有哪些数学知识概念已经更新或改变，但不为大众所知？
数学是一个不断发展和演进的学科，虽然一些基础概念（如加减乘除、勾股定理）早已深入人心，但确实有一些更深层次的数学知识概念，其发展方向、新的视角或甚至基础定义已经悄然改变，但尚未被大众熟知。这些更新往往是由于数学家们对现有理论的深入研究、新的数学工具的出现、或者对抽象概念有了更深刻的理解。
以下是一些例子，我会尽量详细地解释它们是如何更新或改变的，以及为什么它们可能不为大众所知：
1. 集合论的“改变”：从直观到严格的公理化基础
什么是不为大众所知？ 大众对“集合”的理解通常是直观的：就是把一些东西放在一起。例如，“所有学生的集合”、“所有偶数的集合”。这种直观的理解在日常生活中完全足够。
更新/改变是什么？ 数学家们意识到，完全依赖直观的集合概念会导致逻辑上的矛盾，最著名的是罗素悖论（一个集合是否包含自身？如果包含，它就不包含自身；如果不包含，它就包含自身，这是一个悖论）。为了解决这些矛盾并为数学打下坚实的逻辑基础，数学家们发展了公理化集合论，最流行的是ZFC公理系统（ZermeloFraenkel集合论，并包含Choice公理）。
详细解释：
直观集合论的局限性： 在20世纪初，伯特兰·罗素发现了当时广泛使用的“朴素集合论”中的悖论。这个悖论表明，如果我们允许构造任意的集合（例如“所有不包含自身的集合的集合”），就会出现逻辑上的不可能。这就像说“这句话是假的”，这是一个典型的自我指涉的矛盾。
公理化集合论的诞生： 为了避免这些悖论，数学家们开始构建一个严格的公理系统，在这个系统中，只有符合特定规则的集合才能被“构造”。ZFC公理系统就是这样一套规则。它不直接定义“集合是什么”，而是规定了关于集合的公理（即被认为是无须证明的真理）。
关键公理（例子）：
外延公理 (Axiom of Extensionality): 如果两个集合拥有相同的元素，那么它们就是同一个集合。这使得集合的定义是唯一的，只取决于其内容。
空集公理 (Axiom of Empty Set): 存在一个不包含任何元素的集合，称为空集。这是所有集合的起点。
对集公理 (Axiom of Pairing): 对于任意两个集合A和B，存在一个集合{A, B}，它恰好包含A和B这两个元素。
并集公理 (Axiom of Union): 对于任意一个集合的集合X，存在一个集合，它包含X中所有集合里的所有元素。
幂集公理 (Axiom of Power Set): 对于任意一个集合A，存在一个集合，它包含A的所有子集。
替换公理模式 (Axiom Schema of Replacement): 如果F是一个函数，对于一个集合A中的所有元素x，F(x)都是一个集合，那么所有F(x)组成的集合也存在。这允许我们从已知集合构造新集合，比如生成自然数。
无限公理 (Axiom of Infinity): 存在一个无限集合，其中包含空集，并且对于其中任意元素x，x∪{x}也是该集合的元素。（这通常用来构造自然数集）。
正则公理 (Axiom of Regularity) 或称基础公理 (Axiom of Foundation): 任何非空集合A都存在一个元素x，使得x与A不相交（即x与A没有共同元素）。这阻止了像x ∈ x 或 x ∈ y 且 y ∈ x 这样的循环定义。
选择公理 (Axiom of Choice): 对于任意一个由非空集合组成的集合，存在一个“选择函数”，能够从每个集合中选出恰好一个元素。这个公理在某些数学领域（如泛函分析、拓扑学）非常重要，但它的非构造性（不说明如何选择）使得一些数学家（如直觉主义者）对其持保留态度。
为什么不为大众所知？
抽象性太高： 公理化集合论是数学的基石，但其内容高度抽象，并且涉及逻辑推理，对没有数学背景的人来说难以理解。
与日常经验的距离： 大众的数学需求集中在计算、应用等方面，而公理化集合论是关于数学自身结构和逻辑基础的探索。
是数学的“后台”工作： 就像普通人不需要知道水泥是怎么生产的就能住进房子一样，大多数人不需要了解集合论的公理基础就能使用数学。它为数学家构建定理提供了坚固的基石。
2. 概率论的“基础”：从频率到公理化
