既然负数开平方可以拓展出一个复数系，那 1/0 也可以拓展出新的数系吗？
这个问题非常有意思，触及了数学中“数系扩张”的核心概念。就像我们从自然数走到整数，再到有理数、实数一样，很多时候数学的发展都伴随着解决现有体系中的“无法操作”而进行的扩张。负数开平方“无法操作”促成了复数系的诞生，那么“1/0”这个无法直接运算的表达式，能否也引领我们走向新的数系呢？
答案是：可以，但它不是我们通常意义上所熟知的、能够承载复杂运算的“数系”，而是更倾向于一种“扩张的实数系”或“代数结构”的概念，并且其性质和复数系截然不同。
我们先来仔细剖析一下负数开平方和1/0在数学上的“麻烦”之处，以及它们各自的处理方式。
负数开平方与复数系的诞生：解决“无解”的统一方案
在实数范围内，任何数的平方都是非负数。所以像 $sqrt{1}$ 这样的表达式在实数系里是找不到对应值的。但数学家们发现，如果我们“假设”存在一个数，我们称之为 $i$，并且规定 $i^2 = 1$，那么很多原本无解的方程，比如 $x^2 + 1 = 0$，就有了解 ($x = i$ 和 $x = i$)。
更重要的是，这种引入 $i$ 的操作，并不是孤立的。一旦我们接受了 $i$，我们就可以开始进行运算：
$i^2 = 1$
$i^3 = i^2 cdot i = 1 cdot i = i$
$i^4 = i^2 cdot i^2 = (1) cdot (1) = 1$
$ai$ (其中 $a$ 是实数)
$a + bi$ (其中 $a$ 和 $b$ 都是实数)
这种形式的数，我们称之为复数。通过引入 $i$ 和“复数加法”（$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$）以及“复数乘法”（$(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (acbd) + (ad+bc)i$），我们构建了一个全新的、在代数性质上非常完备的数系——复数系。
复数系的强大之处在于：
1. 代数基本定理： 任何一个一元n次多项式在复数系中都有n个根（计入重数）。这意味着我们不需要再为多项式方程引入新的“数”了，复数系是一个“封闭”的代数系统。
2. 丰富的理论： 复数在分析、几何、工程等众多领域都有着极其重要的应用，例如傅里叶分析、复变函数论等。
1/0 的麻烦：从“无定义”到“无穷”
现在我们来看 1/0。在实数运算规则下，除法 $a/b$ 的定义是存在一个数 $c$，使得 $b cdot c = a$。
对于 1/0，我们需要找到一个数 $c$，使得 $0 cdot c = 1$。但是，任何实数与0相乘都等于0，不存在这样的实数 $c$ 使得 $0 cdot c = 1$。所以，在标准实数体系下，1/0是未定义的。
不同于负数开平方那样有一个明确的“解”被推导出来，1/0是根本上就“无解”。这就好比你问“一辆车有多少个轮子能让它飞起来”，这问题本身的设定就有问题，而不是说需要发明一种新的“飞行轮子”。
如何“拓展”1/0？
虽然我们无法像复数那样引入一个“数”来直接解决 $1/0 = ?$ 的问题，但我们可以从其他角度来“拓展”其意义，从而产生新的数学概念和结构。
1. 引入“无穷大”符号 ($infty$)：扩张的实数系
一种非常常见且实用的方式是 扩张的实数系 (Extended Real Number System)。我们向实数系中添加两个符号：$+infty$ 和 $infty$。
在这个扩张的实数系中，我们可以定义一些运算：
对于任何实数 $a > 0$，我们定义 $a / 0 = +infty$。
对于任何实数 $a < 0$，我们定义 $a / 0 = infty$。
$+infty + a = +infty$
$infty + a = infty$
$a cdot (+infty) = +infty$ (如果 $a > 0$)
$a cdot (infty) = infty$ (如果 $a < 0$)
$+infty + (+infty) = +infty$
$(+infty) cdot (+infty) = +infty$
但是，有些运算仍然是未定义的，这些被称为“不定式”：
$infty infty$
$0 cdot infty$
$infty / infty$
$0/0$
