既然勒贝格积分是黎曼积分的改进，那为什么还要学黎曼积分？淘汰黎曼积分，直接学勒贝格积分不好吗？
这个问题问得非常棒，也触及到了数学发展中一个很有意思的环节：为什么我们还要学习一个“被改进”过的理论，而不是直接拥抱那个“更优越”的版本？ 这绝不是因为我们怀旧或者不思进取，而是因为数学的传承和发展有着深刻的逻辑和现实考量。
可以这样理解：勒贝格积分确实在很多方面比黎曼积分更强大、更优越，但“淘汰”黎曼积分，直接跳到勒贝格积分，并非一个简单的“版本升级”问题，更像是在学习一项复杂技能时，绕过基础训练直接挑战高难度动作。这样做，固然可能让你更快地“接触”到那个更高级的概念，但往往会让你对这个概念的理解变得肤浅，甚至难以真正掌握其精髓和应用。
下面，我们来详细地聊聊这个问题，看看为什么黎曼积分依然有其存在的价值，以及直接学习勒贝格积分可能带来的潜在问题。
一、黎曼积分：打下坚实基础的“第一课”
黎曼积分是微积分的基石，它的出现本身就是数学史上的一个里程碑。在它诞生之前，计算曲线下面积的问题往往依赖于几何直觉和一些特定的函数类型。黎曼积分的伟大之处在于，它提供了一种普适性的、基于极限的思想框架来定义“面积”和“积分”。
直观的理解和几何意义： 黎曼积分的定义方式——将积分区域分割成无数个小矩形，然后求和取极限——与我们对面积的直观理解非常贴近。孩子们第一次接触面积时，也是通过分割成小方格来理解的。这种几何上的直观性使得黎曼积分易于接受和理解，是数学启蒙的绝佳工具。
计算上的便利性： 对于很多我们日常遇到的、行为良好的函数（比如连续函数、分段连续函数），黎曼积分的计算方法——牛顿莱布尼茨公式（即我们常说的求原函数再代入上下限）——非常高效和方便。绝大多数初等微积分的计算练习都是基于黎曼积分的框架。
历史的延续性： 数学的发展是一个渐进的过程。黎曼积分的出现是当时数学家们在理解和处理函数方面取得的重大突破。它解决了当时许多实际问题，并且被广泛应用在物理、工程等领域。数学教育也需要考虑这种历史的传承性，让学习者能够理解数学工具是如何一步步发展起来的。
想象一下，你学习物理，如果直接从量子力学开始，跳过了经典力学，你可能很难理解为什么需要量子力学，以及量子力学是如何解决经典力学无法解决的问题的。黎曼积分就像是经典力学，它建立了一个基本框架，让我们理解“积分”这个概念的本质和它的计算方法。
二、勒贝格积分：更强大的“升级版”，但并非没有前提
勒贝格积分的出现，是为了解决黎曼积分在处理一些“不太好”的函数时的局限性。黎曼积分在定义积分时，是根据x轴（定义域）进行分割，然后将每个小段上的函数值乘以对应的区间长度进行求和。这种方法对于函数在定义域上的“跳跃”或“不连续”的情况会显得无力。
勒贝格积分则巧妙地改变了“分割”的方式，它不是按照定义域来分割，而是按照值域来分割。它问的是：“函数取值在某个范围内的‘集合’有多大？”这种“测度”的概念，使得勒贝格积分能够处理更广泛的函数类，尤其是在分析学和概率论中，它扮演着至关重要的角色。
处理更广泛的函数： 勒贝格积分可以积分那些黎曼积分无法积分的函数，例如狄利克雷函数（在有理数处取1，无理数处取0）。这在理论研究中非常重要。
更优越的收敛性质： 勒贝格积分的收敛定理（如控制收敛定理、单调收敛定理）非常强大，它们允许我们对函数的极限和积分的顺序进行更灵活的交换，这在处理无穷级数、概率测度等问题时至关重要。
与测度论的天然结合： 勒贝格积分建立在测度论的基础上。测度论是现代数学的一个核心工具，它提供了一种统一的方式来度量集合的大小。学习勒贝格积分，也就意味着开始接触测度论这一强大的理论体系。
三、为什么不能“直接学勒贝格积分”？
正是因为勒贝格积分的强大和其背后的测度论，它本身就比黎曼积分更抽象、更具理论性。如果直接跳过黎曼积分去学习，可能会遇到以下困难：