什么是不为大众所知？ 大众对概率的理解通常是基于“频率”或“可能性”。例如，“抛硬币正面朝上的概率是1/2，意味着抛很多次，大约一半会是正面”。这种理解在统计和日常决策中足够了。
更新/改变是什么？ 虽然频率解释非常直观，但严格来说，概率论现代化的基础是建立在公理化定义上的，由安德雷·柯尔莫哥洛夫在20世纪30年代提出。这为概率论提供了一个坚实的数学框架，能够严谨地处理复杂随机现象。
详细解释：
频率解释的局限性： 频率解释依赖于“无限次试验”或“大数定律”。但对于一个事件“真正发生”一次的情况（比如只抛一次硬币），或者在数学模型中处理“几乎必定”或“几乎不可能”等概念时，频率解释显得不够严谨。它也难以直接应用于连续概率分布。
柯尔mogorov的公理化概率论： 柯尔mogorov将概率论置于测度论（measure theory）的框架之下。他的公理是：
1. 非负性 (Nonnegativity): 任何事件A的概率P(A)都必须是非负的：$P(A) geq 0$。
2. 规范性 (Normalization): 整个样本空间（所有可能结果的集合）的概率为1：$P(Omega) = 1$。
3. 可数可加性 (Countable Additivity): 如果事件序列$A_1, A_2, A_3, dots$ 是两两互斥的（即任何两个事件之间没有共同结果），那么它们并集的概率等于它们各自概率之和：$P(cup_{i=1}^infty A_i) = sum_{i=1}^infty P(A_i)$。
为什么不为大众所知？
与直观的吻合度： 公理化概率论对于大多数日常或基础的概率问题，其结果与频率解释是一致的。大众不需要接触到它来理解基本的概率概念。
抽象和数学深度： 柯尔mogorov的理论建立在测度论之上，而测度论本身是一个非常高级的数学分支，涉及可测空间、可测函数等抽象概念。
应用场景的差异： 公理化概率论的严格性对于处理复杂的随机过程、统计推断的理论基础、金融建模、量子力学等高端应用至关重要，而这些领域超出了大众日常接触的范围。
3. 微积分的“基础”：从无穷小到极限
什么是不为大众所知？ 大众对微积分的理解可能局限于“求导”和“积分”的计算技巧，比如求曲线的斜率或面积。这种理解通常是学习了计算方法后就足够了。
更新/改变是什么？ 微积分最初由牛顿和莱布尼茨发展时，概念上是基于无穷小量 (infinitesimals) 的，即一些比零大但比任何正数都小的量。然而，无穷小量在逻辑上难以精确定义，容易引发矛盾。到了19世纪，奥古斯丁·路易·柯西和卡尔·魏尔斯特拉斯发展了极限理论 (Limit Theory)，为微积分提供了坚实的逻辑基础，将无穷小量的概念“取代”为对趋近于零的变量的描述。
详细解释：
无穷小的“问题”： 牛顿和莱布尼茨的直觉是，微积分是关于“变化的量”的。例如，他们会考虑当一个变量$dx$“趋近于零”时，$f(x+dx) f(x)$ 和 $dx$ 的比值。问题在于，在处理$dx$时，有时将其当作非零数（为了能除以它），有时又将其当作零（为了让它消失）。这种处理方式在逻辑上是不严谨的。
魏尔斯特拉斯的εδ定义： 魏尔斯特拉斯重新定义了“极限”，使得整个微积分的定义都变得严格。例如，函数$f(x)$在点$a$的极限是$L$，表示为 $lim_{x o a} f(x) = L$，其精确定义是：
对于任意给定的正数 $epsilon > 0$（无论多小），都存在一个正数 $delta > 0$（取决于 $epsilon$），使得只要 $0 < |x a| < delta$，就有 $|f(x) L| < epsilon$。
这个定义避免了使用“无穷小”这个概念，而是用“任意小的正数”来刻画“趋近”。
这如何改变了微积分？
逻辑严谨性： 它为微积分提供了坚实的数学基础，使其成为一门严谨的科学。
适用范围的扩展： 基于极限的定义，也更容易将微积分的思想推广到更复杂的数学结构中。
为什么不为大众所知？
“替代”而非“删除”： 大众学习微积分时，往往直接接触到基于极限的定义和计算方法。他们可能不知道曾经有过“无穷小”这个不那么严谨的概念。这个更新是“精炼”了基础概念，而不是带来了大众完全无法理解的新东西。
