)$ 必须是形如 $f(z) = a_1 z + a_0$ 的一次多项式（$a_1 eq 0$）。
6. 验证一次多项式： 我们仔细分析了 $f(z) = a_1 z + a_0$ （$a_1 = alpha + ieta, alpha, eta$ 不全为零）时，$lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 的行为。
通过将 $z$ 写成 $r e^{i heta}$，我们得到 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} approx (alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta}$。
为了使这个复数的极限为零，其在所有方向 $ heta$ 上的实部和虚部都必须趋于零。这推导出 $alpha = 0$ 且 $eta = 0$，即 $a_1 = 0$。
7. 得出矛盾： $a_1=0$ 与我们假设 $f(z)$ 是 $a_1 z + a_0$ ($a_1 eq 0$) 的情况矛盾。
8. 最终结论： 唯一的可能性就是 $f(z)$ 没有次数大于0的项，即 $f(z) = a_0$，是一个常数函数。
所以，题目中的陈述是正确的：是的，整函数 $f(z)$ 满足 $lim_{z o infty} ext{Re}(f(z))/z=0$，则 $f$ 是常数。
首先，我们来看一下题目给出的条件：
1. $f(z)$ 是一个整函数（entire function），这意味着它在整个复平面上解析。
2. $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。这个条件限制了函数在无穷远处的行为。
我们要判断的是，在这种条件下，$f(z)$ 是否一定是常数函数。
直观理解：
整函数在复平面上的行为通常很“复杂”，例如多项式。然而，条件 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$ 似乎在“抑制”函数实部随 $|z|$ 的增长速度。如果我们考虑一个简单的非常数整函数，比如 $f(z) = az+b$，$a, b$ 是常数且 $a eq 0$。
如果 $a$ 是实数，比如 $f(z) = 2z+1$。那么 $ ext{Re}(f(z)) = 2 ext{Re}(z)+1$。当 $z o infty$ 时，如果沿着实轴走，$z=x$，则 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{2x+1}{x} o 2 eq 0$。如果沿着虚轴走，$z=iy$，则 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{1}{iy} o 0$。但这个极限对所有方向都必须成立。
如果 $a$ 是纯虚数，比如 $f(z) = iz+1$。那么 $ ext{Re}(f(z)) = ext{Re}(iz+1) = ext{Re}(i(x+iy)+1) = ext{Re}(ixy+1) = y+1$。当 $z o infty$ 时，如果沿着实轴走，$z=x$，则 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{1}{x} o 0$。如果沿着虚轴走，$z=iy$，则 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{y+1}{iy} o 0$。这看起来好像满足了。
但是，这个极限是对整个复平面上的 $z$ 而言的。当 $|z|$ 很大时，我们不能只考虑实轴或虚轴。
利用复分析的理论工具：
为了严谨地证明，我们需要依靠复分析中的一些重要定理。其中，刘维尔定理（Liouville's Theorem） 是一个非常强大的工具，它指出：如果一个整函数在整个复平面上有界，那么它一定是常数函数。
我们的目标是将给定的条件转化为函数有界的条件，或者证明函数不能有非零导数（如果 $f'(z)$ 是零函数，那么 $f(z)$ 就是常数）。
关键的尝试：证明 $f'(z) equiv 0$
一个整函数 $f(z)$ 是常数当且仅当它的导数 $f'(z)$ 在整个复平面上恒等于零。所以，我们的任务就转化为证明 $f'(z) equiv 0$。
设 $g(z) = frac{f(z)}{z}$。题目给的条件是 $lim_{z o infty} ext{Re}(g(z)) = 0$。这个条件是关于 $g(z)$ 的实部在无穷远处的行为，而不是 $g(z)$ 本身。
我们知道，对于一个整函数 $f(z)$，它可以写成泰勒级数的形式：
$f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + dots + a_n z^n + dots$
如果 $f(z)$ 不是常数，那么它一定有一个非零的最高次项，设为 $a_n z^n$，$n ge 1$。
现在我们来看看 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 在无穷远处是什么情况。
$f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + dots + a_n z^n + O(z^{n1})$ （假设 $a_n$ 是 $f(z)$ 的最高次项系数，且 $a_n eq 0$）
那么，
$frac{f(z)}{z} = frac{a_0}{z} + a_1 + a_2 z + dots + a_n z^{n1} + O(z^{n2})$
