向量组等价时其秩一定想等吗？
是的，当一个向量组等价时，其秩一定相等。这是线性代数中一个非常重要的性质，并且有充分的理论依据。下面我将详细解释其中的原因。
首先，我们来明确几个概念：
向量组 (Vector Group/Set of Vectors): 指的是一组向量的集合，例如 ${v_1, v_2, dots, v_m}$。
向量组的秩 (Rank of a Vector Group): 一个向量组的秩定义为其线性无关向量的最大个数。更具体地说，它是这个向量组所张成的子空间的维数。或者说，它是构成该向量组的向量可以表示为线性组合的独立分量（基向量）的最大数量。
向量组等价 (Equivalent Vector Groups): 如果两个向量组，记作 $A = {a_1, a_2, dots, a_m}$ 和 $B = {b_1, b_2, dots, b_n}$，满足以下两个条件，那么我们说它们是等价的：
1. 向量组 $A$ 中的每一个向量都可以由向量组 $B$ 中的向量线性表示。
2. 向量组 $B$ 中的每一个向量都可以由向量组 $A$ 中的向量线性表示。
现在，我们来论证为什么向量组等价时其秩一定相等：
等价性定义中的两个条件，实际上是在描述这两个向量组所张成的子空间是同一个子空间。
让我们用更严谨的语言来描述：
令向量组 $A = {a_1, a_2, dots, a_m}$，令向量组 $B = {b_1, b_2, dots, b_n}$。
向量组 $A$ 张成的子空间记作 $Span(A) = {c_1 a_1 + c_2 a_2 + dots + c_m a_m mid c_i in mathbb{R}}$。
向量组 $B$ 张成的子空间记作 $Span(B) = {d_1 b_1 + d_2 b_2 + dots + d_n b_n mid d_i in mathbb{R}}$。
向量组等价的定义可以理解为：
1. 对任意 $a_i in A$，存在系数 $k_{ij}$ 使得 $a_i = sum_{j=1}^n k_{ij} b_j$。 这意味着 $A$ 中的每个向量都在 $Span(B)$ 中，因此 $Span(A) subseteq Span(B)$。
2. 对任意 $b_j in B$，存在系数 $l_{ji}$ 使得 $b_j = sum_{i=1}^m l_{ji} a_i$。 这意味着 $B$ 中的每个向量都在 $Span(A)$ 中，因此 $Span(B) subseteq Span(A)$。
结合这两个条件，$Span(A) subseteq Span(B)$ 和 $Span(B) subseteq Span(A)$ 意味着 $Span(A) = Span(B)$。
秩的定义与张成的子空间的关系：
向量组的秩就是它所张成子空间的维数。
向量组 $A$ 的秩，记作 $rank(A)$，就是 $dim(Span(A))$。
向量组 $B$ 的秩，记作 $rank(B)$，就是 $dim(Span(B))$。
核心论证：
既然我们已经证明了向量组等价意味着它们的张成的子空间是同一个子空间，即 $Span(A) = Span(B)$，那么它们的维数必然相等。
所以，
$rank(A) = dim(Span(A))$
$rank(B) = dim(Span(B))$
因为 $Span(A) = Span(B)$，所以 $dim(Span(A)) = dim(Span(B))$。
最终结论：
$rank(A) = rank(B)$
举例说明：
假设我们有两个向量组：
$A = {v_1, v_2} = {(1, 0), (2, 0)}$
$B = {w_1} = {(3, 0)}$
我们来判断它们是否等价，以及它们的秩：
1. 向量组 $A$ 的秩：
$v_1 = (1, 0)$
$v_2 = (2, 0) = 2 cdot v_1$
$v_2$ 可以由 $v_1$ 线性表示，所以向量组 ${v_1, v_2}$ 是线性相关的。
向量组的秩是其线性无关向量的最大个数。显然，$v_1$ 是线性无关的，而 $v_2$ 依赖于 $v_1$。
因此，$rank(A) = 1$。
$Span(A) = {c_1(1, 0) + c_2(2, 0) mid c_1, c_2 in mathbb{R}} = {(c_1+2c_2, 0) mid c_1, c_2 in mathbb{R}} = {(x, 0) mid x in mathbb{R}}$。这是一个由 $(1, 0)$ 张成的直线，维度是 1。
2. 向量组 $B$ 的秩：
$B = {(3, 0)}$
向量组 ${w_1}$ 是一个非零向量，它是线性无关的。