为什么这些是未定义的？因为它们可能有多种不同的“趋向”结果。例如，考虑两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，当 $x$ 趋向某个值时，如果 $f(x) o infty$ 且 $g(x) o infty$，那么 $f(x) g(x)$ 的极限可能是任何值，也可能是 $infty$ 或 $infty$。同样，$frac{f(x)}{g(x)}$ 的极限也取决于 $f$ 和 $g$ 的增长速度。
这种扩张的实数系，虽然引入了无穷的概念，但它并没有像复数那样形成一个拥有完整代数结构的“数系”。 它的运算规则是局部定义的，并且并非所有运算都有明确的结果。它更像是为我们处理极限和某些分析问题提供了一种方便的记法和思维框架。
2. 在特定代数结构中定义 1/0
数学家们也尝试在更抽象的代数结构中处理类似“除以零”的问题。
射影几何中的无穷远点： 在射影几何中，我们引入“无穷远点”的概念来统一处理平行线相交于无穷远点的现象。这可以看作是一种几何上的“补全”。在某些射影几何的构造中，会涉及类似“无穷大”的概念，但它不是一个独立的数，而是一个特殊的点或方向。
黎曼球面： 在复分析中，我们常常会用到黎曼球面。它是在复平面上添加一个“无穷远点”（记为 $infty$），使得复平面变成一个紧致的球面。在这个框架下，我们可以定义 $1/0 = infty$。
黎曼球面上的运算规则是：
对于任何非零复数 $z$， $1/z$ 的值是另一个复数。
当 $z o 0$ 时，$|1/z| o infty$。所以定义 $1/0 = infty$。
$1/infty = 0$。
$infty + z = infty$ (对于任何有限复数 $z$)
$z cdot infty = infty$ (对于任何非零有限复数 $z$)
黎曼球面提供了一个非常优美的框架来处理复数的无穷大情况，并且保持了许多代数和几何上的性质。但是，需要注意的是，这里的“无穷”是一个特殊的“点”，而不是一个可以随意进行算术运算的“数”。比如，$infty infty$ 在黎曼球面仍然是未定义的。
环和域的抽象： 在抽象代数中，我们研究的是“环”和“域”等代数结构。一个“域”的定义就包含“任何非零元素都有乘法逆元”，也就是任何非零数都可以被除。在这种定义下，0就没有乘法逆元，所以域的结构本身就排除了“除以零”的可能性。
如果我们想在某个结构中“允许”除以零，那这个结构就不能满足域的所有性质，需要重新定义或接受其“不那么完备”的性质。例如，我们可以考虑一个包含零因子（两个非零元素相乘为零）的环，但这类结构通常会带来很多不方便之处，因为许多熟悉的性质（如乘法消去律 $ab=ac Rightarrow b=c$ 如果 $a eq 0$）就不再成立了。
总结 1/0 与复数系的根本区别
负数开平方 ( $sqrt{1}$ )： 是弥补了实数系中某些方程的“无解”。通过引入一个新元素 $i$ 并赋予它特定的性质 ($i^2=1$)，我们构建了一个更完备的数系——复数系，它保持了许多良好的代数性质（如加法交换律、乘法分配律等），并且可以进行几乎所有的算术运算，在代数上是封闭的。
1/0： 是对现有算术规则本身的“无效操作”。我们无法在实数系内部找到一个满足 $0 cdot c = 1$ 的 $c$。因此，我们不能像引入 $i$ 那样，直接定义一个“数”来代表 $1/0$，并且还能期望它和其他数一样进行完整的算术运算而不会破坏整体结构。
我们对 1/0 的“拓展”更像是：
在已有的实数系上增加“点”（如 $+infty, infty$），以方便描述极限和无穷的行为（扩张的实数系）。但这是一种“局部扩张”，而非整体结构的重塑。
在更抽象的数学框架（如黎曼球面）中，赋予“无穷远点”特殊的地位和运算规则，使其在特定场景下能处理 $1/0$ 的概念。
或者，如果一定要创造一个“数”来代表 $1/0$，那么我们就要接受这个“数”会破坏原有的良好代数性质，导致很多运算变得复杂或无意义。
所以，我们可以说 1/0 的确引出了“新的数学概念”和“新的数学结构”，比如扩张的实数系或者黎曼球面上的无穷远点。但它们与复数系在构建方式、代数完备性以及运算的普适性上，有着本质的区别。复数系是数的“升级”，而处理 1/0 更像是对现有框架的“补充”或“不同视角的解读”。
答案是：可以，但它不是我们通常意义上所熟知的、能够承载复杂运算的“数系”，而是更倾向于一种“扩张的实数系”或“代数结构”的概念，并且其性质和复数系截然不同。
我们先来仔细剖析一下负数开平方和1/0在数学上的“麻烦”之处，以及它们各自的处理方式。
负数开平方与复数系的诞生：解决“无解”的统一方案