1. 概念的抽象性与理解的障碍：
测度是什么？ 勒贝格积分的核心概念是“测度”（measure）。测度是集合的一种“长度”或“大小”的推广。学习测度论本身就需要一定的抽象思维能力，理解如何为各种集合（不仅仅是区间）赋予大小。如果没有任何关于“分割区间求和”的直观基础，直接面对“如何度量一个集合”会感到十分困难。
“值域分割”的转换： 黎曼积分的“x轴分割”到勒贝格积分的“y轴分割”是一个思维模式的转变。直接从“值域分割”入手，可能会觉得“根据函数值来分割区域”的逻辑不够直接，不知道从何下手。
“可测函数”的门槛： 勒贝格积分要求被积函数是“可测函数”。可测函数是一个基于集合的性质来定义的，它的引入本身就需要理解集合论和测度论的一些基础概念。
2. 缺乏计算的直观基础：
虽然我们知道勒贝格积分在理论上更优越，但在实际计算中，对于初学者来说，黎曼积分的牛顿莱布尼茨公式仍然是最直接、最常用的计算工具。如果不懂黎曼积分，你将无法理解很多基本的积分计算方法，也无法体会到从“求和”到“求原函数”这个计算上的飞跃。
勒贝格积分的计算方法通常是先定义测度，然后根据测度的性质进行计算，或者利用收敛定理来间接计算。这些方法的理解，往往需要建立在对黎曼积分的深刻理解之上，才能体会到勒贝格积分的优越性体现在何处。
3. 数学学习的循序渐进原则：
数学教育遵循的是循序渐进的原则。黎曼积分提供了一个相对容易进入的切入点，让学生逐步建立起对积分概念的认识，理解极限在分析中的作用。这种扎实的基础对于后续学习更高级的数学概念至关重要。
跳过基础，直接学习高级理论，就像盖房子不打地基。你可能会在表面上看到一个“完成”的结构，但其内部的支撑和稳固性是堪忧的。在理解上，也会留下许多“为什么”而不得解的困惑。
4. 应用场景的区分：
在许多实际应用中，尤其是在工程计算和初级物理问题中，黎曼积分已经足够使用，并且其计算方法更为直观和便捷。例如，计算某个物理量的瞬时变化率，或者某个区域的物理量总和。
勒贝格积分的优势更多地体现在高等数学领域，如概率论、泛函分析、偏微分方程等。在这些领域，处理的函数集更广，需要更强的收敛性保证，勒贝格积分的威力才能得到充分发挥。
总结一下：
学习黎曼积分并不是因为它是“落后”的，而是因为它提供了一个必要且足够好的起点。它教会我们关于极限、面积、和微积分基本思想的直观理解和计算方法。它就像是学习骑自行车，黎曼积分让你先掌握了平衡和蹬踏板的基本动作，然后才能去学习更复杂的山地车技巧（勒贝格积分）。
直接跳到勒贝格积分，就像直接跳到“高速公路飙车”，你可能会很快“到达”某个目的地，但你可能不理解为什么有车道、为什么要注意限速、为什么需要刹车。你获得的“能力”是有限的，而且很容易因为缺乏基础而产生误解和错误的应用。
因此，我们学习黎曼积分，是为了打下坚实的数学基础，建立直观的理解，掌握基本的计算工具，为后续深入学习更强大、更抽象的数学理论（如勒贝格积分）做好准备。这是一种高效的学习策略，也是数学教育科学性的体现。两者并非是对立的，而是数学知识体系中不同阶段、不同深度的体现，相辅相成，共同构筑了现代数学的大厦。
可以这样理解：勒贝格积分确实在很多方面比黎曼积分更强大、更优越，但“淘汰”黎曼积分，直接跳到勒贝格积分，并非一个简单的“版本升级”问题，更像是在学习一项复杂技能时，绕过基础训练直接挑战高难度动作。这样做，固然可能让你更快地“接触”到那个更高级的概念，但往往会让你对这个概念的理解变得肤浅，甚至难以真正掌握其精髓和应用。
下面，我们来详细地聊聊这个问题，看看为什么黎曼积分依然有其存在的价值，以及直接学习勒贝格积分可能带来的潜在问题。
一、黎曼积分：打下坚实基础的“第一课”