因此，$rank(B) = 1$。
$Span(B) = {d_1(3, 0) mid d_1 in mathbb{R}} = {(3d_1, 0) mid d_1 in mathbb{R}} = {(y, 0) mid y in mathbb{R}}$。这同样是一个由 $(1, 0)$ 张成的直线，维度是 1。
3. 判断向量组的等价性：
向量组 $A$ 中的向量能否由向量组 $B$ 线性表示？
$v_1 = (1, 0)$。我们知道 $(1, 0) = frac{1}{3} (3, 0) = frac{1}{3} w_1$。所以 $v_1$ 可以由 $w_1$ 线性表示。
$v_2 = (2, 0)$。我们知道 $(2, 0) = frac{2}{3} (3, 0) = frac{2}{3} w_1$。所以 $v_2$ 可以由 $w_1$ 线性表示。
第一个条件满足。
向量组 $B$ 中的向量能否由向量组 $A$ 线性表示？
$w_1 = (3, 0)$。我们知道 $(3, 0) = 3 cdot (1, 0) = 3 v_1$。所以 $w_1$ 可以由 $v_1$ 线性表示。
第二个条件满足。
因为两个条件都满足，所以向量组 $A$ 和 $B$ 是等价的。
4. 比较秩：
我们发现 $rank(A) = 1$ 且 $rank(B) = 1$。它们的秩是相等的，这与我们的论证一致。
更进一步的理解：
基向量 (Basis): 如果一个向量组是其张成子空间的基，那么它的向量个数就等于子空间的维数。如果两个向量组等价，意味着它们张成的子空间相同，而这个子空间必然存在一个基。这个基的向量个数就是子空间的维数。虽然向量组本身不一定是基，但它们所张成的子空间的维数是确定的，并且这个维数就是向量组的秩。
行阶梯形矩阵 (Row Echelon Form): 在处理矩阵时，我们经常通过初等行变换来化简矩阵。初等行变换不会改变矩阵的行向量组（或列向量组）所张成的子空间。因此，一个矩阵的秩也等于其行阶梯形矩阵中非零行的个数。如果两个向量组等价，它们可以通过一系列线性组合相互表示，这在矩阵的角度来看，也意味着它们能通过某些操作（例如矩阵乘法）相互转换或产生相同的子空间。
总结：
向量组等价意味着它们张成的子空间是同一个子空间。而向量组的秩的定义就是它所张成子空间的维数。既然张成的子空间相同，那么它们的维数也必然相同，因此它们的秩也必然相等。这是一个非常直接且重要的推论。
首先，我们来明确几个概念：
向量组 (Vector Group/Set of Vectors): 指的是一组向量的集合，例如 ${v_1, v_2, dots, v_m}$。
向量组的秩 (Rank of a Vector Group): 一个向量组的秩定义为其线性无关向量的最大个数。更具体地说，它是这个向量组所张成的子空间的维数。或者说，它是构成该向量组的向量可以表示为线性组合的独立分量（基向量）的最大数量。
向量组等价 (Equivalent Vector Groups): 如果两个向量组，记作 $A = {a_1, a_2, dots, a_m}$ 和 $B = {b_1, b_2, dots, b_n}$，满足以下两个条件，那么我们说它们是等价的：
1. 向量组 $A$ 中的每一个向量都可以由向量组 $B$ 中的向量线性表示。
2. 向量组 $B$ 中的每一个向量都可以由向量组 $A$ 中的向量线性表示。
现在，我们来论证为什么向量组等价时其秩一定相等：
等价性定义中的两个条件，实际上是在描述这两个向量组所张成的子空间是同一个子空间。
让我们用更严谨的语言来描述：
令向量组 $A = {a_1, a_2, dots, a_m}$，令向量组 $B = {b_1, b_2, dots, b_n}$。
向量组 $A$ 张成的子空间记作 $Span(A) = {c_1 a_1 + c_2 a_2 + dots + c_m a_m mid c_i in mathbb{R}}$。
向量组 $B$ 张成的子空间记作 $Span(B) = {d_1 b_1 + d_2 b_2 + dots + d_n b_n mid d_i in mathbb{R}}$。
向量组等价的定义可以理解为：
1. 对任意 $a_i in A$，存在系数 $k_{ij}$ 使得 $a_i = sum_{j=1}^n k_{ij} b_j$。 这意味着 $A$ 中的每个向量都在 $Span(B)$ 中，因此 $Span(A) subseteq Span(B)$。
2. 对任意 $b_j in B$，存在系数 $l_{ji}$ 使得 $b_j = sum_{i=1}^m l_{ji} a_i$。 这意味着 $B$ 中的每个向量都在 $Span(A)$ 中，因此 $Span(B) subseteq Span(A)$。
