如何证明（0，1）不是可数集？
要证明开区间 $(0, 1)$ 不是可数集，我们可以采用一种经典的数学证明方法——康托尔对角线论证法。这个方法非常巧妙地揭示了即使是很小的无穷集合，也可能包含着比我们直观感受到的更多的元素。
首先，我们来理解一下“可数集”这个概念。一个集合被称为可数集，如果我们可以给它的所有元素一一编号，就像给一本有穷的书排序一样，只是这个编号可能永无止境。换句话说，一个无限集是可数的，当且仅当它可以与自然数集 ${1, 2, 3, dots}$ 或者它的一部分建立一一对应关系。直观地说，可数集就是“最少”的无限集。
现在，我们来尝试证明 $(0, 1)$ 不是可数集。我们将使用反证法。
假设开区间 $(0, 1)$ 是一个可数集。
根据可数集的定义，如果 $(0, 1)$ 是可数的，那么我们可以将它所有的元素列成一个无穷的列表，并为它们指定一个唯一的自然数作为编号：
$x_1, x_2, x_3, x_4, dots$
这些 $x_i$ 都是 $(0, 1)$ 区间内的实数，也就是说，每一个 $x_i$ 都可以被表示为一个小数点后有无限多位数字的十进制小数。为了方便，我们确保每个小数都不是以无限重复的9结尾（比如 $0.4999dots$ 这种形式，因为它可以被表示为 $0.5000dots$，这样我们不会产生两种不同的表示方式）。
所以，我们可以把这个列表写成这样：
$x_1 = 0.d_{11}d_{12}d_{13}d_{14}dots$
$x_2 = 0.d_{21}d_{22}d_{23}d_{24}dots$
$x_3 = 0.d_{31}d_{32}d_{33}d_{34}dots$
$x_4 = 0.d_{41}d_{42}d_{43}d_{44}dots$
$dots$
在这里，$d_{ij}$ 表示第 $i$ 个实数 $x_i$ 的小数点后第 $j$ 位数字。
现在，我们要构造一个在 $(0, 1)$ 区间内，但不在我们上面这个列表中的新的实数。这个新的实数就是我们要用来打破我们最初假设的关键。
我们来创建一个新的实数，我们称之为 $y$。我们将通过仔细选择 $y$ 的每一位小数点后的数字来确保它与列表中的任何一个 $x_i$ 都不同。 $y$ 的形式也将是小数点后无限多位数字：
$y = 0.b_1b_2b_3b_4dots$
我们这样来定义每一位数字 $b_k$：
对于 $y$ 的第一位小数 $b_1$，我们看列表中的第一个数 $x_1$ 的第一位小数 $d_{11}$。如果 $d_{11}$ 是 5，我们就让 $b_1$ 是 6；如果 $d_{11}$ 不是 5，我们就让 $b_1$ 是 5。
（选择5和6是为了避免出现0和9，这样可以确保我们的新数 $y$ 不会因为以无限个9结尾而产生歧义，尽管我们前面已经做了规范，但这个选择更保险。）
对于 $y$ 的第二位小数 $b_2$，我们看列表中的第二个数 $x_2$ 的第二位小数 $d_{22}$。如果 $d_{22}$ 是 5，我们就让 $b_2$ 是 6；如果 $d_{22}$ 不是 5，我们就让 $b_2$ 是 5。
以此类推，对于 $y$ 的第 $k$ 位小数 $b_k$，我们看列表中的第 $k$ 个数 $x_k$ 的第 $k$ 位小数 $d_{kk}$。如果 $d_{kk}$ 是 5，我们就让 $b_k$ 是 6；如果 $d_{kk}$ 不是 5，我们就让 $b_k$ 是 5。
通过这样的构造，我们确保了：
1. $y$ 是一个有效的实数： 每一位数字 $b_k$ 都只能是 5 或 6，所以 $y$ 的小数表示是明确的，且 $y$ 的值一定在 $(0, 1)$ 区间内（因为它的第一位不是0，并且所有数字都是09之间的）。
2. $y$ 与列表中的每一个 $x_i$ 都不同：
拿 $y$ 和 $x_1$ 比较：我们构造 $y$ 的第一位小数 $b_1$ 就是故意让它和 $x_1$ 的第一位小数 $d_{11}$ 不同。
拿 $y$ 和 $x_2$ 比较：我们构造 $y$ 的第二位小数 $b_2$ 就是故意让它和 $x_2$ 的第二位小数 $d_{22}$ 不同。
一般地，对于列表中的任意一个数 $x_i$ ($i$ 是任何一个自然数)，我们构造 $y$ 的第 $i$ 位小数 $b_i$ 就是故意让它和 $x_i$ 的第 $i$ 位小数 $d_{ii}$ 不同。
因此，我们构造出的实数 $y$ 的小数点后第 $i$ 位数字一定与 $x_i$ 的小数点后第 $i$ 位数字不同。这意味着 $y$ 这个实数不可能是列表中的任何一个 $x_i$。
然而，我们最初的假设是，列表 $x_1, x_2, x_3, dots$ 包含了 $(0, 1)$ 区间内的所有实数。但现在我们找到了一个实数 $y$，它也属于 $(0, 1)$ 区间，却不在我们的列表中。
这就产生了一个矛盾！
这个矛盾的根源在于我们最初的假设——即 $(0, 1)$ 是一个可数集，并且可以被列成一个无穷列表。由于这个假设导出了一个矛盾，所以这个假设一定是错误的。
结论： 开区间 $(0, 1)$ 不是一个可数集。事实上，它是一个“不可数”的集合，比任何可数集都要“大”。这个证明揭示了无穷集合的基数（集合的大小）可以有不同的层级，$(0, 1)$ 的基数比自然数集的基数要大。