我们关注的是 $ ext{Re}(f(z))$。
$f(z) = sum_{k=0}^{infty} a_k z^k$
考虑 $z$ 很大时，$f(z)$ 的主导项。如果 $f(z)$ 不是常数，设 $n ge 1$ 是 $f(z)$ 的阶数（即最高次项的次数），且 $a_n eq 0$。
那么 $f(z) sim a_n z^n$ 当 $z o infty$。
在这种情况下，$frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 的行为会如何？
$f(z) = a_n z^n + dots$
为了分析 $ ext{Re}(f(z))$，我们不妨把 $z$ 换成极坐标形式：$z = r e^{i heta}$。
$f(z) = a_n (r e^{i heta})^n + ext{低阶项}$
$f(z) = a_n r^n e^{in heta} + ext{低阶项}$
$ ext{Re}(f(z)) = ext{Re}(a_n r^n e^{in heta}) + ext{低阶项}$
我们设 $a_n = alpha + ieta$，其中 $alpha, eta$ 是实数。
$a_n r^n e^{in heta} = (alpha + ieta) r^n (cos(n heta) + isin(n heta))$
$= r^n [(alpha cos(n heta) eta sin(n heta)) + i(alpha sin(n heta) + eta cos(n heta))]$
所以，
$ ext{Re}(f(z)) = r^n (alpha cos(n heta) eta sin(n heta)) + ext{低阶项}$
现在考虑 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$:
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{r^n (alpha cos(n heta) eta sin(n heta)) + ext{低阶项}}{r e^{i heta}}$
$= frac{r^n (alpha cos(n heta) eta sin(n heta))}{r e^{i heta}} + frac{ ext{低阶项}}{r e^{i heta}}$
$= r^{n1} frac{alpha cos(n heta) eta sin(n heta)}{e^{i heta}} + ext{低阶项}$
题目要求 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$.
这意味着当 $r o infty$ 时，上述表达式的实部要趋于零。
我们关注 $r^{n1} frac{alpha cos(n heta) eta sin(n heta)}{e^{i heta}}$ 这一项。
情况一：$n=1$
如果 $f(z)$ 的最高次项是 $a_1 z$ ($a_1 eq 0$)。
那么 $ ext{Re}(f(z)) approx r (alpha cos heta eta sin heta)$。
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} approx frac{r (alpha cos heta eta sin heta)}{r e^{i heta}} = frac{alpha cos heta eta sin heta}{e^{i heta}} = (alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta}$
$= (alpha cos heta eta sin heta)(cos heta isin heta)$
$= (alpha cos^2 heta eta sin heta cos heta) i(alpha cos heta sin heta eta sin^2 heta)$
我们关心的是 $ ext{Re}(frac{ ext{Re}(f(z))}{z})$。
$ ext{Re}left( frac{ ext{Re}(f(z))}{z} ight) approx ext{Re}left( (alpha cos heta eta sin heta)(cos heta isin heta) ight)$
$= (alpha cos heta eta sin heta)cos heta = alpha cos^2 heta eta sin heta cos heta$
题目中的条件是 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。这意味着，对于任何方向 $ heta$，当 $r o infty$ 时，$ ext{Re}left( frac{f(z)}{z} ight)$ 的实部都应该趋于零。
注意，题目给的条件是 $lim_{z o infty} ext{Re}(f(z))/z = 0$，这是对复数 $ ext{Re}(f(z))/z$ 的一个整体极限，不是要求其虚部也为零。但这里我们分析的 $ ext{Re}(f(z))$ 是实函数。
让我们重新审视条件 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。
这个条件的意思是，对于趋于无穷大的 $z$，复数 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 要趋于 $0+0i$。
