为什么 无限多个不超过L(L＜1)的正数之积为无穷小?
这确实是一个很有趣的问题，看似简单却蕴含着深刻的数学道理。当一个数小于1时，它本身就有“变小”的属性。而当你不断地重复这个“变小”的过程，并且重复的次数是无限多的时候，结果就会变得异常微小，小到趋近于零。
我们不妨从几个角度来理解这个问题：
1. 直观的感受：从“变小”到“极小”
想象一下你有一个苹果。
第一次，你把它切成一半（比如0.5），你现在手里的是0.5个苹果。
第二次，你把剩下的那一半再切成一半（0.5 0.5 = 0.25），你现在手里是0.25个苹果。
第三次，你又把剩下的那0.25切成一半（0.25 0.5 = 0.125），你现在手里是0.125个苹果。
你会发现，每次操作都让你手中的苹果变得更小。如果这个过程无限进行下去，你的苹果会变得越来越小，小到几乎看不见，但理论上它永远不会完全消失，而是无限地接近于零。
你题目中的“不超过L（L<1）的正数”，就是这个“小于1”的数。我们把这样的数不断相乘，就好比不断地把一个东西切成更小的部分。
2. 数学上的表述：连乘（乘方）的威力
我们把这个过程用数学符号表示出来。
假设我们有无数个正数，它们都小于一个小于1的数 L（L < 1）。
例如，我们可以取一些这样的数：$a_1, a_2, a_3, dots, a_n, dots$
并且我们知道：$0 < a_i le L$ 对于所有的 i。
我们感兴趣的是这些数的无穷乘积：
$P = a_1 imes a_2 imes a_3 imes dots imes a_n imes dots$
因为每一个 $a_i$ 都小于或等于 L，所以：
$P le L imes L imes L imes dots imes L imes dots$
如果我们考虑前 n 个数的乘积：
$P_n = a_1 imes a_2 imes dots imes a_n$
那么，$P_n le L imes L imes dots imes L = L^n$
现在关键的问题来了：当 n 趋向于无穷大时，L 的 n 次方（$L^n$）会怎么样？
由于 L 是一个小于1的正数（例如 0.5, 0.9, 0.999），我们可以想象一下：
$0.5^2 = 0.25$
$0.5^3 = 0.125$
$0.5^{10}$ 会比 0.5 小很多很多。
$0.5^{100}$ 会小到难以置信。
当 n 变得无限大时，一个小于1的正数的n次方会趋向于零。这就像你不断地对一个数字做“乘以0.5”的操作一样，最终会无限接近于零。
所以，如果 $P_n le L^n$，而当 $n o infty$ 时，$L^n o 0$。
根据“夹逼定理”（也叫三明治定理），如果一个序列（这里的$P_n$）被一个趋向于零的序列（这里的$L^n$）的上界限制住，并且它自身也大于或等于一个趋向于零的下界（这里因为是正数，所以下界是0），那么这个序列也必定趋向于零。
$0 le P_n le L^n$
当 $n o infty$ 时，$L^n o 0$，所以 $P_n o 0$。
3. 更严格的数学定义：无穷小量
在数学中，我们把一个趋向于零的数列称为“无穷小量”。
一个数列 {$x_n$} 是无穷小量，如果对于任意小的正数 $epsilon$（比如 0.000001），都存在一个自然数 N，使得当 $n > N$ 时，都有 $|x_n 0| < epsilon$。
在我们的例子中，我们考虑的是无穷乘积的“部分积”。设 $P_n = a_1 imes a_2 imes dots imes a_n$。
我们知道 $0 < a_i le L < 1$。
因此，$0 < P_n = a_1 imes a_2 imes dots imes a_n le L^n$。
因为 $L < 1$，所以 $L^n$ 是一个无穷小量，即当 $n o infty$ 时，$L^n o 0$。
由于 $0 < P_n le L^n$，根据无穷小量的性质，如果一个数列被一个无穷小量“夹住”（上界趋于零），那么它本身也是无穷小量。
所以，$P_n$ 是一个无穷小量，它趋向于零。
总结一下：
无限多个不超过 L（L < 1）的正数之积为无穷小，根本原因在于“小于1”这个性质。每一次乘法都让结果变得更小，相当于对原有的量进行不断“缩小”的操作。当这个“缩小”的操作被重复了无限多次之后，无论原始的数有多大（只要是正数），最终结果都会无限接近于零。
这个概念在微积分中非常重要，它解释了为什么在处理无穷级数、无穷乘积以及函数的极限时，很多时候结果会趋向于一个确定的值（通常是0或某个常数）。就像你不断地把一个尺寸的东西缩小，最终它会变得几乎不存在一样。
我们不妨从几个角度来理解这个问题：