在实数范围内，任何数的平方都是非负数。所以像 $sqrt{1}$ 这样的表达式在实数系里是找不到对应值的。但数学家们发现，如果我们“假设”存在一个数，我们称之为 $i$，并且规定 $i^2 = 1$，那么很多原本无解的方程，比如 $x^2 + 1 = 0$，就有了解 ($x = i$ 和 $x = i$)。
更重要的是，这种引入 $i$ 的操作，并不是孤立的。一旦我们接受了 $i$，我们就可以开始进行运算：
$i^2 = 1$
$i^3 = i^2 cdot i = 1 cdot i = i$
$i^4 = i^2 cdot i^2 = (1) cdot (1) = 1$
$ai$ (其中 $a$ 是实数)
$a + bi$ (其中 $a$ 和 $b$ 都是实数)
这种形式的数，我们称之为复数。通过引入 $i$ 和“复数加法”（$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$）以及“复数乘法”（$(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (acbd) + (ad+bc)i$），我们构建了一个全新的、在代数性质上非常完备的数系——复数系。
复数系的强大之处在于：
1. 代数基本定理： 任何一个一元n次多项式在复数系中都有n个根（计入重数）。这意味着我们不需要再为多项式方程引入新的“数”了，复数系是一个“封闭”的代数系统。
2. 丰富的理论： 复数在分析、几何、工程等众多领域都有着极其重要的应用，例如傅里叶分析、复变函数论等。
1/0 的麻烦：从“无定义”到“无穷”
现在我们来看 1/0。在实数运算规则下，除法 $a/b$ 的定义是存在一个数 $c$，使得 $b cdot c = a$。
对于 1/0，我们需要找到一个数 $c$，使得 $0 cdot c = 1$。但是，任何实数与0相乘都等于0，不存在这样的实数 $c$ 使得 $0 cdot c = 1$。所以，在标准实数体系下，1/0是未定义的。
不同于负数开平方那样有一个明确的“解”被推导出来，1/0是根本上就“无解”。这就好比你问“一辆车有多少个轮子能让它飞起来”，这问题本身的设定就有问题，而不是说需要发明一种新的“飞行轮子”。
如何“拓展”1/0？
虽然我们无法像复数那样引入一个“数”来直接解决 $1/0 = ?$ 的问题，但我们可以从其他角度来“拓展”其意义，从而产生新的数学概念和结构。
1. 引入“无穷大”符号 ($infty$)：扩张的实数系
一种非常常见且实用的方式是 扩张的实数系 (Extended Real Number System)。我们向实数系中添加两个符号：$+infty$ 和 $infty$。
在这个扩张的实数系中，我们可以定义一些运算：
对于任何实数 $a > 0$，我们定义 $a / 0 = +infty$。
对于任何实数 $a < 0$，我们定义 $a / 0 = infty$。
$+infty + a = +infty$
$infty + a = infty$
$a cdot (+infty) = +infty$ (如果 $a > 0$)
$a cdot (infty) = infty$ (如果 $a < 0$)
$+infty + (+infty) = +infty$
$(+infty) cdot (+infty) = +infty$
但是，有些运算仍然是未定义的，这些被称为“不定式”：
$infty infty$
$0 cdot infty$
$infty / infty$
$0/0$
为什么这些是未定义的？因为它们可能有多种不同的“趋向”结果。例如，考虑两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，当 $x$ 趋向某个值时，如果 $f(x) o infty$ 且 $g(x) o infty$，那么 $f(x) g(x)$ 的极限可能是任何值，也可能是 $infty$ 或 $infty$。同样，$frac{f(x)}{g(x)}$ 的极限也取决于 $f$ 和 $g$ 的增长速度。
这种扩张的实数系，虽然引入了无穷的概念，但它并没有像复数那样形成一个拥有完整代数结构的“数系”。 它的运算规则是局部定义的，并且并非所有运算都有明确的结果。它更像是为我们处理极限和某些分析问题提供了一种方便的记法和思维框架。
2. 在特定代数结构中定义 1/0
数学家们也尝试在更抽象的代数结构中处理类似“除以零”的问题。
射影几何中的无穷远点： 在射影几何中，我们引入“无穷远点”的概念来统一处理平行线相交于无穷远点的现象。这可以看作是一种几何上的“补全”。在某些射影几何的构造中，会涉及类似“无穷大”的概念，但它不是一个独立的数，而是一个特殊的点或方向。