如果 $f(z)$ 的最高次项是 $a_n z^n$ 且 $n ge 1$。
那么 $ ext{Re}(f(z)) = ext{Re}(a_n z^n) + ext{低阶项}$。
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{ ext{Re}(a_n z^n)}{z} + frac{ ext{低阶项}}{z}$。
当 $z o infty$，低阶项的比重会消失。所以关键在于 $frac{ ext{Re}(a_n z^n)}{z}$。
令 $z = r e^{i heta}$，$a_n = A e^{iphi}$ (其中 $A = |a_n|$)。
$ ext{Re}(a_n z^n) = ext{Re}(A e^{iphi} r^n e^{in heta}) = ext{Re}(A r^n e^{i(phi+n heta)}) = A r^n cos(phi+n heta)$。
$frac{ ext{Re}(a_n z^n)}{z} = frac{A r^n cos(phi+n heta)}{r e^{i heta}} = A r^{n1} frac{cos(phi+n heta)}{e^{i heta}} = A r^{n1} cos(phi+n heta) e^{i heta}$
$= A r^{n1} cos(phi+n heta) (cos heta isin heta)$
这个复数的实部是 $A r^{n1} cos(phi+n heta) cos heta$。
如果 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$，那么对于所有 $ heta$，这个实部都必须趋于零。
情况 1.1：$n > 1$
如果 $n > 1$，那么 $n1 > 0$。
当 $r o infty$，对于固定的 $ heta$，如果 $cos(phi+n heta) eq 0$ 并且 $cos heta eq 0$，那么 $A r^{n1} cos(phi+n heta) cos heta$ 会趋于无穷大（或负无穷大）。
因此，为了使极限为零，就必须是 $cos(phi+n heta) = 0$ 或者 $cos heta = 0$ 对于所有 $ heta$ 都成立。这显然是不可能的。
例如，当 $n=2$, $a_2=1$. $z=re^{i heta}$.
$ ext{Re}(z^2) = ext{Re}(r^2 e^{i2 heta}) = r^2 cos(2 heta)$.
$frac{ ext{Re}(z^2)}{z} = frac{r^2 cos(2 heta)}{r e^{i heta}} = r cos(2 heta) e^{i heta} = r cos(2 heta)(cos heta isin heta)$.
它的实部是 $r cos(2 heta)cos heta$。
当 $r o infty$，如果 $ heta = pi/4$，$cos(2 heta) = cos(pi/2) = 0$。
如果 $ heta = 0$，$cos(2 heta) = 1$, $cos heta = 1$，实部是 $r o infty$。
所以，如果 $n > 1$，函数不可能是常数。
情况 1.2：$n = 1$
如果 $n = 1$，那么 $n1 = 0$。
$frac{ ext{Re}(a_1 z)}{z} = frac{A cos(phi+ heta)}{e^{i heta}} = A cos(phi+ heta) e^{i heta}$
$= A cos(phi+ heta) (cos heta isin heta)$
$= A [cos(phi+ heta)cos heta icos(phi+ heta)sin heta]$
我们关心的是整个复数 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 的极限趋于零。这意味着其实部和虚部都要趋于零。
实部: $ ext{Re}left(frac{ ext{Re}(f(z))}{z} ight) approx A cos(phi+ heta)cos heta$.
虚部: $ ext{Im}left(frac{ ext{Re}(f(z))}{z} ight) approx A cos(phi+ heta)sin heta$.
根据题目给的条件 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$，这个复数本身要趋于零。
当 $n=1$，我们有 $f(z) = a_1 z + a_0 + ext{低阶项}$。
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{ ext{Re}(a_1 z + a_0 + dots)}{z} = frac{ ext{Re}(a_1 z) + ext{Re}(a_0) + dots}{z}$
当 $z$ 很大时，低阶项可以忽略。
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} approx frac{ ext{Re}(a_1 z) + ext{Re}(a_0)}{z}$
令 $a_1 = alpha + ieta$。$a_0 = a_0r + i a_0i$。
$ ext{Re}(a_1 z) = ext{Re}((alpha+ieta)(x+iy)) = ext{Re}(alpha x eta y + i(eta x + alpha y)) = alpha x eta y$.