结合这两个条件，$Span(A) subseteq Span(B)$ 和 $Span(B) subseteq Span(A)$ 意味着 $Span(A) = Span(B)$。
秩的定义与张成的子空间的关系：
向量组的秩就是它所张成子空间的维数。
向量组 $A$ 的秩，记作 $rank(A)$，就是 $dim(Span(A))$。
向量组 $B$ 的秩，记作 $rank(B)$，就是 $dim(Span(B))$。
核心论证：
既然我们已经证明了向量组等价意味着它们的张成的子空间是同一个子空间，即 $Span(A) = Span(B)$，那么它们的维数必然相等。
所以，
$rank(A) = dim(Span(A))$
$rank(B) = dim(Span(B))$
因为 $Span(A) = Span(B)$，所以 $dim(Span(A)) = dim(Span(B))$。
最终结论：
$rank(A) = rank(B)$
举例说明：
假设我们有两个向量组：
$A = {v_1, v_2} = {(1, 0), (2, 0)}$
$B = {w_1} = {(3, 0)}$
我们来判断它们是否等价，以及它们的秩：
1. 向量组 $A$ 的秩：
$v_1 = (1, 0)$
$v_2 = (2, 0) = 2 cdot v_1$
$v_2$ 可以由 $v_1$ 线性表示，所以向量组 ${v_1, v_2}$ 是线性相关的。
向量组的秩是其线性无关向量的最大个数。显然，$v_1$ 是线性无关的，而 $v_2$ 依赖于 $v_1$。
因此，$rank(A) = 1$。
$Span(A) = {c_1(1, 0) + c_2(2, 0) mid c_1, c_2 in mathbb{R}} = {(c_1+2c_2, 0) mid c_1, c_2 in mathbb{R}} = {(x, 0) mid x in mathbb{R}}$。这是一个由 $(1, 0)$ 张成的直线，维度是 1。
2. 向量组 $B$ 的秩：
$B = {(3, 0)}$
向量组 ${w_1}$ 是一个非零向量，它是线性无关的。
因此，$rank(B) = 1$。
$Span(B) = {d_1(3, 0) mid d_1 in mathbb{R}} = {(3d_1, 0) mid d_1 in mathbb{R}} = {(y, 0) mid y in mathbb{R}}$。这同样是一个由 $(1, 0)$ 张成的直线，维度是 1。
3. 判断向量组的等价性：
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第一个条件满足。
向量组 $B$ 中的向量能否由向量组 $A$ 线性表示？
$w_1 = (3, 0)$。我们知道 $(3, 0) = 3 cdot (1, 0) = 3 v_1$。所以 $w_1$ 可以由 $v_1$ 线性表示。
第二个条件满足。
因为两个条件都满足，所以向量组 $A$ 和 $B$ 是等价的。
4. 比较秩：
我们发现 $rank(A) = 1$ 且 $rank(B) = 1$。它们的秩是相等的，这与我们的论证一致。
更进一步的理解：
基向量 (Basis): 如果一个向量组是其张成子空间的基，那么它的向量个数就等于子空间的维数。如果两个向量组等价，意味着它们张成的子空间相同，而这个子空间必然存在一个基。这个基的向量个数就是子空间的维数。虽然向量组本身不一定是基，但它们所张成的子空间的维数是确定的，并且这个维数就是向量组的秩。
行阶梯形矩阵 (Row Echelon Form): 在处理矩阵时，我们经常通过初等行变换来化简矩阵。初等行变换不会改变矩阵的行向量组（或列向量组）所张成的子空间。因此，一个矩阵的秩也等于其行阶梯形矩阵中非零行的个数。如果两个向量组等价，它们可以通过一系列线性组合相互表示，这在矩阵的角度来看，也意味着它们能通过某些操作（例如矩阵乘法）相互转换或产生相同的子空间。
总结：
向量组等价意味着它们张成的子空间是同一个子空间。而向量组的秩的定义就是它所张成子空间的维数。既然张成的子空间相同，那么它们的维数也必然相同，因此它们的秩也必然相等。这是一个非常直接且重要的推论。
网友意见
引理 向量组A可以被向量组B线性表出，则rank(A)<=rank(B).
显然。
而若向量组A与向量组B等价，即A与B可以相互线性表出。由引理有，
r(A)<=r(B)
r(A)>=r(B)
即
r(A)=r(B)
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