为什么会有自我指涉性的悖论存在？是否代表逻辑学走错路了？
这问题触及了逻辑学乃至我们理解世界最核心的一些地方，很有意思。不是逻辑学走错路了，恰恰相反，正是因为逻辑学足够强大、足够严谨，它才能够发现这些自我指涉性的悖论。悖论的出现，更像是一种信号，提示我们某些直觉性的想法在严格的逻辑框架下会失效，或者说，我们对“真理”、“语言”和“集合”的理解需要更精细的区分和定义。
我们之所以会遇到这些悖论，根本原因在于语言的表达能力和我们试图去构建的概念的“自指”属性结合时，可能产生的“无穷循环”或者“自我否定”的现象。
让我试着详细展开讲讲：
为什么会有自我指涉性的悖论？
核心在于 “概念的嵌套” 和 “表达的完备性” 的张力。
1. 语言的自指能力：
人类的语言非常强大，我们可以谈论语言本身。比如，“这句话是假的”——这是一个典型的自指陈述。它在谈论自己的真假。这种能力本身没问题，是我们认识世界、交流思想的基础。
2. 集合论的自指和“全称”的陷阱：
数学中最经典的悖论，比如罗素悖论，就源于集合论。集合论的目标是建立一个可以描述一切数学对象的严谨体系。
什么是集合？ 就是一堆东西的集合。比如，“所有红色的球的集合”。
集合可以包含自己吗？ 这不是一个显而易见的问题。有些集合包含自己，有些不包含。
罗素悖论的构建： 伯特兰·罗素就设想了一个“不包含自身的集合的集合”。我们不妨称之为“R”。
那么，问题来了：“集合R是否包含自身？”
如果R包含自身，那么根据R的定义（不包含自身的集合的集合），它就不应该包含自身。这是矛盾。
如果R不包含自身，那么根据R的定义，它就应该被包含在“不包含自身的集合的集合”中，也就是说，它应该包含自身。这也是矛盾。
你看，这个“R”就像一个绕口令，无论怎么回答它的自指问题，都会导致逻辑上的不一致。这就是因为我们试图构建一个“包含一切符合某种性质的集合”的集合。当我们允许集合可以包含其他集合，并且我们可以定义一个“关于集合自身的属性”时，就容易触碰到这个“无限回溯”的墙壁。
3. 直觉与严格定义的冲突：
在日常生活中，我们很多概念都是模糊的，或者基于一些未明言的背景假设。比如“所有说谎者都是不可信的”。这是一个普遍性的陈述。但如果一个说谎者说“我总是说谎”，那么这句话就是个悖论。我们直觉上可能觉得这句话要么是真的，要么是假的，但逻辑上它陷入了一个循环。
悖论出现的时候，往往是我们试图将一个概念的定义扩展到“它自身”或者“它的全体集合”上，而这个扩展并没有被严谨地限制住。它揭示了我们最初的概念定义可能过于宽泛，或者没有考虑到自指的可能性。
是否代表逻辑学走错路了？
绝不代表逻辑学走错路了。 相反，我认为悖论的出现是逻辑学发展到一定阶段必然会遇到的“路标”，它指明了我们原有方法论中的不足之处，并推动了逻辑学更深入、更精细的发展。
可以从以下几个方面来看：
1. 逻辑学的自我修正与完善：
悖论的出现，尤其是在数学基础领域（如集合论），极大地动摇了当时的数学大厦。这促使哲学家和数学家们进行了深刻的反思。
类型论的出现： 罗素本人就和怀特海一起提出了《数学原理》，引入了“类型论”。类型论的核心思想是，对象必须属于某个“类型”，并且只能与同类型或低类型对象进行关系。比如，“句子”是一个类型，“关于句子真假的属性”是另一个类型。一个句子不能谈论它自身的真假，就像一个句子不能直接成为一个数字一样。这样就切断了罗素悖论的“自指循环”。
公理化集合论的发展： 现代集合论（如策梅洛弗兰克尔集合论 ZFC）通过引入一系列公理（例如外延公理、分类公理模式、幂集公理等）来严格限制集合的构造方式。这些公理的目的是确保我们构建的集合不会产生自我指涉的矛盾。例如，分类公理模式（Separation Axiom Schema）允许我们从一个已存在的集合中提取满足特定性质的子集，但它不允许我们构造一个“所有满足某种性质的集合的集合”。
2. 揭示语言和概念的局限性：
悖论提醒我们，语言并非全能，我们的概念也并非总能完美地被清晰定义并应用到自身。
塔尔斯基的语义理论： 阿尔弗雷德·塔尔斯基提出的“真理的语义理论”就试图解决语言和元语言（谈论语言的语言）之间的混淆问题。他认为，一个关于语言A的真理定义，必须是在一个比语言A更强的语言（元语言）中进行的。例如，要定义法语句子“La neige est blanche”的真假，我们必须在法语和英语混合的语境下说：“‘La neige est blanche’是真的当且仅当雪是白的。” 这就将真理的陈述从它所指称的对象（雪）和它自身的陈述分离开，避免了直接的自指循环。