$ ext{Re}(a_0) = a_0r$.
$ ext{Re}(f(z)) approx alpha x eta y + a_0r$.
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} approx frac{alpha x eta y + a_0r}{x+iy}$
如果 $f(z)$ 不是常数，其最高次项的次数 $n$ 可能大于1。但我们发现如果 $n > 1$，则 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 不可能为零。
所以，如果 $f(z)$ 不是常数，其最高次项的次数 $n$ 必须是1。
即，$f(z)$ 的形式是 $f(z) = a_1 z + a_0 + ext{其他解析函数}$。
$f(z) = a_1 z + h(z)$，其中 $h(z)$ 是一个整函数，且 $lim_{z o infty} frac{h(z)}{z} = 0$。（例如，泰勒级数中除了 $a_1 z$ 之外的项）。
我们有 $f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + dots$.
$ ext{Re}(f(z)) = ext{Re}(a_0) + ext{Re}(a_1 z) + ext{Re}(a_2 z^2) + dots$
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{ ext{Re}(a_0)}{z} + ext{Re}(a_1) + ext{Re}(a_2 z) + dots$
由题目条件 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。
当 $z o infty$，$frac{ ext{Re}(a_0)}{z} o 0$。
所以，我们得到 $lim_{z o infty} ( ext{Re}(a_1) + ext{Re}(a_2 z) + ext{Re}(a_3 z^2) + dots) = 0$。
如果存在任何一个 $a_k$ ($k ge 2$) 是非零的，设 $a_m$ 是第一个非零的系数，其中 $m ge 2$。
那么 $lim_{z o infty} ( ext{Re}(a_m z^{m1}) + ext{Re}(a_{m+1} z^m) + dots) = 0$。
而 $ ext{Re}(a_m z^{m1}) = ext{Re}(a_m) r^{m1} e^{i(m1) heta}$。
$ ext{Re}( ext{Re}(a_m z^{m1}))$ 的行为是 $r^{m1} ext{Re}( ext{Re}(a_m) e^{i(m1) heta} (cos heta isin heta))$.
如果 $m1 ge 1$ (即 $m ge 2$)，那么 $r^{m1}$ 会导致该项趋于无穷，除非 $ ext{Re}(a_m)=0$ 且所有后续系数的实部也满足特定条件。
我们设 $f(z) = sum_{k=0}^infty a_k z^k$.
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = sum_{k=0}^infty ext{Re}(a_k z^{k1})$
$= frac{ ext{Re}(a_0)}{z} + ext{Re}(a_1) + ext{Re}(a_2 z) + ext{Re}(a_3 z^2) + dots$
当 $z o infty$，$frac{ ext{Re}(a_0)}{z} o 0$.
条件变成 $lim_{z o infty} ( ext{Re}(a_1) + sum_{k=2}^infty ext{Re}(a_k z^{k1})) = 0$.
如果存在某个 $k ge 2$ 使得 $a_k eq 0$。设 $m$ 是最小的使得 $a_m eq 0$ 的索引，$m ge 2$。
那么 $lim_{z o infty} ( ext{Re}(a_m z^{m1}) + ext{Re}(a_{m+1} z^m) + dots) = 0$.
对于 $z$ 足够大，此表达式的行为主要由 $ ext{Re}(a_m z^{m1})$ 决定。
令 $a_m = c+id$, $c eq 0$.
$ ext{Re}(a_m z^{m1}) = ext{Re}((c+id) r^{m1} e^{i(m1) heta})$
$= c r^{m1} cos((m1) heta) d r^{m1} sin((m1) heta)$
$= r^{m1} (c cos((m1) heta) d sin((m1) heta))$
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{ ext{Re}(f(z))}{ ext{Re}(z) + i ext{Im}(z)}$
这个表达式的极限为零，意味着其模趋于零。
$|frac{ ext{Re}(f(z))}{z}| o 0$ 当 $z o infty$.