是教学和理论发展的过程： 这更像是数学理论内部的“升级”，而不是引入了全新的、与已有知识完全无关的概念。大众学习的是已经“更新”过的微积分。
计算的重要性： 大众学习微积分主要为了解决实际问题，计算能力和对导数、积分几何意义的理解比对基础定义的历史演变更重要。
4. 几何的“统一”：黎曼几何与广义相对论
什么是不为大众所知？ 大众熟悉的几何是欧几里得几何，即我们从小学的平面几何和立体几何，它基于“平行公理”（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）。这是对我们日常经验中最直观的“平坦”空间的描述。
更新/改变是什么？ 19世纪，数学家们发现欧几里得几何并非唯一的几何。通过否定平行公理，诞生了非欧几里得几何，最著名的是黎曼几何。黎曼几何能够描述弯曲的空间，并且在20世纪初成为爱因斯坦构建广义相对论的数学框架。广义相对论改变了我们对引力的理解，认为引力是时空弯曲的表现。
详细解释：
非欧几里得几何的诞生：
罗巴切夫斯基几何 (Hyperbolic Geometry): 否定平行公理，改为“过直线外一点有无数条直线与已知直线平行”。在这种几何中，三角形内角和小于180度。
黎曼几何 (Elliptic Geometry): 否定平行公理，改为“过直线外一点没有直线与已知直线平行”（例如，在球面上，任何两条“直线”——大圆——都会在两点相交，没有平行的直线）。另一种更精细的说法是，过直线外一点不存在与该直线平行的直线，或者过直线外一点存在无穷多条直线与该直线平行（这取决于对“平行”的定义）。在黎曼几何的某些版本中，三角形内角和大于180度。
黎曼几何的普适性： 黎曼几何并非仅限于几种特定的非欧几何，它提供了一个统一的框架来描述任何可以微分的流形 (differentiable manifold) 上的几何性质，无论空间是平坦的还是弯曲的。它使用度量张量 (metric tensor) 来定义距离和角度，这允许我们量化空间在不同方向上的弯曲程度。
与广义相对论的联系：
时空是弯曲的： 广义相对论的核心思想是，质量和能量会“弯曲”时空。我们感受到的“引力”并非是一种力，而是物体沿着弯曲时空中最“直”的路径（称为测地线 geodeiscs）运动的表现。
数学工具： 黎曼几何的度量张量和曲率张量（Riemann curvature tensor）是描述时空弯曲的精确数学工具。爱因斯坦方程将物质能量分布（用能量动量张量表示）与时空的几何（用度量张量及其导数表示）联系起来。
为什么不为大众所知？
反直觉和抽象性： 非欧几何和描述弯曲时空的数学，与我们日常的直观经验相悖，理解起来需要很高的抽象思维能力。
专业门槛高： 黎曼几何和广义相对论是现代物理学和高等数学的核心内容，需要深厚的数学和物理学功底才能掌握。
应用的高度专业化： 尽管广义相对论在天文学、宇宙学、GPS定位（相对论效应会影响卫星时钟精度）等方面有实际应用，但这些应用本身也是高度专业的领域。
总结
数学知识的更新和改变是一个持续的过程，很多时候是关于现有概念的深化、严谨化、抽象化或推广。这些更新之所以不为大众所知，主要是因为：
抽象性： 新的数学概念往往更加抽象，脱离了直观经验。
专业性： 它们通常是为解决数学内部的难题或发展高级理论而产生的，服务于更专业的领域。
基础性： 有些更新是对数学基础的“打地基”，虽然至关重要，但其过程和结果对普通使用者而言是隐藏的。
非颠覆性（在表面看来）： 对于大众而言，很多数学工具（如微积分、概率）的使用方法并没有发生颠覆性的改变，他们只是在更严谨或更广阔的框架下得以建立。
这些例子展示了数学的生命力，它不是一成不变的教条，而是一个不断探索、完善和拓展的科学领域。
以下是一些例子，我会尽量详细地解释它们是如何更新或改变的，以及为什么它们可能不为大众所知：
1. 集合论的“改变”：从直观到严格的公理化基础
什么是不为大众所知？ 大众对“集合”的理解通常是直观的：就是把一些东西放在一起。例如，“所有学生的集合”、“所有偶数的集合”。这种直观的理解在日常生活中完全足够。
