「只要整数的各个位数之和是 3 的倍数，那么这个整数就一定是 3 的倍数」是如何证明的？
我们来详细解释一下“只要整数的各个位数之和是 3 的倍数，那么这个整数就一定是 3 的倍数”这个被称作 整除3的判定法则 的证明过程。
核心思想：
这个证明的关键在于将一个整数拆解成它的各位数字，并利用数位值以及模运算的性质。我们将展示，任何整数都可以表示成一个“各位数字之和”加上一系列“与各位数字的位值相关的数”，而这些“与各位数字的位值相关的数”恰好都是 9 的倍数。既然 9 是 3 的倍数，那么这些数也都是 3 的倍数。
详细证明步骤：
我们以一个任意的三位数为例来讲解，然后再推广到任意位数。
1. 表示一个三位数：
假设我们有一个三位数，例如 537。
我们可以把它表示成它的各位数字和位值：
$537 = 5 imes 100 + 3 imes 10 + 7 imes 1$
更一般地，一个三位数 $abc$（其中 $a, b, c$ 分别是个位数），可以表示为：
$N = a imes 10^2 + b imes 10^1 + c imes 10^0$
或者写成：
$N = 100a + 10b + c$
2. 将各位数字的位值与各位数字之和联系起来：
我们的目标是把 $N$ 表示成“各位数字之和”加上一些其他项。各位数字之和是 $a + b + c$。
让我们看看 $100a$ 和 $a$ 之间的关系：
$100a = (99 + 1)a = 99a + a$
再看看 $10b$ 和 $b$ 之间的关系：
$10b = (9 + 1)b = 9b + b$
最后是 $1c$ 和 $c$ 之间的关系：
$1c = c$ （这里已经和 $c$ 本身一样了）
3. 将这些关系代入原式：
现在，我们将这些改写后的项代回到 $N$ 的表达式中：
$N = (99a + a) + (9b + b) + c$
重新排列一下项的顺序：
$N = (a + b + c) + 99a + 9b$
4. 分析剩下的项：
我们得到了 $N = (a + b + c) + 99a + 9b$。
注意看后面的两项：$99a$ 和 $9b$。
$99a$ 是 99 乘以一个整数 $a$。因为 $99 = 3 imes 33$，所以 $99a$ 也是 3 的倍数。
$9b$ 是 9 乘以一个整数 $b$。因为 $9 = 3 imes 3$，所以 $9b$ 也是 3 的倍数。
因此，$99a + 9b$ 也是 3 的倍数（两个 3 的倍数相加还是 3 的倍数）。
5. 导出结论：
我们将 $N$ 的表达式再次写出来：
$N = (a + b + c) + ( ext{某个是 3 的倍数的项})$
现在，我们应用题设的条件：“整数的各个位数之和是 3 的倍数”。
这意味着 $a + b + c$ 是 3 的倍数。
所以，我们得到：
$N = ( ext{某个是 3 的倍数的项}) + ( ext{另一个是 3 的倍数的项})$
两个 3 的倍数相加，结果一定是 3 的倍数。
因此，$N$ 一定是 3 的倍数。
推广到任意位数：
这个原理可以推广到任意位数的整数。
假设我们有一个 $k$ 位数，可以表示为：
$N = d_{k1} imes 10^{k1} + d_{k2} imes 10^{k2} + dots + d_1 imes 10^1 + d_0 imes 10^0$
其中 $d_{k1}, d_{k2}, dots, d_1, d_0$ 是这个整数的各位数字。
各位数字之和是：$S = d_{k1} + d_{k2} + dots + d_1 + d_0$
现在，我们对每一项的位值进行处理：
$10^m = 9dots9 + 1$ (其中有 $m$ 个 9)。
例如：
$10^1 = 10 = 9 + 1$
$10^2 = 100 = 99 + 1$
$10^3 = 1000 = 999 + 1$
一般地，$10^m = 1underbrace{00dots0}_{m ext{个0}} = underbrace{99dots9}_{m ext{个9}} + 1$
