为什么秩为1的矩阵可以写成1列乘1行的情形呢？
这是一个非常好的问题，它触及了线性代数中关于矩阵秩的核心概念。简单来说，秩为1的矩阵之所以可以写成一个列向量乘以一个行向量的形式，是因为它的所有行（或所有列）都只是第一个行（或第一个列）向量的倍数，也就是说，它们都具有相同的“方向”，只是尺度不同。
下面我们来详细解释这个过程：
1. 矩阵的秩（Rank）是什么？
在深入探讨秩为1的矩阵之前，我们首先需要理解矩阵的秩。矩阵的秩可以从几个不同的角度来理解，但最直观和与我们今天讨论相关的是：
行秩 (Row Rank)： 矩阵中线性无关的行向量的最大个数。
列秩 (Column Rank)： 矩阵中线性无关的列向量的最大个数。
一个重要的定理告诉我们：任何矩阵的行秩等于它的列秩。 这个共同的数值就称为矩阵的秩。
2. 秩为1的矩阵的定义
如果一个矩阵 A 的秩为 1，这意味着：
它的所有行向量都不是线性无关的，最多只有一个行向量（乘以非零常数）可以“生成”其他的行向量。
它的所有列向量也不是线性无关的，最多只有一个列向量（乘以非零常数）可以“生成”其他的列向量。
换句话说，对于一个秩为1的矩阵 A，存在一个非零行向量 $u$ 和一个非零列向量 $v$，使得 A 的所有行向量都是 $u$ 的倍数，并且 A 的所有列向量都是 $v$ 的倍数。
3. 秩为1的矩阵与向量乘法
现在我们来连接秩为1和“一列乘一行”的形式。
考虑一个 $m imes n$ 的矩阵 A：
$$
A = egin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{pmatrix}
$$
它的第 $i$ 行可以表示为一个行向量 $r_i = egin{pmatrix} a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} end{pmatrix}$。
它的第 $j$ 列可以表示为一个列向量 $c_j = egin{pmatrix} a_{1j} \ a_{2j} \ vdots \ a_{mj} end{pmatrix}$。
如果矩阵 A 的秩为 1，那么意味着它的所有行向量（$r_1, r_2, dots, r_m$）都是线性相关的。更具体地说，存在一个非零的行向量 $u = egin{pmatrix} u_1 & u_2 & cdots & u_n end{pmatrix}$，使得矩阵 A 的每一行都是 $u$ 的一个标量倍数。
$$
r_1 = alpha_1 u \
r_2 = alpha_2 u \
vdots \
r_m = alpha_m u
$$
其中 $alpha_1, alpha_2, dots, alpha_m$ 是标量。
我们将这些行向量组合起来写成矩阵 A：
$$
A = egin{pmatrix}
alpha_1 u \
alpha_2 u \
vdots \
alpha_m u
end{pmatrix}
$$
这正是将矩阵的每一行表示为行向量 $u$ 的倍数。
现在，让我们考虑将这些标量 $alpha_i$ 提取出来，与 $u$ 相乘。我们可以定义一个新的列向量 $v$：
$$
v = egin{pmatrix}
alpha_1 \
alpha_2 \
vdots \
alpha_m
end{pmatrix}
$$
那么，矩阵 A 就可以写成列向量 $v$ 乘以行向量 $u$ 的形式：
$$
v u = egin{pmatrix}
alpha_1 \
alpha_2 \
vdots \
alpha_m
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
u_1 & u_2 & cdots & u_n
end{pmatrix}
$$
让我们展开这个向量乘法，看看它是否等于矩阵 A：
$$
v u = egin{pmatrix}
alpha_1 u_1 & alpha_1 u_2 & cdots & alpha_1 u_n \
alpha_2 u_1 & alpha_2 u_2 & cdots & alpha_2 u_n \
vdots & vdots & ddots & vdots \
alpha_m u_1 & alpha_m u_2 & cdots & alpha_m u_n
end{pmatrix}
$$
这正是矩阵 A 的元素 $a_{ij} = alpha_i u_j$。
所以，秩为1的矩阵可以写成一个列向量乘以一个行向量的形式，是因为其所有的行向量都是一个公共的非零行向量的倍数。
4. 为什么是“一列乘一行”？为什么不是“一行乘一列”？
这涉及到向量乘法的定义和矩阵的维度。
列向量 (m x 1) 乘以 行向量 (1 x n) 的结果是 一个 m x n 的矩阵。 这是我们上面展示的过程。
行向量 (1 x n) 乘以 列向量 (m x 1) 的结果是一个 1 x 1 的矩阵（一个标量）。 例如：
$$
egin{pmatrix} u_1 & u_2 & cdots & u_n end{pmatrix}
egin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ vdots \ v_n end{pmatrix}
= u_1v_1 + u_2v_2 + dots + u_nv_n
$$
这个结果显然不是一个 $m imes n$ 的矩阵（除非 $m=1, n=1$）。