黎曼球面： 在复分析中，我们常常会用到黎曼球面。它是在复平面上添加一个“无穷远点”（记为 $infty$），使得复平面变成一个紧致的球面。在这个框架下，我们可以定义 $1/0 = infty$。
黎曼球面上的运算规则是：
对于任何非零复数 $z$， $1/z$ 的值是另一个复数。
当 $z o 0$ 时，$|1/z| o infty$。所以定义 $1/0 = infty$。
$1/infty = 0$。
$infty + z = infty$ (对于任何有限复数 $z$)
$z cdot infty = infty$ (对于任何非零有限复数 $z$)
黎曼球面提供了一个非常优美的框架来处理复数的无穷大情况，并且保持了许多代数和几何上的性质。但是，需要注意的是，这里的“无穷”是一个特殊的“点”，而不是一个可以随意进行算术运算的“数”。比如，$infty infty$ 在黎曼球面仍然是未定义的。
环和域的抽象： 在抽象代数中，我们研究的是“环”和“域”等代数结构。一个“域”的定义就包含“任何非零元素都有乘法逆元”，也就是任何非零数都可以被除。在这种定义下，0就没有乘法逆元，所以域的结构本身就排除了“除以零”的可能性。
如果我们想在某个结构中“允许”除以零，那这个结构就不能满足域的所有性质，需要重新定义或接受其“不那么完备”的性质。例如，我们可以考虑一个包含零因子（两个非零元素相乘为零）的环，但这类结构通常会带来很多不方便之处，因为许多熟悉的性质（如乘法消去律 $ab=ac Rightarrow b=c$ 如果 $a eq 0$）就不再成立了。
总结 1/0 与复数系的根本区别
负数开平方 ( $sqrt{1}$ )： 是弥补了实数系中某些方程的“无解”。通过引入一个新元素 $i$ 并赋予它特定的性质 ($i^2=1$)，我们构建了一个更完备的数系——复数系，它保持了许多良好的代数性质（如加法交换律、乘法分配律等），并且可以进行几乎所有的算术运算，在代数上是封闭的。
1/0： 是对现有算术规则本身的“无效操作”。我们无法在实数系内部找到一个满足 $0 cdot c = 1$ 的 $c$。因此，我们不能像引入 $i$ 那样，直接定义一个“数”来代表 $1/0$，并且还能期望它和其他数一样进行完整的算术运算而不会破坏整体结构。
我们对 1/0 的“拓展”更像是：
在已有的实数系上增加“点”（如 $+infty, infty$），以方便描述极限和无穷的行为（扩张的实数系）。但这是一种“局部扩张”，而非整体结构的重塑。
在更抽象的数学框架（如黎曼球面）中，赋予“无穷远点”特殊的地位和运算规则，使其在特定场景下能处理 $1/0$ 的概念。
或者，如果一定要创造一个“数”来代表 $1/0$，那么我们就要接受这个“数”会破坏原有的良好代数性质，导致很多运算变得复杂或无意义。
所以，我们可以说 1/0 的确引出了“新的数学概念”和“新的数学结构”，比如扩张的实数系或者黎曼球面上的无穷远点。但它们与复数系在构建方式、代数完备性以及运算的普适性上，有着本质的区别。复数系是数的“升级”，而处理 1/0 更像是对现有框架的“补充”或“不同视角的解读”。
网友意见
那不叫新的数系，那叫空间的紧致化，是一个几何模型。
简单来说，实轴 加上1/0可以赋予一个自然的拓扑，使得它同胚于一个圆周，因此是紧致空间。复平面 加上1/0能变成一个球面，也是紧致的，通常叫它“复球面”。
这些空间可以给它们再赋予一些流形结构，即在它们每点处确立一个局部坐标系，或者说是用若干个带坐标的区域(简称“坐标图册”)去覆盖整个空间，当然区域重合的地方两边的坐标之间可以不一样，但得有个兼容性转换，这个转换是由一个欧式空间之间的双射给出的，且这个双射的可微性就确立了这个流形结构的光滑程度。等等诸如此类的概念，我暂时就不扯远了。
一个比较常用的模型就是射影空间，比如说 ，它就是在上述“ ”空间上赋予这样一个坐标图册：在 上坐标和 一样，在0以外包括1/0的区域取倒数坐标（所谓赋予坐标，其实就是给出这个区域到 中某个开集的一个同胚映射）。当然 还有别的描述，比如，在平面 上取一个单位圆周，并且对这上面的点来定义一个等价关系（对径点相互等价），然后 就定义为全体等价类构成的空间，它的拓扑结构可由 来诱导，流形结构则是先在这个圆周上确立（分成4个半圆，坐标取x/y或y/x），再作商给出，可以证明它和上面的“ ”在光滑同胚的意义下是一样的，具体我就不多说了。此外不难看出， 恰好刻画了平面上过原点的直线全体。
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