注意到 $underbrace{99dots9}_{m ext{个9}}$ 总是可以表示为 $9 imes underbrace{11dots1}_{m ext{个1}}$，它一定是 9 的倍数，因此也一定是 3 的倍数。
所以，我们可以将 $N$ 中的每一项 $d_i imes 10^i$ 写成：
$d_i imes 10^i = d_i imes (underbrace{99dots9}_{i ext{个9}} + 1)$
$d_i imes 10^i = d_i imes underbrace{99dots9}_{i ext{个9}} + d_i$
将这个代入 $N$ 的表达式中：
$N = (d_{k1} imes underbrace{99dots9}_{k1 ext{个9}} + d_{k1}) + (d_{k2} imes underbrace{99dots9}_{k2 ext{个9}} + d_{k2}) + dots + (d_1 imes 9 + d_1) + d_0$
重新组合一下：
$N = (d_{k1} + d_{k2} + dots + d_1 + d_0) + d_{k1} imes underbrace{99dots9}_{k1 ext{个9}} + d_{k2} imes underbrace{99dots9}_{k2 ext{个9}} + dots + d_1 imes 9$
我们看到了熟悉的各位数字之和 $S = d_{k1} + d_{k2} + dots + d_1 + d_0$。
剩下的项是：
$d_{k1} imes underbrace{99dots9}_{k1 ext{个9}} + d_{k2} imes underbrace{99dots9}_{k2 ext{个9}} + dots + d_1 imes 9$
每一项 $d_i imes underbrace{99dots9}_{i ext{个9}}$ 都是一个数字乘以一个 9 的倍数，所以它本身也是 3 的倍数。
这些项相加，整个部分仍然是 3 的倍数。
所以，我们再次得到：
$N = ( ext{各位数字之和 } S) + ( ext{某个是 3 的倍数的项})$
如果各位数字之和 $S$ 是 3 的倍数，那么 $N$ 就是 (3 的倍数) + (3 的倍数)，因此 $N$ 也是 3 的倍数。
另一种理解方式（模运算）：
我们可以使用模运算来更简洁地表达这个概念。
我们知道：
$10 equiv 1 pmod{3}$ (10 除以 3 余 1)
利用模运算的性质，如果 $a equiv b pmod{m}$，那么 $a^n equiv b^n pmod{m}$。
所以：
$10^1 equiv 1^1 equiv 1 pmod{3}$
$10^2 equiv 1^2 equiv 1 pmod{3}$
$10^3 equiv 1^3 equiv 1 pmod{3}$
...
$10^n equiv 1^n equiv 1 pmod{3}$
对于一个整数 $N = d_{k1}10^{k1} + d_{k2}10^{k2} + dots + d_110^1 + d_010^0$：
$N pmod{3} = (d_{k1}10^{k1} + d_{k2}10^{k2} + dots + d_110^1 + d_010^0) pmod{3}$
利用模运算的性质， $(a+b)pmod{m} = (a pmod{m} + b pmod{m}) pmod{m}$ 和 $(a imes b)pmod{m} = (a pmod{m} imes b pmod{m}) pmod{m}$：
$N pmod{3} = (d_{k1} pmod{3} imes 10^{k1} pmod{3} + d_{k2} pmod{3} imes 10^{k2} pmod{3} + dots + d_1 pmod{3} imes 10^1 pmod{3} + d_0 pmod{3} imes 10^0 pmod{3}) pmod{3}$
由于 $10^n equiv 1 pmod{3}$：