首先，我们来理解一下“可数集”这个概念。一个集合被称为可数集，如果我们可以给它的所有元素一一编号，就像给一本有穷的书排序一样，只是这个编号可能永无止境。换句话说，一个无限集是可数的，当且仅当它可以与自然数集 ${1, 2, 3, dots}$ 或者它的一部分建立一一对应关系。直观地说，可数集就是“最少”的无限集。
现在，我们来尝试证明 $(0, 1)$ 不是可数集。我们将使用反证法。
假设开区间 $(0, 1)$ 是一个可数集。
根据可数集的定义，如果 $(0, 1)$ 是可数的，那么我们可以将它所有的元素列成一个无穷的列表，并为它们指定一个唯一的自然数作为编号：
$x_1, x_2, x_3, x_4, dots$
这些 $x_i$ 都是 $(0, 1)$ 区间内的实数，也就是说，每一个 $x_i$ 都可以被表示为一个小数点后有无限多位数字的十进制小数。为了方便，我们确保每个小数都不是以无限重复的9结尾（比如 $0.4999dots$ 这种形式，因为它可以被表示为 $0.5000dots$，这样我们不会产生两种不同的表示方式）。
所以，我们可以把这个列表写成这样：
$x_1 = 0.d_{11}d_{12}d_{13}d_{14}dots$
$x_2 = 0.d_{21}d_{22}d_{23}d_{24}dots$
$x_3 = 0.d_{31}d_{32}d_{33}d_{34}dots$
$x_4 = 0.d_{41}d_{42}d_{43}d_{44}dots$
$dots$
在这里，$d_{ij}$ 表示第 $i$ 个实数 $x_i$ 的小数点后第 $j$ 位数字。
现在，我们要构造一个在 $(0, 1)$ 区间内，但不在我们上面这个列表中的新的实数。这个新的实数就是我们要用来打破我们最初假设的关键。
我们来创建一个新的实数，我们称之为 $y$。我们将通过仔细选择 $y$ 的每一位小数点后的数字来确保它与列表中的任何一个 $x_i$ 都不同。 $y$ 的形式也将是小数点后无限多位数字：
$y = 0.b_1b_2b_3b_4dots$
我们这样来定义每一位数字 $b_k$：
对于 $y$ 的第一位小数 $b_1$，我们看列表中的第一个数 $x_1$ 的第一位小数 $d_{11}$。如果 $d_{11}$ 是 5，我们就让 $b_1$ 是 6；如果 $d_{11}$ 不是 5，我们就让 $b_1$ 是 5。
（选择5和6是为了避免出现0和9，这样可以确保我们的新数 $y$ 不会因为以无限个9结尾而产生歧义，尽管我们前面已经做了规范，但这个选择更保险。）
对于 $y$ 的第二位小数 $b_2$，我们看列表中的第二个数 $x_2$ 的第二位小数 $d_{22}$。如果 $d_{22}$ 是 5，我们就让 $b_2$ 是 6；如果 $d_{22}$ 不是 5，我们就让 $b_2$ 是 5。
以此类推，对于 $y$ 的第 $k$ 位小数 $b_k$，我们看列表中的第 $k$ 个数 $x_k$ 的第 $k$ 位小数 $d_{kk}$。如果 $d_{kk}$ 是 5，我们就让 $b_k$ 是 6；如果 $d_{kk}$ 不是 5，我们就让 $b_k$ 是 5。
通过这样的构造，我们确保了：
1. $y$ 是一个有效的实数： 每一位数字 $b_k$ 都只能是 5 或 6，所以 $y$ 的小数表示是明确的，且 $y$ 的值一定在 $(0, 1)$ 区间内（因为它的第一位不是0，并且所有数字都是09之间的）。
2. $y$ 与列表中的每一个 $x_i$ 都不同：
拿 $y$ 和 $x_1$ 比较：我们构造 $y$ 的第一位小数 $b_1$ 就是故意让它和 $x_1$ 的第一位小数 $d_{11}$ 不同。
拿 $y$ 和 $x_2$ 比较：我们构造 $y$ 的第二位小数 $b_2$ 就是故意让它和 $x_2$ 的第二位小数 $d_{22}$ 不同。
一般地，对于列表中的任意一个数 $x_i$ ($i$ 是任何一个自然数)，我们构造 $y$ 的第 $i$ 位小数 $b_i$ 就是故意让它和 $x_i$ 的第 $i$ 位小数 $d_{ii}$ 不同。
因此，我们构造出的实数 $y$ 的小数点后第 $i$ 位数字一定与 $x_i$ 的小数点后第 $i$ 位数字不同。这意味着 $y$ 这个实数不可能是列表中的任何一个 $x_i$。
然而，我们最初的假设是，列表 $x_1, x_2, x_3, dots$ 包含了 $(0, 1)$ 区间内的所有实数。但现在我们找到了一个实数 $y$，它也属于 $(0, 1)$ 区间，却不在我们的列表中。
这就产生了一个矛盾！
这个矛盾的根源在于我们最初的假设——即 $(0, 1)$ 是一个可数集，并且可以被列成一个无穷列表。由于这个假设导出了一个矛盾，所以这个假设一定是错误的。
结论： 开区间 $(0, 1)$ 不是一个可数集。事实上，它是一个“不可数”的集合，比任何可数集都要“大”。这个证明揭示了无穷集合的基数（集合的大小）可以有不同的层级，$(0, 1)$ 的基数比自然数集的基数要大。
网友意见
大炮打蚊子的一句话证明：可数集的Lebesgue测度为零，区间不为零。
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