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第一次，你把它切成一半（比如0.5），你现在手里的是0.5个苹果。
第二次，你把剩下的那一半再切成一半（0.5 0.5 = 0.25），你现在手里是0.25个苹果。
第三次，你又把剩下的那0.25切成一半（0.25 0.5 = 0.125），你现在手里是0.125个苹果。
你会发现，每次操作都让你手中的苹果变得更小。如果这个过程无限进行下去，你的苹果会变得越来越小，小到几乎看不见，但理论上它永远不会完全消失，而是无限地接近于零。
你题目中的“不超过L（L<1）的正数”，就是这个“小于1”的数。我们把这样的数不断相乘，就好比不断地把一个东西切成更小的部分。
2. 数学上的表述：连乘（乘方）的威力
我们把这个过程用数学符号表示出来。
假设我们有无数个正数，它们都小于一个小于1的数 L（L < 1）。
例如，我们可以取一些这样的数：$a_1, a_2, a_3, dots, a_n, dots$
并且我们知道：$0 < a_i le L$ 对于所有的 i。
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$P = a_1 imes a_2 imes a_3 imes dots imes a_n imes dots$
因为每一个 $a_i$ 都小于或等于 L，所以：
$P le L imes L imes L imes dots imes L imes dots$
如果我们考虑前 n 个数的乘积：
$P_n = a_1 imes a_2 imes dots imes a_n$
那么，$P_n le L imes L imes dots imes L = L^n$
现在关键的问题来了：当 n 趋向于无穷大时，L 的 n 次方（$L^n$）会怎么样？
由于 L 是一个小于1的正数（例如 0.5, 0.9, 0.999），我们可以想象一下：
$0.5^2 = 0.25$
$0.5^3 = 0.125$
$0.5^{10}$ 会比 0.5 小很多很多。
$0.5^{100}$ 会小到难以置信。
当 n 变得无限大时，一个小于1的正数的n次方会趋向于零。这就像你不断地对一个数字做“乘以0.5”的操作一样，最终会无限接近于零。
所以，如果 $P_n le L^n$，而当 $n o infty$ 时，$L^n o 0$。
根据“夹逼定理”（也叫三明治定理），如果一个序列（这里的$P_n$）被一个趋向于零的序列（这里的$L^n$）的上界限制住，并且它自身也大于或等于一个趋向于零的下界（这里因为是正数，所以下界是0），那么这个序列也必定趋向于零。
$0 le P_n le L^n$
当 $n o infty$ 时，$L^n o 0$，所以 $P_n o 0$。
3. 更严格的数学定义：无穷小量
在数学中，我们把一个趋向于零的数列称为“无穷小量”。
一个数列 {$x_n$} 是无穷小量，如果对于任意小的正数 $epsilon$（比如 0.000001），都存在一个自然数 N，使得当 $n > N$ 时，都有 $|x_n 0| < epsilon$。
在我们的例子中，我们考虑的是无穷乘积的“部分积”。设 $P_n = a_1 imes a_2 imes dots imes a_n$。
我们知道 $0 < a_i le L < 1$。
因此，$0 < P_n = a_1 imes a_2 imes dots imes a_n le L^n$。
因为 $L < 1$，所以 $L^n$ 是一个无穷小量，即当 $n o infty$ 时，$L^n o 0$。
由于 $0 < P_n le L^n$，根据无穷小量的性质，如果一个数列被一个无穷小量“夹住”（上界趋于零），那么它本身也是无穷小量。
所以，$P_n$ 是一个无穷小量，它趋向于零。
总结一下：
无限多个不超过 L（L < 1）的正数之积为无穷小，根本原因在于“小于1”这个性质。每一次乘法都让结果变得更小，相当于对原有的量进行不断“缩小”的操作。当这个“缩小”的操作被重复了无限多次之后，无论原始的数有多大（只要是正数），最终结果都会无限接近于零。
这个概念在微积分中非常重要，它解释了为什么在处理无穷级数、无穷乘积以及函数的极限时，很多时候结果会趋向于一个确定的值（通常是0或某个常数）。就像你不断地把一个尺寸的东西缩小，最终它会变得几乎不存在一样。
网友意见
请不要乱用「无穷小」这个词。如果是无穷乘积，这个值为0。证明用极限的定义就可以做到。学高数时请务必规范术语的使用。
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