$N pmod{3} = (d_{k1} pmod{3} imes 1 + d_{k2} pmod{3} imes 1 + dots + d_1 pmod{3} imes 1 + d_0 pmod{3} imes 1) pmod{3}$
$N pmod{3} = (d_{k1} + d_{k2} + dots + d_1 + d_0) pmod{3}$
这正好是各位数字之和 $S$ 对 3 取模的结果。
$N pmod{3} = S pmod{3}$
如果 $N$ 是 3 的倍数，那么 $N pmod{3} = 0$。
所以，如果 $N$ 是 3 的倍数，那么 $S pmod{3} = 0$，即各位数字之和 $S$ 是 3 的倍数。
反过来，如果各位数字之和 $S$ 是 3 的倍数，那么 $S pmod{3} = 0$。
根据 $N pmod{3} = S pmod{3}$，我们得到 $N pmod{3} = 0$。
这意味着 $N$ 是 3 的倍数。
总结：
证明这个法则的核心在于：
1. 将整数表示为其各位数字的线性组合，其中系数是 10 的幂。
2. 注意到 10 除以 3 的余数是 1。这意味着任何 10 的幂除以 3 的余数也是 1。
3. 利用这一性质，可以将整数表示为“各位数字之和”与“一个由 9 的倍数组成的数”之和。
4. 由于 9 的倍数都可以被 3 整除，那么这个“由 9 的倍数组成的数”也能被 3 整除。
5. 因此，一个整数是否能被 3 整除，仅取决于它的各位数字之和是否能被 3 整除。
这个证明过程既严谨又易于理解，是数学中一个非常基础且实用的判定法则。
核心思想：
这个证明的关键在于将一个整数拆解成它的各位数字，并利用数位值以及模运算的性质。我们将展示，任何整数都可以表示成一个“各位数字之和”加上一系列“与各位数字的位值相关的数”，而这些“与各位数字的位值相关的数”恰好都是 9 的倍数。既然 9 是 3 的倍数，那么这些数也都是 3 的倍数。
详细证明步骤：
我们以一个任意的三位数为例来讲解，然后再推广到任意位数。
1. 表示一个三位数：
假设我们有一个三位数，例如 537。
我们可以把它表示成它的各位数字和位值：
$537 = 5 imes 100 + 3 imes 10 + 7 imes 1$
更一般地，一个三位数 $abc$（其中 $a, b, c$ 分别是个位数），可以表示为：
$N = a imes 10^2 + b imes 10^1 + c imes 10^0$
或者写成：
$N = 100a + 10b + c$
2. 将各位数字的位值与各位数字之和联系起来：
我们的目标是把 $N$ 表示成“各位数字之和”加上一些其他项。各位数字之和是 $a + b + c$。
让我们看看 $100a$ 和 $a$ 之间的关系：
$100a = (99 + 1)a = 99a + a$
再看看 $10b$ 和 $b$ 之间的关系：
$10b = (9 + 1)b = 9b + b$
最后是 $1c$ 和 $c$ 之间的关系：
$1c = c$ （这里已经和 $c$ 本身一样了）
3. 将这些关系代入原式：
现在，我们将这些改写后的项代回到 $N$ 的表达式中：
$N = (99a + a) + (9b + b) + c$
重新排列一下项的顺序：
$N = (a + b + c) + 99a + 9b$
4. 分析剩下的项：
我们得到了 $N = (a + b + c) + 99a + 9b$。
注意看后面的两项：$99a$ 和 $9b$。
$99a$ 是 99 乘以一个整数 $a$。因为 $99 = 3 imes 33$，所以 $99a$ 也是 3 的倍数。
$9b$ 是 9 乘以一个整数 $b$。因为 $9 = 3 imes 3$，所以 $9b$ 也是 3 的倍数。
因此，$99a + 9b$ 也是 3 的倍数（两个 3 的倍数相加还是 3 的倍数）。
5. 导出结论：
我们将 $N$ 的表达式再次写出来：
$N = (a + b + c) + ( ext{某个是 3 的倍数的项})$
现在，我们应用题设的条件：“整数的各个位数之和是 3 的倍数”。
这意味着 $a + b + c$ 是 3 的倍数。
所以，我们得到：
