凸分析和凸优化有什么推荐的教材吗？
我们先从凸分析（Convex Analysis）开始聊起。凸分析是凸优化的理论基石，它研究的是凸集和凸函数这两大核心概念的性质。理解了它们，才能真正掌握凸优化的方法和理论。
凸分析的经典之作：
1. 《Convex Analysis》 by R. Tyrrell Rockafellar
为什么推荐它？ 如果你对数学的严谨性有较高追求，并且想深入了解凸分析的理论根基，那么这本书是绝对的经典，甚至可以说是“圣经”。Rockafellar 是这个领域的奠基人之一，他的这本书集大成，逻辑严谨，覆盖了凸分析的方方面面。
内容亮点：
集合论基础： 从严格的集合论和拓扑学出发，定义了各种类型的凸集，例如超平面、半空间、多面体、锥等等，并详细讨论了它们的性质和运算（交集、闭包、内部、相对内部等）。
凸函数理论： 对凸函数进行了详尽的定义和分类，例如仿射函数、指数函数、范数函数等。重点在于研究凸函数的各种等价刻画（如 Jensen 不等式），以及保凸运算（如上确界、和、复合等）。
支撑超平面和分离超平面： 这是凸集理论中非常重要的工具，Rockafellar 对它们进行了深刻的探讨，这在后续的理论发展中至关重要。
共轭函数： 共轭函数是凸分析中一个极为强大的概念，它连接了函数本身和它的“对偶”表示，在很多优化问题中扮演着关键角色。这本书对共轭函数的定义、性质、计算以及它与原函数的关系有非常深入的阐述。
变分不等式和单值映射： 虽然这本书主要聚焦于凸集和凸函数，但它也触及了一些与优化相关的概念，为后续的理解铺平了道路。
阅读建议： 这本书的数学深度和抽象程度都相当高。如果你是初学者，可能会觉得有点挑战。建议先阅读一些更入门的书籍，对凸集和凸函数有个基本概念后再来挑战它。如果你真的想在理论上“吃透”凸分析，这本书是绕不开的。它更适合作为一本参考书或者在有一定基础后深入学习的教材。
2. 《Fundamentals of Convex Analysis》 by JeanBaptiste HiriartUrruty and Claude Lemarechal
为什么推荐它？ 这本书同样是非常权威和全面的，而且相较于 Rockafellar 的著作，它在某些方面可能更具“现代感”和“计算导向”。它由两位在该领域同样享有盛誉的专家撰写，内容扎实且清晰。
内容亮点：
与 Rockafellar 的互补性： 这本书也覆盖了凸集和凸函数的核心内容，但表达方式和侧重点可能有所不同。它在某些证明或者概念的引入上，可能更贴近现代一些的理解方式。
次梯度（Subgradient）理论： 次梯度是衡量凸函数“局部线性”程度的重要概念，在非光滑优化中起着核心作用。这本书对次梯度及其性质进行了系统性的介绍和推导，这是很多其他教材可能不会如此深入的部分。
凸集的几何： 提供了对凸集几何性质更直观的理解，包括它们的拓扑性质、代数结构以及重要的几何概念如极端点、顶点等。
凸函数的某些性质推导： 在某些具体函数性质的证明和推导上，可能比 Rockafellar 的书更易于理解，因为它会更详细地解释每一步的逻辑。
阅读建议： 这本书同样是学术性的，但可能在某些章节的叙述上比 Rockafellar 的书稍微容易入口一些。它可以作为 Rockafellar 书的绝佳补充，或者在有一定数学基础的情况下进行学习。
凸优化（Convex Optimization）的理论与实践：
在掌握了凸分析的基础后，我们就可以进入凸优化这个领域了。凸优化研究的是如何最小化（或最大化）一个凸函数。由于凸函数的特殊性质，其局部最优解就是全局最优解，这使得凸优化问题比一般的非凸优化问题更容易解决，并且有许多成熟的算法。
最为推荐的教材：
1. 《Convex Optimization》 by Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe
为什么推荐它？ 这是毋庸置疑的现代凸优化领域的“圣经”级别的教材。这本书非常成功地将理论与实际应用相结合，既有严谨的数学推导，又有大量的实际例子，使得学习过程既有深度又有广度。而且，这本书是免费在线提供的，这极大地降低了学习门槛。
内容亮点：
强大的理论体系： 从凸集的定义和性质开始，循序渐进地介绍凸函数，然后深入到无约束优化、约束优化问题。
优化问题的分类与建模： 非常系统地介绍了各种凸优化问题，如线性规划（LP）、二次规划（QP）、二次约束二次规划（QCQP）、半定规划（SDP）、二阶锥规划（SOCP）等。特别的是，它强调了如何将实际问题建模成这些标准形式，这在工程和应用领域至关重要。
对偶理论： 对偶理论是凸优化的灵魂之一。这本书对拉格朗日对偶、对偶函数、对偶问题以及强对偶性进行了非常清晰和透彻的讲解。这不仅是理论分析的关键，也是很多现代优化算法的理论基础。
算法介绍： 覆盖了多种重要的凸优化算法，包括梯度下降法、牛顿法、内点法等。它不仅介绍了算法的原理，还讨论了它们的收敛性分析和计算复杂度。
大量实际案例： 这是这本书最大的亮点之一。它包含了来自信号处理、控制、机器学习、金融工程等多个领域的实际应用案例，通过建模和求解展示了凸优化的强大威力。例如，最小二乘法、Lasso、支持向量机（SVM）等都可以在这本书中找到对应的凸优化建模。
CVX 工具箱的配合： 这本书的作者还开发了强大的凸优化建模工具箱 CVX（支持 MATLAB 和 Python），这使得学习者可以直接将书中的理论应用到实际问题中去。
阅读建议： 这本书是学习凸优化的首选教材。即使你不是数学专业背景，只要有基本的微积分、线性代数和概率论基础，就可以尝试阅读。建议配合其配套的视频课程（在斯坦福大学公开课网站上可以找到）一起学习，效果会更好。书中的练习题非常丰富，一定要动手去做。
其他值得参考的教材：
2. 《Numerical Optimization》 by Jorge Nocedal and Stephen J. Wright
为什么推荐它？ 如果你更侧重于凸优化问题的数值算法和实现，这本书是非常优秀的补充。虽然它涵盖的范围比 Boyd & Vandenberghe 的书更广（包括非凸优化），但在凸优化算法的讲解上，它的深度和细节是无与伦比的。
内容亮点：
