n趋近于无穷时1/2 + 1/3 +...+ 1/n+1等于多少?
你问的是关于一个数列求和的问题，这个数列是 $frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots + frac{1}{n+1}$，并且想知道当 $n$ 趋近于无穷的时候，这个数列的和是多少。
我们来看看这个数列的构成：
第一个项是 $frac{1}{2}$
第二个项是 $frac{1}{3}$
第三个项是 $frac{1}{4}$
...
最后一项（当 $n$ 是一个很大的数时）是 $frac{1}{n+1}$
这个数列看起来很像我们熟悉的“调和级数”。调和级数通常写成 $1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots$。
你给出的数列可以看作是调和级数去掉第一项 $1$ 之后的剩余部分。也就是说：
$frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots + frac{1}{n+1} = left(1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots + frac{1}{n+1} ight) 1$
我们通常用符号 $H_k$ 来表示调和级数的前 $k$ 项和，即 $H_k = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{k}$。
那么，你给出的数列的前 $n$ 项和（这里我们把 $frac{1}{n+1}$ 看作是第 $n$ 项的话）可以写作：
$S_n = frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{n+1} = H_{n+1} 1$
现在的问题就变成了：当 $n$ 趋近于无穷时，调和级数的前 $n+1$ 项和 $H_{n+1}$ 是多少？
调和级数 $1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots$ 是一个非常著名的级数。数学家们已经证明了，尽管级数中的每一项都越来越小，但它们的和却会不断地增长，而且没有上限。换句话说，调和级数是发散的。
这意味着，当 $n$ 变得越来越大，越来越接近无穷时，$H_{n+1}$ 的值也会变得越来越大，最终会趋向于无穷大。
我们可以用一些直观的方式来理解为什么调和级数会发散。一种常见的方法是分组求和：
$1 + frac{1}{2} + left(frac{1}{3} + frac{1}{4} ight) + left(frac{1}{5} + frac{1}{6} + frac{1}{7} + frac{1}{8} ight) + left(frac{1}{9} + dots + frac{1}{16} ight) + dots$
我们来估算每一组的和：
$frac{1}{3} + frac{1}{4} > frac{1}{4} + frac{1}{4} = frac{2}{4} = frac{1}{2}$
$frac{1}{5} + frac{1}{6} + frac{1}{7} + frac{1}{8} > frac{1}{8} + frac{1}{8} + frac{1}{8} + frac{1}{8} = frac{4}{8} = frac{1}{2}$
$frac{1}{9} + dots + frac{1}{16} > frac{1}{16} imes 8 = frac{8}{16} = frac{1}{2}$
以此类推，我们可以发现，我们总能找到越来越多组，每组的和都大于或等于 $frac{1}{2}$。当我们将这些大于 $frac{1}{2}$ 的无穷多项相加时，总和自然也会趋向于无穷大。
因此，回到你最初的问题：当 $n$ 趋近于无穷时，$frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{n+1}$ 的和是无穷大。
更严谨地说，对于调和级数 $H_k$，当 $k o infty$ 时，$H_k o infty$。而你给出的数列只是调和级数去掉第一项后剩下的部分，去掉一个有限的常数（这里是 $1$）并不会改变级数发散的本质。所以，$lim_{n o infty} left(frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{n+1} ight) = lim_{n o infty} (H_{n+1} 1) = infty 1 = infty$。
所以，答案是无穷大。
我们来看看这个数列的构成：
第一个项是 $frac{1}{2}$
第二个项是 $frac{1}{3}$
第三个项是 $frac{1}{4}$
...
最后一项（当 $n$ 是一个很大的数时）是 $frac{1}{n+1}$
这个数列看起来很像我们熟悉的“调和级数”。调和级数通常写成 $1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots$。
你给出的数列可以看作是调和级数去掉第一项 $1$ 之后的剩余部分。也就是说：
$frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots + frac{1}{n+1} = left(1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + dots + frac{1}{n+1} ight) 1$
我们通常用符号 $H_k$ 来表示调和级数的前 $k$ 项和，即 $H_k = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{k}$。
那么，你给出的数列的前 $n$ 项和（这里我们把 $frac{1}{n+1}$ 看作是第 $n$ 项的话）可以写作：
$S_n = frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{n+1} = H_{n+1} 1$
现在的问题就变成了：当 $n$ 趋近于无穷时，调和级数的前 $n+1$ 项和 $H_{n+1}$ 是多少？
调和级数 $1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots$ 是一个非常著名的级数。数学家们已经证明了，尽管级数中的每一项都越来越小，但它们的和却会不断地增长，而且没有上限。换句话说，调和级数是发散的。
这意味着，当 $n$ 变得越来越大，越来越接近无穷时，$H_{n+1}$ 的值也会变得越来越大，最终会趋向于无穷大。
我们可以用一些直观的方式来理解为什么调和级数会发散。一种常见的方法是分组求和：
$1 + frac{1}{2} + left(frac{1}{3} + frac{1}{4} ight) + left(frac{1}{5} + frac{1}{6} + frac{1}{7} + frac{1}{8} ight) + left(frac{1}{9} + dots + frac{1}{16} ight) + dots$
我们来估算每一组的和：
$frac{1}{3} + frac{1}{4} > frac{1}{4} + frac{1}{4} = frac{2}{4} = frac{1}{2}$
$frac{1}{5} + frac{1}{6} + frac{1}{7} + frac{1}{8} > frac{1}{8} + frac{1}{8} + frac{1}{8} + frac{1}{8} = frac{4}{8} = frac{1}{2}$
$frac{1}{9} + dots + frac{1}{16} > frac{1}{16} imes 8 = frac{8}{16} = frac{1}{2}$
以此类推，我们可以发现，我们总能找到越来越多组，每组的和都大于或等于 $frac{1}{2}$。当我们将这些大于 $frac{1}{2}$ 的无穷多项相加时，总和自然也会趋向于无穷大。
因此，回到你最初的问题：当 $n$ 趋近于无穷时，$frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{n+1}$ 的和是无穷大。
更严谨地说，对于调和级数 $H_k$，当 $k o infty$ 时，$H_k o infty$。而你给出的数列只是调和级数去掉第一项后剩下的部分，去掉一个有限的常数（这里是 $1$）并不会改变级数发散的本质。所以，$lim_{n o infty} left(frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots + frac{1}{n+1} ight) = lim_{n o infty} (H_{n+1} 1) = infty 1 = infty$。
所以，答案是无穷大。
网友意见
这是著名的调和级数(还要加上1)，趋于正无穷大。
当然如果是三江方士的话会说它是收敛的(滑稽)
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