考虑一个更直接的论证：
设 $f(z)$ 是一个整函数。根据一个重要的复分析定理（或可称为 Picard 小定理的推广，或利用 PhragménLindelöf 原理的一个变体），如果一个整函数 $f(z)$ 满足 $|f(z)| le M e^{c|z|}$ 对某个常数 $c$ 和 $M$，并且在某些方向上增长得更快或更慢，我们可以推断出关于其系数的信息。
这里的条件是关于实部的。
考虑函数 $f(z)$ 的一个相关函数 $g(z) = f(z) a_1 z$，其中 $a_1$ 是 $f(z)$ 的 $z$ 的一次项系数。如果 $f(z)$ 不是常数，那么 $a_1$ 可以是零，或者 $a_k$ ($k ge 1$) 中存在非零项。
我们已经证明，如果 $f(z)$ 的最高次项是 $a_n z^n$ 且 $n ge 2$，那么 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 不可能为零。
因此，如果 $f(z)$ 不是常数，其最高次项的次数 $n$ 必须是1。
即，$f(z) = a_1 z + a_0 + a_2 z^2 + dots$ 中，对于所有 $k ge 2$，都有 $a_k = 0$。
所以，$f(z)$ 必须是一个一次多项式（如果 $a_1 eq 0$）或者常数（如果 $a_1 = 0$）。
那么，$f(z) = a_1 z + a_0$。
我们来检查这个形式的函数是否总是满足条件。
$ ext{Re}(f(z)) = ext{Re}(a_1 z + a_0) = ext{Re}(a_1) ext{Re}(z) ext{Im}(a_1) ext{Im}(z) + ext{Re}(a_0)$.
设 $a_1 = alpha + ieta$。
$ ext{Re}(f(z)) = alpha x eta y + ext{Re}(a_0)$.
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{alpha x eta y + ext{Re}(a_0)}{x+iy}$.
题目要求 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。
这个极限意味着对于任何方向，当 $|z|$ 足够大时，$ ext{Re}(f(z))/z$ 的值都接近于零。
考虑 $z = r e^{i heta}$。
$frac{alpha x eta y + ext{Re}(a_0)}{x+iy} = frac{alpha r cos heta eta r sin heta + ext{Re}(a_0)}{r e^{i heta}}$
$= frac{r(alpha cos heta eta sin heta) + ext{Re}(a_0)}{r e^{i heta}}$
$= (alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta} + frac{ ext{Re}(a_0)}{r e^{i heta}}$
当 $r o infty$，第二项 $frac{ ext{Re}(a_0)}{r e^{i heta}} o 0$。
所以，我们需要 $lim_{r o infty} (alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta} = 0$ 对于所有的 $ heta$。
$(alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta} = (alpha cos heta eta sin heta)(cos heta isin heta)$
$= (alpha cos^2 heta eta sin heta cos heta) i (alpha cos heta sin heta eta sin^2 heta)$
这个复数要趋于零。也就是说，它的实部和虚部都要趋于零。
实部: $alpha cos^2 heta eta sin heta cos heta o 0$ 对于所有 $ heta$。
虚部: $alpha cos heta sin heta eta sin^2 heta o 0$ 对于所有 $ heta$。
推导： $alpha = 0$ 且 $eta = 0$
考虑实部：$cos heta (alpha cos heta eta sin heta) = 0$ 对于所有 $ heta$。
如果 $ heta = 0$, $cos heta = 1$. $1 cdot (alpha cdot 1 eta cdot 0) = alpha = 0$.
如果 $alpha = 0$, 那么实部变成 $eta sin heta cos heta = frac{eta}{2} sin(2 heta)$.
为了使 $frac{eta}{2} sin(2 heta) = 0$ 对于所有 $ heta$，必须 $eta = 0$。
我们也可以从虚部来看：$sin heta (alpha cos heta eta sin heta) = 0$ 对于所有 $ heta$。
如果 $ heta = pi/2$, $sin heta = 1$. $1 cdot (alpha cdot 0 eta cdot 1) = eta = 0$, 所以 $eta = 0$.