更新/改变是什么？ 数学家们意识到，完全依赖直观的集合概念会导致逻辑上的矛盾，最著名的是罗素悖论（一个集合是否包含自身？如果包含，它就不包含自身；如果不包含，它就包含自身，这是一个悖论）。为了解决这些矛盾并为数学打下坚实的逻辑基础，数学家们发展了公理化集合论，最流行的是ZFC公理系统（ZermeloFraenkel集合论，并包含Choice公理）。
详细解释：
直观集合论的局限性： 在20世纪初，伯特兰·罗素发现了当时广泛使用的“朴素集合论”中的悖论。这个悖论表明，如果我们允许构造任意的集合（例如“所有不包含自身的集合的集合”），就会出现逻辑上的不可能。这就像说“这句话是假的”，这是一个典型的自我指涉的矛盾。
公理化集合论的诞生： 为了避免这些悖论，数学家们开始构建一个严格的公理系统，在这个系统中，只有符合特定规则的集合才能被“构造”。ZFC公理系统就是这样一套规则。它不直接定义“集合是什么”，而是规定了关于集合的公理（即被认为是无须证明的真理）。
关键公理（例子）：
外延公理 (Axiom of Extensionality): 如果两个集合拥有相同的元素，那么它们就是同一个集合。这使得集合的定义是唯一的，只取决于其内容。
空集公理 (Axiom of Empty Set): 存在一个不包含任何元素的集合，称为空集。这是所有集合的起点。
对集公理 (Axiom of Pairing): 对于任意两个集合A和B，存在一个集合{A, B}，它恰好包含A和B这两个元素。
并集公理 (Axiom of Union): 对于任意一个集合的集合X，存在一个集合，它包含X中所有集合里的所有元素。
幂集公理 (Axiom of Power Set): 对于任意一个集合A，存在一个集合，它包含A的所有子集。
替换公理模式 (Axiom Schema of Replacement): 如果F是一个函数，对于一个集合A中的所有元素x，F(x)都是一个集合，那么所有F(x)组成的集合也存在。这允许我们从已知集合构造新集合，比如生成自然数。
无限公理 (Axiom of Infinity): 存在一个无限集合，其中包含空集，并且对于其中任意元素x，x∪{x}也是该集合的元素。（这通常用来构造自然数集）。
正则公理 (Axiom of Regularity) 或称基础公理 (Axiom of Foundation): 任何非空集合A都存在一个元素x，使得x与A不相交（即x与A没有共同元素）。这阻止了像x ∈ x 或 x ∈ y 且 y ∈ x 这样的循环定义。
选择公理 (Axiom of Choice): 对于任意一个由非空集合组成的集合，存在一个“选择函数”，能够从每个集合中选出恰好一个元素。这个公理在某些数学领域（如泛函分析、拓扑学）非常重要，但它的非构造性（不说明如何选择）使得一些数学家（如直觉主义者）对其持保留态度。
为什么不为大众所知？
抽象性太高： 公理化集合论是数学的基石，但其内容高度抽象，并且涉及逻辑推理，对没有数学背景的人来说难以理解。
与日常经验的距离： 大众的数学需求集中在计算、应用等方面，而公理化集合论是关于数学自身结构和逻辑基础的探索。
是数学的“后台”工作： 就像普通人不需要知道水泥是怎么生产的就能住进房子一样，大多数人不需要了解集合论的公理基础就能使用数学。它为数学家构建定理提供了坚固的基石。
2. 概率论的“基础”：从频率到公理化
什么是不为大众所知？ 大众对概率的理解通常是基于“频率”或“可能性”。例如，“抛硬币正面朝上的概率是1/2，意味着抛很多次，大约一半会是正面”。这种理解在统计和日常决策中足够了。
更新/改变是什么？ 虽然频率解释非常直观，但严格来说，概率论现代化的基础是建立在公理化定义上的，由安德雷·柯尔莫哥洛夫在20世纪30年代提出。这为概率论提供了一个坚实的数学框架，能够严谨地处理复杂随机现象。
详细解释：
频率解释的局限性： 频率解释依赖于“无限次试验”或“大数定律”。但对于一个事件“真正发生”一次的情况（比如只抛一次硬币），或者在数学模型中处理“几乎必定”或“几乎不可能”等概念时，频率解释显得不够严谨。它也难以直接应用于连续概率分布。
柯尔mogorov的公理化概率论： 柯尔mogorov将概率论置于测度论（measure theory）的框架之下。他的公理是：
1. 非负性 (Nonnegativity): 任何事件A的概率P(A)都必须是非负的：$P(A) geq 0$。