所以，为了得到一个 $m imes n$ 的矩阵，我们必须用一个 $m imes 1$ 的列向量去乘以一个 $1 imes n$ 的行向量。
5. 举例说明
考虑矩阵：
$$
A = egin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \
3 & 6 & 9 \
1 & 2 & 3
end{pmatrix}
$$
我们来检查它的秩。
观察第一行：$r_1 = egin{pmatrix} 2 & 4 & 6 end{pmatrix}$。
第二行：$r_2 = egin{pmatrix} 3 & 6 & 9 end{pmatrix} = frac{3}{2} egin{pmatrix} 2 & 4 & 6 end{pmatrix} = frac{3}{2} r_1$。
第三行：$r_3 = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 end{pmatrix} = frac{1}{2} egin{pmatrix} 2 & 4 & 6 end{pmatrix} = frac{1}{2} r_1$。
所有行都是第一个行向量的倍数。因此，这三个行向量是线性相关的。事实上，这个矩阵只有一个线性无关的行向量（例如 $r_1$），所以秩为 1。
现在，我们可以尝试将其写成“一列乘一行”的形式。
我们可以选择 $u = egin{pmatrix} 2 & 4 & 6 end{pmatrix}$。
那么，我们需要找到一个列向量 $v$ 使得 $A = vu$。
从上面的关系可知，$alpha_1 = 1$, $alpha_2 = frac{3}{2}$, $alpha_3 = frac{1}{2}$。
所以，列向量 $v = egin{pmatrix} 1 \ frac{3}{2} \ frac{1}{2} end{pmatrix}$。
进行验证：
$$
v u = egin{pmatrix}
1 \
frac{3}{2} \
frac{1}{2}
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
2 & 4 & 6
end{pmatrix}
= egin{pmatrix}
1 imes 2 & 1 imes 4 & 1 imes 6 \
frac{3}{2} imes 2 & frac{3}{2} imes 4 & frac{3}{2} imes 6 \
frac{1}{2} imes 2 & frac{1}{2} imes 4 & frac{1}{2} imes 6
end{pmatrix}
= egin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \
3 & 6 & 9 \
1 & 2 & 3
end{pmatrix}
$$
这正是矩阵 A。
我们也可以选择其他的非零行向量 $u$ 来表示 A。
例如，我们可以选择 $u' = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 end{pmatrix}$（这是 $r_1$ 的 $frac{1}{2}$ 倍）。
那么，我们需要的列向量 $v'$ 会是多少呢？
如果 $u' = frac{1}{2} u$，那么要使 $A = v' u'$ 成立，我们需要 $v' = 2v$。
所以，$v' = 2 egin{pmatrix} 1 \ frac{3}{2} \ frac{1}{2} end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 \ 3 \ 1 end{pmatrix}$。
验证：
$$
v' u' = egin{pmatrix}
2 \
3 \
1
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
1 & 2 & 3
end{pmatrix}
= egin{pmatrix}
2 imes 1 & 2 imes 2 & 2 imes 3 \
3 imes 1 & 3 imes 2 & 3 imes 3 \
1 imes 1 & 1 imes 2 & 1 imes 3
end{pmatrix}
= egin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \
3 & 6 & 9 \
1 & 2 & 3
end{pmatrix}
$$
这同样是矩阵 A。
6. 更深入的理解：矩阵作为线性变换
矩阵可以被看作是作用在向量上的线性变换。秩为 1 的矩阵代表一个非常特殊的线性变换：
它将所有的输入向量都映射到一个一维的子空间（由列向量 $v$ 张成）中。
所有输入向量的输出结果，都是由某个固定方向（由 $u$ 定义）的向量乘以一个标量得到的。这个标量取决于原始向量在“方向 $u$”上的投影。
7. 总结
秩为 1 的矩阵，其本质是所有行向量（或列向量）都共享相同的“方向”，只是尺度不同。这种“单一方向性”使得矩阵可以被分解成一个列向量和一个行向量的乘积。这个列向量定义了输出向量的“方向”，而行向量定义了输入向量“沿着哪个方向”被投影以及投影后的“伸缩因子”。
所以，秩为1的矩阵之所以可以写成一个列向量乘以一个行向量的形式，是因为矩阵的行（或列）之间的线性相关性极强，仅由一个基础的非零行向量（或列向量）就能生成矩阵的所有行（或列）。