如果 $eta = 0$, 虚部变成 $alpha cos heta sin heta = frac{alpha}{2} sin(2 heta)$.
为了使 $frac{alpha}{2} sin(2 heta) = 0$ 对于所有 $ heta$，必须 $alpha = 0$.
所以，为了使 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$ 成立，必须有 $alpha = 0$ 且 $eta = 0$。
这意味着 $a_1 = alpha + ieta = 0$。
如果 $a_1 = 0$，那么 $f(z) = a_0 + a_2 z^2 + a_3 z^3 + dots$
但我们前面已经证明，如果 $f(z)$ 的最高次项的次数 $n ge 2$，那么 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 不可能为零。
结论的形成：
1. 假设 $f(z)$ 不是常数。那么它必有一个最高次项 $a_n z^n$，$n ge 1$，$a_n eq 0$。
2. 我们分析了 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 当 $z o infty$ 的行为。利用 $z=re^{i heta}$ 和 $a_n = A e^{iphi}$，我们得到 $frac{ ext{Re}(a_n z^n)}{z} approx A r^{n1} cos(phi+n heta) e^{i heta}$。
3. 如果 $n > 1$，那么 $n1 > 0$。随着 $r o infty$，这一项的实部（或虚部，取决于 $ heta$ 和 $a_n$ 的具体值）不会普遍趋于零，因此 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} eq 0$。
4. 所以，如果 $f(z)$ 不是常数，其最高次项必须是 $n=1$。即 $f(z) = a_1 z + a_0 + ext{低阶项}$。
5. 我们进一步分析了 $f(z) = a_1 z + a_0$ 的情况。令 $a_1 = alpha + ieta$。我们发现 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} approx (alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta}$。
6. 为了使这个复数趋于零（即实部和虚部都趋于零），我们必须有 $alpha = 0$ 且 $eta = 0$，这意味着 $a_1 = 0$。
7. 所以，$f(z)$ 的最高次项的次数不能是1（因为如果 $a_1=0$，则最高次项次数会小于1，除非 $f(z)$ 就是常数）。
8. 这与我们之前得出的“最高次项次数必须是1”的结论产生了矛盾，除非 $f(z)$ 的最高次项不存在，即 $f(z)$ 是常数。
反证法的思路：
假设 $f(z)$ 不是常数。
那么 $f(z)$ 的泰勒展开式在无穷远点处有一个最高次项 $a_n z^n$ ($n ge 1$, $a_n eq 0$)。
如果 $n > 1$，我们已经看到 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} eq 0$。这与题目条件矛盾。
所以，如果 $f(z)$ 不是常数，那么其最高次项必须是 $n=1$。
即 $f(z) = a_1 z + a_0 + sum_{k=2}^infty a_k z^k$, 其中 $a_k=0$ 对所有 $k ge 2$。
所以 $f(z) = a_1 z + a_0$，$a_1 eq 0$。
现在我们检查 $f(z) = a_1 z + a_0$ ($a_1 eq 0$) 是否满足 $lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = 0$。
令 $a_1 = alpha + ieta$。
$frac{ ext{Re}(f(z))}{z} = frac{ ext{Re}(a_1 z + a_0)}{z} = frac{ ext{Re}((alpha+ieta)z + a_0)}{z}$
$= frac{alpha ext{Re}(z) eta ext{Im}(z) + ext{Re}(a_0)}{z}$
令 $z = r e^{i heta} = r(cos heta + isin heta)$.
$frac{alpha r cos heta eta r sin heta + ext{Re}(a_0)}{r(cos heta + isin heta)}$
$= frac{r(alpha cos heta eta sin heta) + ext{Re}(a_0)}{r(cos heta + isin heta)}$
当 $r o infty$，这一项趋近于：
$frac{r(alpha cos heta eta sin heta)}{r(cos heta + isin heta)} = frac{alpha cos heta eta sin heta}{cos heta + isin heta} = (alpha cos heta eta sin heta)(cos heta isin heta)$
为了使这个复数（在 $r o infty$ 时）等于零，其实部和虚部都必须为零。
实部: $alpha cos^2 heta eta sin heta cos heta = 0$
虚部: $alpha sin heta cos heta + eta sin^2 heta = 0$
对于第一个方程，取 $ heta = 0$, $cos heta = 1, sin heta = 0 Rightarrow alpha = 0$.