2. 规范性 (Normalization): 整个样本空间（所有可能结果的集合）的概率为1：$P(Omega) = 1$。
3. 可数可加性 (Countable Additivity): 如果事件序列$A_1, A_2, A_3, dots$ 是两两互斥的（即任何两个事件之间没有共同结果），那么它们并集的概率等于它们各自概率之和：$P(cup_{i=1}^infty A_i) = sum_{i=1}^infty P(A_i)$。
为什么不为大众所知？
与直观的吻合度： 公理化概率论对于大多数日常或基础的概率问题，其结果与频率解释是一致的。大众不需要接触到它来理解基本的概率概念。
抽象和数学深度： 柯尔mogorov的理论建立在测度论之上，而测度论本身是一个非常高级的数学分支，涉及可测空间、可测函数等抽象概念。
应用场景的差异： 公理化概率论的严格性对于处理复杂的随机过程、统计推断的理论基础、金融建模、量子力学等高端应用至关重要，而这些领域超出了大众日常接触的范围。
3. 微积分的“基础”：从无穷小到极限
什么是不为大众所知？ 大众对微积分的理解可能局限于“求导”和“积分”的计算技巧，比如求曲线的斜率或面积。这种理解通常是学习了计算方法后就足够了。
更新/改变是什么？ 微积分最初由牛顿和莱布尼茨发展时，概念上是基于无穷小量 (infinitesimals) 的，即一些比零大但比任何正数都小的量。然而，无穷小量在逻辑上难以精确定义，容易引发矛盾。到了19世纪，奥古斯丁·路易·柯西和卡尔·魏尔斯特拉斯发展了极限理论 (Limit Theory)，为微积分提供了坚实的逻辑基础，将无穷小量的概念“取代”为对趋近于零的变量的描述。
详细解释：
无穷小的“问题”： 牛顿和莱布尼茨的直觉是，微积分是关于“变化的量”的。例如，他们会考虑当一个变量$dx$“趋近于零”时，$f(x+dx) f(x)$ 和 $dx$ 的比值。问题在于，在处理$dx$时，有时将其当作非零数（为了能除以它），有时又将其当作零（为了让它消失）。这种处理方式在逻辑上是不严谨的。
魏尔斯特拉斯的εδ定义： 魏尔斯特拉斯重新定义了“极限”，使得整个微积分的定义都变得严格。例如，函数$f(x)$在点$a$的极限是$L$，表示为 $lim_{x o a} f(x) = L$，其精确定义是：
对于任意给定的正数 $epsilon > 0$（无论多小），都存在一个正数 $delta > 0$（取决于 $epsilon$），使得只要 $0 < |x a| < delta$，就有 $|f(x) L| < epsilon$。
这个定义避免了使用“无穷小”这个概念，而是用“任意小的正数”来刻画“趋近”。
这如何改变了微积分？
逻辑严谨性： 它为微积分提供了坚实的数学基础，使其成为一门严谨的科学。
适用范围的扩展： 基于极限的定义，也更容易将微积分的思想推广到更复杂的数学结构中。
为什么不为大众所知？
“替代”而非“删除”： 大众学习微积分时，往往直接接触到基于极限的定义和计算方法。他们可能不知道曾经有过“无穷小”这个不那么严谨的概念。这个更新是“精炼”了基础概念，而不是带来了大众完全无法理解的新东西。
是教学和理论发展的过程： 这更像是数学理论内部的“升级”，而不是引入了全新的、与已有知识完全无关的概念。大众学习的是已经“更新”过的微积分。
计算的重要性： 大众学习微积分主要为了解决实际问题，计算能力和对导数、积分几何意义的理解比对基础定义的历史演变更重要。
4. 几何的“统一”：黎曼几何与广义相对论
什么是不为大众所知？ 大众熟悉的几何是欧几里得几何，即我们从小学的平面几何和立体几何，它基于“平行公理”（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）。这是对我们日常经验中最直观的“平坦”空间的描述。
更新/改变是什么？ 19世纪，数学家们发现欧几里得几何并非唯一的几何。通过否定平行公理，诞生了非欧几里得几何，最著名的是黎曼几何。黎曼几何能够描述弯曲的空间，并且在20世纪初成为爱因斯坦构建广义相对论的数学框架。广义相对论改变了我们对引力的理解，认为引力是时空弯曲的表现。
详细解释：
非欧几里得几何的诞生：