详尽的算法介绍： 深入讲解了各种梯度方法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法以及约束优化算法（如序列二次规划 SQP）。
收敛性分析的深入： 对各种算法的局部和全局收敛性进行了严谨的数学分析。
理论与实践的结合： 除了理论，也讨论了算法的实现细节和数值稳定性问题。
阅读建议： 适合作为 Boyd & Vandenberghe 之后的进阶阅读，或者在需要深入理解某个特定算法时参考。对数学推导的要求更高。
3. 《Introductory Lectures on Convex Optimization》 by Yurii Nesterov
为什么推荐它？ Nesterov 是现代优化理论，尤其是加速优化方法领域的巨匠。这本书是一系列关于凸优化的讲座的整理，以一种更加“思想性”和“前沿性”的方式来介绍凸优化。
内容亮点：
现代观点： 从“内点法”的视角来审视凸优化问题，并在此基础上介绍了他著名的加速梯度方法。
理论深度： 对算法的收敛速度分析非常深入，特别是“最优收敛率”的概念，这是 Nesterov 的重要贡献。
思想启发性： 读这本书可以让你对凸优化的本质和极限有更深刻的认识，不仅仅是学习算法，更是理解方法论。
阅读建议： 这本书的数学难度比 Boyd 的书要高不少，更适合有一定基础并且希望在理论层面有更深造诣的学习者。它更像是一本“思想集”，需要反复咀嚼。
如何学习？
循序渐进： 建议先从 Boyd & Vandenberghe 的《Convex Optimization》入手，先建立起对凸优化问题的整体认识和建模能力。
打好基础： 确保你具备良好的微积分、线性代数、实分析（理解连续、收敛、极限等概念）以及一些基础的拓扑学知识。
动手实践： 凸优化是一个非常“动手”的学科。一定要多做书中的练习题，并尝试使用 CVX、CVXPY 等工具箱来解决实际问题。
理论与应用结合： 学习理论的同时，思考这些理论是如何应用到实际问题中的。 Boyd 的书在这方面做得非常好。
查阅资料： 如果遇到困难，不要害怕查阅其他的参考资料，比如 Rockafellar 的书可以提供更深入的理论基础，Nesterov 的书可以带来更前沿的思考。
总而言之，凸分析和凸优化是一个既有深厚理论又有广泛应用的迷人领域。选择合适的教材，并结合实践，你一定能在这个领域有所收获。希望这些分享对你有帮助！
网友意见
泻药@王哲
一句话概括的话，凸分析主要研究凸集和凸函数的各种拓扑和分析性质，凸优化研究凸问题的最优性条件，设计求解算法并分析其迭代复杂度和计算复杂度。
好专著通常出自这两个领域的大师。记住这些凸分析和凸优化大师的名号：R. T. Rockafellar，Hiriart-Urruty，A Nemirovski ，Y. Nesterov， Yinyu Ye(叶荫宇)...更多的看 John von Neumann Theory Prize 历年获奖的大师名单。当然，也不能排除一些非top-class的数学家写作技巧很好，写的入门级教材图文结合，形象易懂(嗯，我这里指的主要是Y. Nesterov的论文很难读).....
入门级
S. Boyd and L. Vandenberghe. Convex Optimization [M]. Cambridge, 2004.
Güler O. Foundations of Optimization[M]. Springer New York, 2010.
Bahlak S, Gazalet J, Lefebvre J E, et al. Convex Optimization: Algorithms and Complexity[J]. Foundations & Trends® in Machine Learning, 2014, 8(3-4):231-357.
进阶版
A Nemirovski 个人主页上一系列的凸优化的slides
Ben-Tal A, Nemirovski A. Lectures on modern convex optimization[M]. SIAM, 2001.
Hiriart-Urruty J B, Lemaréchal C. Fundamentals of Convex Analysis[M]. Grundlehren Text Editions, 2004, 24(2):288-294.
R. T. Rockafellar. Convex Analysis[M]. Princeton, 1970.
Hiriart-Urruty J B, Lemaréchal C. Convex analysis and minimization algorithms[M]. Springer-Verlag, 1993.
Nesterov Y. Introductory Lectures on Convex Optimization[M]. Springer, 2014.
内点算法
Nesterov I E, Nemirovskiĭ A S. Interior Point Polynomial Algorithms in Convex Programming[M]. SIAM, 1994.
Ye Y. Interior point algorithms: theory and analysis[M]. John Wiley & Sons, Inc. 1997.
Wright S J. Primal-dual interior-point methods[M]. SIAM, 1997.
Roos C, Terlaky T, Vial J P. Interior Point Methods for Linear Optimization[M]. Springer, 2006.
如果不读博士做理论研究，好像基本上也不需要凸分析了；学术圈子里认真待个两三年，主动去了解这个领域，这些大师的名字会反复出现在论文和参考文献里，读读他们的专著就很有必要了...当然还有很多大牛，他们只写论文，没空写专著的，这时候就应该好好读论文了...
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