黎曼积分是微积分的基石，它的出现本身就是数学史上的一个里程碑。在它诞生之前，计算曲线下面积的问题往往依赖于几何直觉和一些特定的函数类型。黎曼积分的伟大之处在于，它提供了一种普适性的、基于极限的思想框架来定义“面积”和“积分”。
直观的理解和几何意义： 黎曼积分的定义方式——将积分区域分割成无数个小矩形，然后求和取极限——与我们对面积的直观理解非常贴近。孩子们第一次接触面积时，也是通过分割成小方格来理解的。这种几何上的直观性使得黎曼积分易于接受和理解，是数学启蒙的绝佳工具。
计算上的便利性： 对于很多我们日常遇到的、行为良好的函数（比如连续函数、分段连续函数），黎曼积分的计算方法——牛顿莱布尼茨公式（即我们常说的求原函数再代入上下限）——非常高效和方便。绝大多数初等微积分的计算练习都是基于黎曼积分的框架。
历史的延续性： 数学的发展是一个渐进的过程。黎曼积分的出现是当时数学家们在理解和处理函数方面取得的重大突破。它解决了当时许多实际问题，并且被广泛应用在物理、工程等领域。数学教育也需要考虑这种历史的传承性，让学习者能够理解数学工具是如何一步步发展起来的。
想象一下，你学习物理，如果直接从量子力学开始，跳过了经典力学，你可能很难理解为什么需要量子力学，以及量子力学是如何解决经典力学无法解决的问题的。黎曼积分就像是经典力学，它建立了一个基本框架，让我们理解“积分”这个概念的本质和它的计算方法。
二、勒贝格积分：更强大的“升级版”，但并非没有前提
勒贝格积分的出现，是为了解决黎曼积分在处理一些“不太好”的函数时的局限性。黎曼积分在定义积分时，是根据x轴（定义域）进行分割，然后将每个小段上的函数值乘以对应的区间长度进行求和。这种方法对于函数在定义域上的“跳跃”或“不连续”的情况会显得无力。
勒贝格积分则巧妙地改变了“分割”的方式，它不是按照定义域来分割，而是按照值域来分割。它问的是：“函数取值在某个范围内的‘集合’有多大？”这种“测度”的概念，使得勒贝格积分能够处理更广泛的函数类，尤其是在分析学和概率论中，它扮演着至关重要的角色。
处理更广泛的函数： 勒贝格积分可以积分那些黎曼积分无法积分的函数，例如狄利克雷函数（在有理数处取1，无理数处取0）。这在理论研究中非常重要。
更优越的收敛性质： 勒贝格积分的收敛定理（如控制收敛定理、单调收敛定理）非常强大，它们允许我们对函数的极限和积分的顺序进行更灵活的交换，这在处理无穷级数、概率测度等问题时至关重要。
与测度论的天然结合： 勒贝格积分建立在测度论的基础上。测度论是现代数学的一个核心工具，它提供了一种统一的方式来度量集合的大小。学习勒贝格积分，也就意味着开始接触测度论这一强大的理论体系。
三、为什么不能“直接学勒贝格积分”？
正是因为勒贝格积分的强大和其背后的测度论，它本身就比黎曼积分更抽象、更具理论性。如果直接跳过黎曼积分去学习，可能会遇到以下困难：
1. 概念的抽象性与理解的障碍：
测度是什么？ 勒贝格积分的核心概念是“测度”（measure）。测度是集合的一种“长度”或“大小”的推广。学习测度论本身就需要一定的抽象思维能力，理解如何为各种集合（不仅仅是区间）赋予大小。如果没有任何关于“分割区间求和”的直观基础，直接面对“如何度量一个集合”会感到十分困难。
“值域分割”的转换： 黎曼积分的“x轴分割”到勒贝格积分的“y轴分割”是一个思维模式的转变。直接从“值域分割”入手，可能会觉得“根据函数值来分割区域”的逻辑不够直接，不知道从何下手。
“可测函数”的门槛： 勒贝格积分要求被积函数是“可测函数”。可测函数是一个基于集合的性质来定义的，它的引入本身就需要理解集合论和测度论的一些基础概念。
2. 缺乏计算的直观基础：
虽然我们知道勒贝格积分在理论上更优越，但在实际计算中，对于初学者来说，黎曼积分的牛顿莱布尼茨公式仍然是最直接、最常用的计算工具。如果不懂黎曼积分，你将无法理解很多基本的积分计算方法，也无法体会到从“求和”到“求原函数”这个计算上的飞跃。