罗巴切夫斯基几何 (Hyperbolic Geometry): 否定平行公理，改为“过直线外一点有无数条直线与已知直线平行”。在这种几何中，三角形内角和小于180度。
黎曼几何 (Elliptic Geometry): 否定平行公理，改为“过直线外一点没有直线与已知直线平行”（例如，在球面上，任何两条“直线”——大圆——都会在两点相交，没有平行的直线）。另一种更精细的说法是，过直线外一点不存在与该直线平行的直线，或者过直线外一点存在无穷多条直线与该直线平行（这取决于对“平行”的定义）。在黎曼几何的某些版本中，三角形内角和大于180度。
黎曼几何的普适性： 黎曼几何并非仅限于几种特定的非欧几何，它提供了一个统一的框架来描述任何可以微分的流形 (differentiable manifold) 上的几何性质，无论空间是平坦的还是弯曲的。它使用度量张量 (metric tensor) 来定义距离和角度，这允许我们量化空间在不同方向上的弯曲程度。
与广义相对论的联系：
时空是弯曲的： 广义相对论的核心思想是，质量和能量会“弯曲”时空。我们感受到的“引力”并非是一种力，而是物体沿着弯曲时空中最“直”的路径（称为测地线 geodeiscs）运动的表现。
数学工具： 黎曼几何的度量张量和曲率张量（Riemann curvature tensor）是描述时空弯曲的精确数学工具。爱因斯坦方程将物质能量分布（用能量动量张量表示）与时空的几何（用度量张量及其导数表示）联系起来。
为什么不为大众所知？
反直觉和抽象性： 非欧几何和描述弯曲时空的数学，与我们日常的直观经验相悖，理解起来需要很高的抽象思维能力。
专业门槛高： 黎曼几何和广义相对论是现代物理学和高等数学的核心内容，需要深厚的数学和物理学功底才能掌握。
应用的高度专业化： 尽管广义相对论在天文学、宇宙学、GPS定位（相对论效应会影响卫星时钟精度）等方面有实际应用，但这些应用本身也是高度专业的领域。
总结
数学知识的更新和改变是一个持续的过程，很多时候是关于现有概念的深化、严谨化、抽象化或推广。这些更新之所以不为大众所知，主要是因为：
抽象性： 新的数学概念往往更加抽象，脱离了直观经验。
专业性： 它们通常是为解决数学内部的难题或发展高级理论而产生的，服务于更专业的领域。
基础性： 有些更新是对数学基础的“打地基”，虽然至关重要，但其过程和结果对普通使用者而言是隐藏的。
非颠覆性（在表面看来）： 对于大众而言，很多数学工具（如微积分、概率）的使用方法并没有发生颠覆性的改变，他们只是在更严谨或更广阔的框架下得以建立。
这些例子展示了数学的生命力，它不是一成不变的教条，而是一个不断探索、完善和拓展的科学领域。
网友意见
几何学。
初中都学过，平行线公理等等。
几何原本的公理体系不是最简的，大部分公理之间可以相互取代。希尔伯特的五组公理：
①关联公理
②顺序公理
③合同公理
④平行公理
⑤连续公理
相信大部分非数学专业的人都没听说过。
我相信大部分人喜欢数学都是从几何证明开始的，我自己就是。中学曾陶醉于自己的数学知识框架之严谨。直到去年带了一群初中生，回望自己曾学的平面几何，才发现许多基本概念的引入，基本定理的证明，都利用了一点几何的直观性，当然这对中学生来说是合理的。但是对我来说，中学的几何学好像是空中楼阁，学生证来证去算来算去，看上去很花哨，很愉快，实际上对自己所利用的证明依据一无所知……我自己何尝不也是如此。
类似的话题
-
数学是一个不断发展和演进的学科，虽然一些基础概念（如加减乘除、勾股定理）早已深入人心，但确实有一些更深层次的数学知识概念，其发展方向、新的视角或甚至基础定义已经悄然改变，但尚未被大众熟知。这些更新往往是由于数学家们对现有理论的深入研究、新的数学工具的出现、或者对抽象概念有了更深刻的理解。以下是一些例............. -
好，让我们来聊聊一些医学知识更新，但可能大众知之甚少的“幕后变化”。这些变化往往是循序渐进的，不像某个重磅新药或手术那样引人注目，但却实实在在地影响着我们对疾病的理解和治疗。1. “慢性炎症”不再只是“火上浇油”，而是“身体的信号部队”过去，我们提到“炎症”，脑海里往往就是发烧、红肿、疼痛，是身体在.............