下面我们来详细解释这个过程：
1. 矩阵的秩（Rank）是什么？
在深入探讨秩为1的矩阵之前，我们首先需要理解矩阵的秩。矩阵的秩可以从几个不同的角度来理解，但最直观和与我们今天讨论相关的是：
行秩 (Row Rank)： 矩阵中线性无关的行向量的最大个数。
列秩 (Column Rank)： 矩阵中线性无关的列向量的最大个数。
一个重要的定理告诉我们：任何矩阵的行秩等于它的列秩。 这个共同的数值就称为矩阵的秩。
2. 秩为1的矩阵的定义
如果一个矩阵 A 的秩为 1，这意味着：
它的所有行向量都不是线性无关的，最多只有一个行向量（乘以非零常数）可以“生成”其他的行向量。
它的所有列向量也不是线性无关的，最多只有一个列向量（乘以非零常数）可以“生成”其他的列向量。
换句话说，对于一个秩为1的矩阵 A，存在一个非零行向量 $u$ 和一个非零列向量 $v$，使得 A 的所有行向量都是 $u$ 的倍数，并且 A 的所有列向量都是 $v$ 的倍数。
3. 秩为1的矩阵与向量乘法
现在我们来连接秩为1和“一列乘一行”的形式。
考虑一个 $m imes n$ 的矩阵 A：
$$
A = egin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{pmatrix}
$$
它的第 $i$ 行可以表示为一个行向量 $r_i = egin{pmatrix} a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} end{pmatrix}$。
它的第 $j$ 列可以表示为一个列向量 $c_j = egin{pmatrix} a_{1j} \ a_{2j} \ vdots \ a_{mj} end{pmatrix}$。
如果矩阵 A 的秩为 1，那么意味着它的所有行向量（$r_1, r_2, dots, r_m$）都是线性相关的。更具体地说，存在一个非零的行向量 $u = egin{pmatrix} u_1 & u_2 & cdots & u_n end{pmatrix}$，使得矩阵 A 的每一行都是 $u$ 的一个标量倍数。
$$
r_1 = alpha_1 u \
r_2 = alpha_2 u \
vdots \
r_m = alpha_m u
$$
其中 $alpha_1, alpha_2, dots, alpha_m$ 是标量。
我们将这些行向量组合起来写成矩阵 A：
$$
A = egin{pmatrix}
alpha_1 u \
alpha_2 u \
vdots \
alpha_m u
end{pmatrix}
$$
这正是将矩阵的每一行表示为行向量 $u$ 的倍数。
现在，让我们考虑将这些标量 $alpha_i$ 提取出来，与 $u$ 相乘。我们可以定义一个新的列向量 $v$：
$$
v = egin{pmatrix}
alpha_1 \
alpha_2 \
vdots \
alpha_m
end{pmatrix}
$$
那么，矩阵 A 就可以写成列向量 $v$ 乘以行向量 $u$ 的形式：
$$
v u = egin{pmatrix}
alpha_1 \
alpha_2 \
vdots \
alpha_m
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
u_1 & u_2 & cdots & u_n
end{pmatrix}
$$
让我们展开这个向量乘法，看看它是否等于矩阵 A：
$$
v u = egin{pmatrix}
alpha_1 u_1 & alpha_1 u_2 & cdots & alpha_1 u_n \
alpha_2 u_1 & alpha_2 u_2 & cdots & alpha_2 u_n \
vdots & vdots & ddots & vdots \
alpha_m u_1 & alpha_m u_2 & cdots & alpha_m u_n
end{pmatrix}
$$
这正是矩阵 A 的元素 $a_{ij} = alpha_i u_j$。
所以，秩为1的矩阵可以写成一个列向量乘以一个行向量的形式，是因为其所有的行向量都是一个公共的非零行向量的倍数。
4. 为什么是“一列乘一行”？为什么不是“一行乘一列”？
这涉及到向量乘法的定义和矩阵的维度。
列向量 (m x 1) 乘以 行向量 (1 x n) 的结果是 一个 m x n 的矩阵。 这是我们上面展示的过程。
行向量 (1 x n) 乘以 列向量 (m x 1) 的结果是一个 1 x 1 的矩阵（一个标量）。 例如：
$$
egin{pmatrix} u_1 & u_2 & cdots & u_n end{pmatrix}
egin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ vdots \ v_n end{pmatrix}
= u_1v_1 + u_2v_2 + dots + u_nv_n
$$
这个结果显然不是一个 $m imes n$ 的矩阵（除非 $m=1, n=1$）。
所以，为了得到一个 $m imes n$ 的矩阵，我们必须用一个 $m imes 1$ 的列向量去乘以一个 $1 imes n$ 的行向量。
5. 举例说明
考虑矩阵：
$$