$N = ( ext{某个是 3 的倍数的项}) + ( ext{另一个是 3 的倍数的项})$
两个 3 的倍数相加，结果一定是 3 的倍数。
因此，$N$ 一定是 3 的倍数。
推广到任意位数：
这个原理可以推广到任意位数的整数。
假设我们有一个 $k$ 位数，可以表示为：
$N = d_{k1} imes 10^{k1} + d_{k2} imes 10^{k2} + dots + d_1 imes 10^1 + d_0 imes 10^0$
其中 $d_{k1}, d_{k2}, dots, d_1, d_0$ 是这个整数的各位数字。
各位数字之和是：$S = d_{k1} + d_{k2} + dots + d_1 + d_0$
现在，我们对每一项的位值进行处理：
$10^m = 9dots9 + 1$ (其中有 $m$ 个 9)。
例如：
$10^1 = 10 = 9 + 1$
$10^2 = 100 = 99 + 1$
$10^3 = 1000 = 999 + 1$
一般地，$10^m = 1underbrace{00dots0}_{m ext{个0}} = underbrace{99dots9}_{m ext{个9}} + 1$
注意到 $underbrace{99dots9}_{m ext{个9}}$ 总是可以表示为 $9 imes underbrace{11dots1}_{m ext{个1}}$，它一定是 9 的倍数，因此也一定是 3 的倍数。
所以，我们可以将 $N$ 中的每一项 $d_i imes 10^i$ 写成：
$d_i imes 10^i = d_i imes (underbrace{99dots9}_{i ext{个9}} + 1)$
$d_i imes 10^i = d_i imes underbrace{99dots9}_{i ext{个9}} + d_i$
将这个代入 $N$ 的表达式中：
$N = (d_{k1} imes underbrace{99dots9}_{k1 ext{个9}} + d_{k1}) + (d_{k2} imes underbrace{99dots9}_{k2 ext{个9}} + d_{k2}) + dots + (d_1 imes 9 + d_1) + d_0$
重新组合一下：
$N = (d_{k1} + d_{k2} + dots + d_1 + d_0) + d_{k1} imes underbrace{99dots9}_{k1 ext{个9}} + d_{k2} imes underbrace{99dots9}_{k2 ext{个9}} + dots + d_1 imes 9$
我们看到了熟悉的各位数字之和 $S = d_{k1} + d_{k2} + dots + d_1 + d_0$。
剩下的项是：
$d_{k1} imes underbrace{99dots9}_{k1 ext{个9}} + d_{k2} imes underbrace{99dots9}_{k2 ext{个9}} + dots + d_1 imes 9$
每一项 $d_i imes underbrace{99dots9}_{i ext{个9}}$ 都是一个数字乘以一个 9 的倍数，所以它本身也是 3 的倍数。
这些项相加，整个部分仍然是 3 的倍数。
所以，我们再次得到：
$N = ( ext{各位数字之和 } S) + ( ext{某个是 3 的倍数的项})$
如果各位数字之和 $S$ 是 3 的倍数，那么 $N$ 就是 (3 的倍数) + (3 的倍数)，因此 $N$ 也是 3 的倍数。
另一种理解方式（模运算）：
我们可以使用模运算来更简洁地表达这个概念。
我们知道：
$10 equiv 1 pmod{3}$ (10 除以 3 余 1)
利用模运算的性质，如果 $a equiv b pmod{m}$，那么 $a^n equiv b^n pmod{m}$。
所以：
$10^1 equiv 1^1 equiv 1 pmod{3}$
$10^2 equiv 1^2 equiv 1 pmod{3}$
$10^3 equiv 1^3 equiv 1 pmod{3}$
...