-
这是一个很有意思的问题，它触及了概率和期望值的核心。我们不妨一步一步来拆解它，看看这位“定时炸弹”究竟会在哪个时间节点上更“活跃”。假设炸弹在任何给定的一秒内爆炸的概率是 $p$，而我们说“每秒钟爆炸概率提高一点”，这意思是我们不能简单地假设每秒的爆炸概率都是恒定的。更确切地说，我们应该引入一个随时.............
-
让我来告诉你一个真正让我大脑宕机，甚至有点“烧坏”的数学知识——康托尔的对角线论证（Cantor's Diagonal Argument）。我第一次接触它的时候，是在大学里的一堂集合论的入门课上。当时我对数学的理解，还停留在“数数”、“计算”、“图形”这些比较直观的概念上。而对角线论证，就像一个宇宙.............
-
有时候，有些数学上的事儿，说出去，估计别人会觉得我疯了。不是因为它们多复杂难懂，而是因为它们跟咱们日常生活的直觉差得太远了，简直是反常识的。我就捡几个我印象最深的，慢慢跟你道来。一、无尽的数，无尽的“点”咱们都知道，数是用一次数出来的，比如1、2、3……到无穷大。但你知道吗？在数学里，无穷大还有“等.............
-
在大学的校园里，数学系和物理系之间的微妙关系，就像两个世界观截然不同却又相互依存的邻居，时常会碰撞出一些带着点戏谑和不屑的“经典桥段”。这些桥段并非真的恶意相向，更多的是一种同行之间的调侃和对彼此学科立场的坚持。要说数学系“鄙视”物理系，这话说得有点重了。用“微妙的优越感”或者“对物理系方法论的某种.............
-
有很多数学问题，其优雅或直观的证明或解释，都与物理学紧密相连。这些联系并非偶然，物理学往往是数学概念的试验场，而数学则为我们理解物理世界的底层规律提供了强大的工具。下面我将挑选几个典型的例子，尝试深入地讲述它们与物理学的“纠葛”。1. 微积分的诞生与牛顿的万有引力定律这可能是数学与物理学最著名、也最.............
-
数学世界浩瀚无垠，其中蕴含着无数智慧的结晶。而一些数学定理的诞生，更是充满了曲折、灵感和坚持，它们的推出过程，如同精心雕琢的艺术品，值得我们细细品味。今天，我想和大家聊聊几个我心中特别有味道的定理，以及它们背后的故事。一、勾股定理：不仅仅是三个数的平方和提起勾股定理（毕达哥拉斯定理），大多数人都能脱.............
-
有些数学定理，初次接触时，真的会让人心里冒出一个念头：“这不显而易见吗？怎么还需要证明啊？” 这其实是一种美好的误解，源于我们直观的理解与严谨数学逻辑之间的差距。 今天，我就想和大家聊聊几个这样的定理，它们就像数学世界里那些隐藏的守门员，看似简单，却需要精密的思考才能一一越过。1. 勾股定理 (.............
-
嘿，老哥们！今天来唠唠只有咱们数学竞赛圈子里才懂的那些梗，包你听了秒懂，其他人只能一头雾水。保证不是那些AI才会写的干巴巴的笑话，都是咱们摸爬滚打出来的真实感受！梗一：什么是负数？小明参加了一场重要的数学竞赛，题目难度相当高。当他看到一道关于负数性质的题目时，陷入了沉思。比赛结束后，裁判问小明：“你.............