A = egin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \
3 & 6 & 9 \
1 & 2 & 3
end{pmatrix}
$$
我们来检查它的秩。
观察第一行：$r_1 = egin{pmatrix} 2 & 4 & 6 end{pmatrix}$。
第二行：$r_2 = egin{pmatrix} 3 & 6 & 9 end{pmatrix} = frac{3}{2} egin{pmatrix} 2 & 4 & 6 end{pmatrix} = frac{3}{2} r_1$。
第三行：$r_3 = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 end{pmatrix} = frac{1}{2} egin{pmatrix} 2 & 4 & 6 end{pmatrix} = frac{1}{2} r_1$。
所有行都是第一个行向量的倍数。因此，这三个行向量是线性相关的。事实上，这个矩阵只有一个线性无关的行向量（例如 $r_1$），所以秩为 1。
现在，我们可以尝试将其写成“一列乘一行”的形式。
我们可以选择 $u = egin{pmatrix} 2 & 4 & 6 end{pmatrix}$。
那么，我们需要找到一个列向量 $v$ 使得 $A = vu$。
从上面的关系可知，$alpha_1 = 1$, $alpha_2 = frac{3}{2}$, $alpha_3 = frac{1}{2}$。
所以，列向量 $v = egin{pmatrix} 1 \ frac{3}{2} \ frac{1}{2} end{pmatrix}$。
进行验证：
$$
v u = egin{pmatrix}
1 \
frac{3}{2} \
frac{1}{2}
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
2 & 4 & 6
end{pmatrix}
= egin{pmatrix}
1 imes 2 & 1 imes 4 & 1 imes 6 \
frac{3}{2} imes 2 & frac{3}{2} imes 4 & frac{3}{2} imes 6 \
frac{1}{2} imes 2 & frac{1}{2} imes 4 & frac{1}{2} imes 6
end{pmatrix}
= egin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \
3 & 6 & 9 \
1 & 2 & 3
end{pmatrix}
$$
这正是矩阵 A。
我们也可以选择其他的非零行向量 $u$ 来表示 A。
例如，我们可以选择 $u' = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 end{pmatrix}$（这是 $r_1$ 的 $frac{1}{2}$ 倍）。
那么，我们需要的列向量 $v'$ 会是多少呢？
如果 $u' = frac{1}{2} u$，那么要使 $A = v' u'$ 成立，我们需要 $v' = 2v$。
所以，$v' = 2 egin{pmatrix} 1 \ frac{3}{2} \ frac{1}{2} end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 \ 3 \ 1 end{pmatrix}$。
验证：
$$
v' u' = egin{pmatrix}
2 \
3 \
1
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
1 & 2 & 3
end{pmatrix}
= egin{pmatrix}
2 imes 1 & 2 imes 2 & 2 imes 3 \
3 imes 1 & 3 imes 2 & 3 imes 3 \
1 imes 1 & 1 imes 2 & 1 imes 3
end{pmatrix}
= egin{pmatrix}
2 & 4 & 6 \
3 & 6 & 9 \
1 & 2 & 3
end{pmatrix}
$$
这同样是矩阵 A。
6. 更深入的理解：矩阵作为线性变换
矩阵可以被看作是作用在向量上的线性变换。秩为 1 的矩阵代表一个非常特殊的线性变换：
它将所有的输入向量都映射到一个一维的子空间（由列向量 $v$ 张成）中。
所有输入向量的输出结果，都是由某个固定方向（由 $u$ 定义）的向量乘以一个标量得到的。这个标量取决于原始向量在“方向 $u$”上的投影。
7. 总结
秩为 1 的矩阵，其本质是所有行向量（或列向量）都共享相同的“方向”，只是尺度不同。这种“单一方向性”使得矩阵可以被分解成一个列向量和一个行向量的乘积。这个列向量定义了输出向量的“方向”，而行向量定义了输入向量“沿着哪个方向”被投影以及投影后的“伸缩因子”。
所以，秩为1的矩阵之所以可以写成一个列向量乘以一个行向量的形式，是因为矩阵的行（或列）之间的线性相关性极强，仅由一个基础的非零行向量（或列向量）就能生成矩阵的所有行（或列）。
网友意见
设矩阵 ，其中 是 对角化后的矩阵. 因 ，故 的非零元素只存在于：
令 必有
代入初始矩阵方程
于是 可以被新的向量 与 表示.
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