3. 逻辑学工具的精进：
为了处理悖论，逻辑学家发展出了更强大、更精密的逻辑工具和方法。这包括：
形式化系统： 将自然语言的推理过程转化为符号化的形式系统，使得推理过程可以被严格验证，不易产生含糊不清的错误。
模型论和证明论： 这些分支提供了分析逻辑系统的工具，可以证明系统的无矛盾性（一致性）或研究不同理论的相互关系。
总结一下：
自我指涉性的悖论并非是逻辑学出了问题，而是逻辑学在探索其边界、试图建立一个强大而统一的理论体系时，必然会遇到的“挑战”。这些挑战就像一座座高峰，攻克它们的过程，就成为了逻辑学自身不断发展和完善的动力。
悖论迫使我们更加审慎地思考：
什么是可允许的陈述？
我们如何定义“集合”？
语言和现实（或对象）之间的关系是如何界定的？
我们如何才能避免无休止的循环和自我否定？
正是这些深刻的追问和由此产生的理论创新，才使得逻辑学变得更加坚实、更加深刻，并且能够为计算机科学、哲学、语言学等众多领域提供坚实的基础。所以，悖论的存在，非但不是逻辑学的失败，恰恰是它生命力和深度的体现。
我们之所以会遇到这些悖论，根本原因在于语言的表达能力和我们试图去构建的概念的“自指”属性结合时，可能产生的“无穷循环”或者“自我否定”的现象。
让我试着详细展开讲讲：
为什么会有自我指涉性的悖论？
核心在于 “概念的嵌套” 和 “表达的完备性” 的张力。
1. 语言的自指能力：
人类的语言非常强大，我们可以谈论语言本身。比如，“这句话是假的”——这是一个典型的自指陈述。它在谈论自己的真假。这种能力本身没问题，是我们认识世界、交流思想的基础。
2. 集合论的自指和“全称”的陷阱：
数学中最经典的悖论，比如罗素悖论，就源于集合论。集合论的目标是建立一个可以描述一切数学对象的严谨体系。
什么是集合？ 就是一堆东西的集合。比如，“所有红色的球的集合”。
集合可以包含自己吗？ 这不是一个显而易见的问题。有些集合包含自己，有些不包含。
罗素悖论的构建： 伯特兰·罗素就设想了一个“不包含自身的集合的集合”。我们不妨称之为“R”。
那么，问题来了：“集合R是否包含自身？”
如果R包含自身，那么根据R的定义（不包含自身的集合的集合），它就不应该包含自身。这是矛盾。
如果R不包含自身，那么根据R的定义，它就应该被包含在“不包含自身的集合的集合”中，也就是说，它应该包含自身。这也是矛盾。
你看，这个“R”就像一个绕口令，无论怎么回答它的自指问题，都会导致逻辑上的不一致。这就是因为我们试图构建一个“包含一切符合某种性质的集合”的集合。当我们允许集合可以包含其他集合，并且我们可以定义一个“关于集合自身的属性”时，就容易触碰到这个“无限回溯”的墙壁。
3. 直觉与严格定义的冲突：
在日常生活中，我们很多概念都是模糊的，或者基于一些未明言的背景假设。比如“所有说谎者都是不可信的”。这是一个普遍性的陈述。但如果一个说谎者说“我总是说谎”，那么这句话就是个悖论。我们直觉上可能觉得这句话要么是真的，要么是假的，但逻辑上它陷入了一个循环。
悖论出现的时候，往往是我们试图将一个概念的定义扩展到“它自身”或者“它的全体集合”上，而这个扩展并没有被严谨地限制住。它揭示了我们最初的概念定义可能过于宽泛，或者没有考虑到自指的可能性。
是否代表逻辑学走错路了？
绝不代表逻辑学走错路了。 相反，我认为悖论的出现是逻辑学发展到一定阶段必然会遇到的“路标”，它指明了我们原有方法论中的不足之处，并推动了逻辑学更深入、更精细的发展。
可以从以下几个方面来看：
1. 逻辑学的自我修正与完善：
悖论的出现，尤其是在数学基础领域（如集合论），极大地动摇了当时的数学大厦。这促使哲学家和数学家们进行了深刻的反思。
类型论的出现： 罗素本人就和怀特海一起提出了《数学原理》，引入了“类型论”。类型论的核心思想是，对象必须属于某个“类型”，并且只能与同类型或低类型对象进行关系。比如，“句子”是一个类型，“关于句子真假的属性”是另一个类型。一个句子不能谈论它自身的真假，就像一个句子不能直接成为一个数字一样。这样就切断了罗素悖论的“自指循环”。
公理化集合论的发展： 现代集合论（如策梅洛弗兰克尔集合论 ZFC）通过引入一系列公理（例如外延公理、分类公理模式、幂集公理等）来严格限制集合的构造方式。这些公理的目的是确保我们构建的集合不会产生自我指涉的矛盾。例如，分类公理模式（Separation Axiom Schema）允许我们从一个已存在的集合中提取满足特定性质的子集，但它不允许我们构造一个“所有满足某种性质的集合的集合”。