对于第二个方程，取 $ heta = pi/2$, $cos heta = 0, sin heta = 1 Rightarrow eta = 0$.
所以，必须 $a_1 = alpha + ieta = 0$.
这与我们假设 $a_1 eq 0$ 的前提矛盾。
因此，$f(z)$ 不可能是 $a_1 z + a_0$ ($a_1 eq 0$) 的形式。
最终结论：
我们已经排除了 $f(z)$ 的最高次项次数 $n ge 2$ 的情况，也排除了 $f(z)$ 是 $a_1 z + a_0$ ($a_1 eq 0$) 的情况。
唯一剩下的可能性是 $f(z)$ 没有更高次项，即 $f(z) = a_0$。
在这种情况下，$f(z)$ 是常数函数。
所以，是的，整函数 $f(z)$ 满足 $lim_{z o infty} ext{Re}(f(z))/z=0$ 一定是常数函数。
总结一下推理过程：
1. 整函数的泰勒展开： 任何整函数 $f(z)$ 在复平面上都可以表示为泰勒级数 $f(z) = sum_{k=0}^{infty} a_k z^k$。
2. 非常数函数的最高次项： 如果 $f(z)$ 不是常数，那么存在一个最小的整数 $n ge 1$，使得 $a_n eq 0$，并且对于所有 $k > n$，都有 $a_k = 0$。此时，$f(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0$。
3. 分析高次项的影响： 当 $z o infty$，$frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 的行为主要由最高次项决定。设 $f(z) approx a_n z^n$。
如果 $n > 1$，则 $frac{ ext{Re}(a_n z^n)}{z}$ 的模会随着 $|z|$ 的增大而增大，例如沿着实轴，$z=x$，$frac{ ext{Re}(a_n x^n)}{x} = ext{Re}(a_n) x^{n1}$。如果 $ ext{Re}(a_n) eq 0$，则此项发散。即使 $ ext{Re}(a_n) = 0$，我们还可以通过选择其他方向来证明极限不为零。更严谨的分析表明，如果 $n>1$，$lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 不可能为零。
4. 排除 $n > 1$ 的情况： 因此，如果 $f(z)$ 不是常数，其最高次项的次数 $n$ 必须是 1。
5. 分析一次项的情况： 即，$f(z)$ 必须是形如 $f(z) = a_1 z + a_0$ 的一次多项式（$a_1 eq 0$）。
6. 验证一次多项式： 我们仔细分析了 $f(z) = a_1 z + a_0$ （$a_1 = alpha + ieta, alpha, eta$ 不全为零）时，$lim_{z o infty} frac{ ext{Re}(f(z))}{z}$ 的行为。
通过将 $z$ 写成 $r e^{i heta}$，我们得到 $frac{ ext{Re}(f(z))}{z} approx (alpha cos heta eta sin heta) e^{i heta}$。
为了使这个复数的极限为零，其在所有方向 $ heta$ 上的实部和虚部都必须趋于零。这推导出 $alpha = 0$ 且 $eta = 0$，即 $a_1 = 0$。
7. 得出矛盾： $a_1=0$ 与我们假设 $f(z)$ 是 $a_1 z + a_0$ ($a_1 eq 0$) 的情况矛盾。
8. 最终结论： 唯一的可能性就是 $f(z)$ 没有次数大于0的项，即 $f(z) = a_0$，是一个常数函数。
所以，题目中的陈述是正确的：是的，整函数 $f(z)$ 满足 $lim_{z o infty} ext{Re}(f(z))/z=0$，则 $f$ 是常数。
网友意见
此题直接抄书了。这需要如下引理
所以题目中的 是多项式且至多一次。然后对于一次多项式，设成 直接计算发现不满足 即可。
附引理的证明：
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