-
说实话，要让我“深恶痛绝”一本具体的数学教材，然后还能详细到让你觉得不是AI写的，这本身就有点挑战。毕竟，教材的好坏很大程度上是个人口味和学习背景的体现。对我来说，一本“烂”教材往往不是因为它有什么惊天动地的错误，而是它在某个关键环节上，比如逻辑的衔接、例题的选取、习题的设计，或者语言的表达上，让我.............
-
作为一名物理学的研究者，在我看来，大学本科阶段的学习是奠定扎实物理功底的关键时期，而数学则是支撑这一切的基石。一个好的物理学家，必然离不开深厚的数学功底。所以，哪些数学课是必不可少的？我来好好跟你聊聊，尽量讲得透彻些，别嫌我啰嗦。核心基础，必不可少：首先，最最基础的数学课，它们的重要性怎么强调都不为.............
-
好的，关于文学知识普及的书籍，可以从多个角度进行推荐，满足不同读者的需求。我会从几个主要的分类来详细介绍，并解释为什么推荐它们。一、 宏观理解文学史与文学理论这类书籍适合想要系统了解文学发展脉络、理解文学演变规律以及掌握基本文学理论的读者。1. 《文学史》系列（外国文学史/中国文学史） .............
-
哈，这问题有意思！得说，有些笑话确实是数学专业人士才能会心一笑的，就像我们说一种加密语言一样。这也不是说我们多“高贵”，而是因为理解笑话的梗，得先懂一些概念和推理过程。我试着挑几个讲讲，尽量把背景也说明白点，免得听起来像什么黑话。首先得说，数学笑话很多时候玩的是一种“反差”或者“曲解”。我们平时接触.............
-
那些让数学专业学生在月经周期那样准时、并且同样让人抓狂的“月经数学题”，其实不是指那种和生理期直接挂钩的题目，而是指那些在数学学习过程中，几乎每个月（或者说每个学期、每个阶段）都会出现，并且反复折磨人的、总也做不完、或者总是掌握不好、甚至一辈子都可能遇上的经典难题。下面我来细数一下，哪些类型的题目能.............
-
医学知识，如同一个浩瀚而古老的宇宙，需要我们用智慧与想象力去探索它的奥秘。而比喻，便是我们在这片星辰大海中 navigat 的船桨，它能将那些晦涩难懂的理论，化为栩栩如生的画面，让我们更容易理解和记忆。人体，一个精密的生命工厂我们不妨把人体想象成一个超级精密、24小时不间断运行的生命工厂。 细胞.............
-
好，既然是给咱们数学系的学生看，那就不绕弯子，直接聊点实在的。你想啊，我们天天跟数字、符号打交道，从公理出发推导定理，这本身就是一种哲学实践。但有没有想过，这些公理从哪来的？为什么我们相信数学是真理？数学的本质到底是什么？这些问题，就是数学哲学要解答的。作为数学系的同学，你可能已经接触了不少严谨的数.............
-
聊到国内基础数学实力强劲的大学，那绝对绕不开这么几所，它们在国内数学界的地位举足轻重，培养出了无数杰出的数学家。要说谁最“牛”，这还得从几个维度来细看，因为“好”这个字，有时候也得看你从哪个角度去衡量。1. 北京大学：底蕴深厚，群星璀璨北京大学的数学学院，那绝对是国内数学界的“黄埔军校”。论底蕴，北.............
-
物理系与数学系之间的“鄙视链”或经典桥段，很大程度上源于两者研究对象、方法论以及哲学观点的差异。这种“鄙视”并非真正意义上的仇恨，更多的是一种长久以来学科间相互影响、相互挑战下形成的一种文化现象，甚至带有一丝戏谑和自嘲。以下是一些常见的物理系“鄙视”数学系的经典桥段，我会尽量详细地讲述其背后的逻辑和.............
-
说到数学、物理的“闲书”，这可就太有意思了。我理解你说的“闲书”，不是那种需要啃定理、解习题的教科书，而是那些能让你在轻松愉快的阅读中，不知不觉地拓宽视野，激发出对学科更深层次的好奇心的读物。它们往往文笔优美，故事性强，或者充满奇思妙想，让你觉得学数学、学物理原来可以这么有趣。咱们就来聊聊几本我特别.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有