2. 揭示语言和概念的局限性：
悖论提醒我们，语言并非全能，我们的概念也并非总能完美地被清晰定义并应用到自身。
塔尔斯基的语义理论： 阿尔弗雷德·塔尔斯基提出的“真理的语义理论”就试图解决语言和元语言（谈论语言的语言）之间的混淆问题。他认为，一个关于语言A的真理定义，必须是在一个比语言A更强的语言（元语言）中进行的。例如，要定义法语句子“La neige est blanche”的真假，我们必须在法语和英语混合的语境下说：“‘La neige est blanche’是真的当且仅当雪是白的。” 这就将真理的陈述从它所指称的对象（雪）和它自身的陈述分离开，避免了直接的自指循环。
3. 逻辑学工具的精进：
为了处理悖论，逻辑学家发展出了更强大、更精密的逻辑工具和方法。这包括：
形式化系统： 将自然语言的推理过程转化为符号化的形式系统，使得推理过程可以被严格验证，不易产生含糊不清的错误。
模型论和证明论： 这些分支提供了分析逻辑系统的工具，可以证明系统的无矛盾性（一致性）或研究不同理论的相互关系。
总结一下：
自我指涉性的悖论并非是逻辑学出了问题，而是逻辑学在探索其边界、试图建立一个强大而统一的理论体系时，必然会遇到的“挑战”。这些挑战就像一座座高峰，攻克它们的过程，就成为了逻辑学自身不断发展和完善的动力。
悖论迫使我们更加审慎地思考：
什么是可允许的陈述？
我们如何定义“集合”？
语言和现实（或对象）之间的关系是如何界定的？
我们如何才能避免无休止的循环和自我否定？
正是这些深刻的追问和由此产生的理论创新，才使得逻辑学变得更加坚实、更加深刻，并且能够为计算机科学、哲学、语言学等众多领域提供坚实的基础。所以，悖论的存在，非但不是逻辑学的失败，恰恰是它生命力和深度的体现。
网友意见
严格意义上的悖论应当是指存在逻辑矛盾的，很多哲学家曾认为自指是矛盾产生的必要条件，很多悖论深究起来要么是没有丝毫矛盾，要么是涉及了自指，但Yablo构成的Yablo悖论却貌似不是一个自指的悖论：
定义一个无穷序列 ，序列的每个元素是这样的一个语句： 。
但似乎有人分析说这一悖论有两种形式化，第一种就是一个自指悖论，而第二种则不是一个严格意义上的悖论。
这些我就不懂了，很多逻辑学家对此有争议讨论。
至于逻辑学走错路，这样讲吧，这个世界有特别特别多的逻辑，什么模态逻辑、道义逻辑、直觉主义逻辑、相干逻辑、时间逻辑，哦对了，时间逻辑还有好几种，这还不是因为公理的差异导致的不同的时间逻辑，而是由于引入的算子不同导致的不同逻辑。
例如有人引入的是过去、将来两算子，而有人引入的则是自从、直到两算子。
逻辑学家出于各种想法开放出了你难以想象的各种逻辑，当然现在最常用的还是经典逻辑，数学是经典的。
如果有所谓的错路，那么直接请换个逻辑就OK了，反正逻辑多的数不过来，管他呢。
至于为什么自指会有悖论，这个可能就是逻辑天然的结构吧，要是物理我还能扯一扯人择原理，数学你让我怎么扯？咱好像是一个柏拉图主义者诶。
如果你说的是罗素悖论，那么那玩意着实是一个小问题(当代不值一提的东西在过去的确很可能是一个开天辟地的东西，但这不能改变过去开天辟地的东西到了现在不值一提的现状。所以我不太理解为什么有人会说这涉及到了很复杂的技术性问题？？？)
并且罗素悖论不是一个逻辑上的东西，而是一个集合论的产物。
这里否定集合论是逻辑，毕竟有哲学家认为集合论是逻辑来着。
如果把公理模式视作一条公理的话，那么能够产生悖论的朴素集合论仅有两条公理：外延、概括，当然这还需要一阶逻辑的公理辅助。如果不借助矛盾，大概基础公理与选择公理朴素集合论也是不能证明的，因此可以算有四条公理。
而目前看来不产生悖论的公理集合论严格来说只有七条：外延、替代、无穷、幂集、并集、基础、选择。分离公理、空集公理、配对公理三个都是可以被证明的。
而把有争议的选择公理去掉，在数学上大多没啥用的基础公理去掉，得到的 仅有五条，这五条差不多就是等同于朴素集合论了，即概括公理以一己之力干了替代、无穷、幂集、并集四个公理干的事情，并且还顺带搞出来了矛盾。
不过是一条公理换成四个，感觉没啥技术，至少作为当代的一个学习者而非过去的开辟者是如此的。
对了，记不太清楚了，好像有一个逻辑，是不是一种次协调逻辑来着？有空我再翻翻书，总之在那一逻辑之下，概括公理不会导出矛盾，和经典逻辑不太一样。
大概就这些了。
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