$10^n equiv 1^n equiv 1 pmod{3}$
对于一个整数 $N = d_{k1}10^{k1} + d_{k2}10^{k2} + dots + d_110^1 + d_010^0$：
$N pmod{3} = (d_{k1}10^{k1} + d_{k2}10^{k2} + dots + d_110^1 + d_010^0) pmod{3}$
利用模运算的性质， $(a+b)pmod{m} = (a pmod{m} + b pmod{m}) pmod{m}$ 和 $(a imes b)pmod{m} = (a pmod{m} imes b pmod{m}) pmod{m}$：
$N pmod{3} = (d_{k1} pmod{3} imes 10^{k1} pmod{3} + d_{k2} pmod{3} imes 10^{k2} pmod{3} + dots + d_1 pmod{3} imes 10^1 pmod{3} + d_0 pmod{3} imes 10^0 pmod{3}) pmod{3}$
由于 $10^n equiv 1 pmod{3}$：
$N pmod{3} = (d_{k1} pmod{3} imes 1 + d_{k2} pmod{3} imes 1 + dots + d_1 pmod{3} imes 1 + d_0 pmod{3} imes 1) pmod{3}$
$N pmod{3} = (d_{k1} + d_{k2} + dots + d_1 + d_0) pmod{3}$
这正好是各位数字之和 $S$ 对 3 取模的结果。
$N pmod{3} = S pmod{3}$
如果 $N$ 是 3 的倍数，那么 $N pmod{3} = 0$。
所以，如果 $N$ 是 3 的倍数，那么 $S pmod{3} = 0$，即各位数字之和 $S$ 是 3 的倍数。
反过来，如果各位数字之和 $S$ 是 3 的倍数，那么 $S pmod{3} = 0$。
根据 $N pmod{3} = S pmod{3}$，我们得到 $N pmod{3} = 0$。
这意味着 $N$ 是 3 的倍数。
总结：
证明这个法则的核心在于：
1. 将整数表示为其各位数字的线性组合，其中系数是 10 的幂。
2. 注意到 10 除以 3 的余数是 1。这意味着任何 10 的幂除以 3 的余数也是 1。
3. 利用这一性质，可以将整数表示为“各位数字之和”与“一个由 9 的倍数组成的数”之和。
4. 由于 9 的倍数都可以被 3 整除，那么这个“由 9 的倍数组成的数”也能被 3 整除。
5. 因此，一个整数是否能被 3 整除，仅取决于它的各位数字之和是否能被 3 整除。
这个证明过程既严谨又易于理解，是数学中一个非常基础且实用的判定法则。
网友意见
一个整数如abcd
可以写成1000×a+100×b+10×c+d
＝999×a+99×b+9×c+a+b+c+d
根据十进制的性质，我们总可以将整数n表达成 ，取3的同余则根据 得：
因此 当且仅当 ，证毕。
这个问题能上热榜第一，很符合知乎人均常春藤的水平。
任意非负整数 满足
于是 和它的各个位数之和 除以 有相同的余数。
因此（1）是的倍数等价于各个位数之和是的倍数；
（2）是的倍数等价于各个位数之和是的倍数。
很有年代感的一个问题
如果我没记错的话，这个定理最早出现于小学课本，不过当时老师只是让我们背下来，而不去考虑它背后的证明。
其实现在回过头看看，原理也很简单，为了更好的叙述，下面我们引入一个记号：
给定一个正整数 ，如果两个整数 和 满足 能够被 整除，即 得到一个整数，那么就称整数 与 对摸 同余，记作： 。
我们要证的是：
只要整数的各个位数之和是3的倍数，那么这个整数就一定是3的倍数。
应该注意到一个浅显的事实，对任何一个正整数 ，都可以写成 的形式，其中 都是正整数，而且是整数 的的各个位数。
例如 ， 。
不妨设：
将原命题用数学语言修改一下，即为：
还是补充说明一下吧，“ ”也是一个记号，表达的意思是，若 为整数，则记为 ，读作：“a整除b”。例如： （2整除4）， （3整除6）。
因为余数为零时必定可以整除，所以更一般的，可以将原命题转化为：
不妨先举几个简单例子，例如
因为
因为 是 的倍数，所以， 也一定是 的倍数，故 一定是一个整数
毕竟
故：
同理：
而 也都是 的倍数，故 也一定是 的倍数。
故：
按照上面的思路，对任意的正整数 。
不妨设：
故：
因为
都是 的倍数，故
也一定是 的倍数，
所以按照上面的思路： 。
不过这个性质我想应该只在十进制中成立，其他进制可以思考一下，留作课后作业。
还有，按照本回答的这种思路，可以证明，把 换成 ，结论依然成立，即：
只要整数的各个位数之和是9的倍数，那么这个整数就一定是9的倍数 。
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