勒贝格积分的计算方法通常是先定义测度，然后根据测度的性质进行计算，或者利用收敛定理来间接计算。这些方法的理解，往往需要建立在对黎曼积分的深刻理解之上，才能体会到勒贝格积分的优越性体现在何处。
3. 数学学习的循序渐进原则：
数学教育遵循的是循序渐进的原则。黎曼积分提供了一个相对容易进入的切入点，让学生逐步建立起对积分概念的认识，理解极限在分析中的作用。这种扎实的基础对于后续学习更高级的数学概念至关重要。
跳过基础，直接学习高级理论，就像盖房子不打地基。你可能会在表面上看到一个“完成”的结构，但其内部的支撑和稳固性是堪忧的。在理解上，也会留下许多“为什么”而不得解的困惑。
4. 应用场景的区分：
在许多实际应用中，尤其是在工程计算和初级物理问题中，黎曼积分已经足够使用，并且其计算方法更为直观和便捷。例如，计算某个物理量的瞬时变化率，或者某个区域的物理量总和。
勒贝格积分的优势更多地体现在高等数学领域，如概率论、泛函分析、偏微分方程等。在这些领域，处理的函数集更广，需要更强的收敛性保证，勒贝格积分的威力才能得到充分发挥。
总结一下：
学习黎曼积分并不是因为它是“落后”的，而是因为它提供了一个必要且足够好的起点。它教会我们关于极限、面积、和微积分基本思想的直观理解和计算方法。它就像是学习骑自行车，黎曼积分让你先掌握了平衡和蹬踏板的基本动作，然后才能去学习更复杂的山地车技巧（勒贝格积分）。
直接跳到勒贝格积分，就像直接跳到“高速公路飙车”，你可能会很快“到达”某个目的地，但你可能不理解为什么有车道、为什么要注意限速、为什么需要刹车。你获得的“能力”是有限的，而且很容易因为缺乏基础而产生误解和错误的应用。
因此，我们学习黎曼积分，是为了打下坚实的数学基础，建立直观的理解，掌握基本的计算工具，为后续深入学习更强大、更抽象的数学理论（如勒贝格积分）做好准备。这是一种高效的学习策略，也是数学教育科学性的体现。两者并非是对立的，而是数学知识体系中不同阶段、不同深度的体现，相辅相成，共同构筑了现代数学的大厦。
网友意见
你以为测度论那么好学的……
的一般程度的数学专业学生，在一年级时将会学习以下几种积分:
- 函数 在闭区间 上的积分；
- 函数 在任何类型区间 上的广义积分。
其中，广义积分实质上是闭区间上积分的极限过程。如：
我们再来谈一下 积分与（广义） 积分的不同。从接下来的讨论在即可看出：积分在适当的情况下有其重要作用，不能将其视为毫无价值的一种积分。
- 积分可以在可测集上进行。相比之下，（广义） 积分的积分区域却只能是区间。在这一点上， 积分比 积分更优。所以，我们接下来主要观察在闭区间上 积分和（广义） 积分的不同。
- 对于 在闭区间 上有界的情形，完全可以用 积分来取代 积分. 这是因为以下的定理。
定理（ ）设 ，则 ，且成立
3. 对于 在闭区间 上可测的一般情形（可能无界），不能贸然用 积分来取代 积分。这是因为以下定理。
定理 设 在 上广义 可积。则 在 上广义 可积. 且两种意义下的积分值相等。
所以，这种情况下的 积分不能涵盖在广义 可积下条件收敛的情况。事实上，若积分 在广义 可积下条件收敛，则有
4. 对于 在无穷区间 上可测的情形，仍然不能贸然用 积分来取代 积分。事实上，有以下类似的定理。
定理 设 在 上广义 可积。则 在 上广义 可积.
4. 对于 在测度有限的可测集 上非负且可测的情形，完全可以用 积分来取代 积分，并且不会出现积分不确定的情形。这是由这种情况下 积分的定义所决定的：
其中， .
本文作者：漩涡鸡蛋饼 @12345
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