球面坐标计算三重积分公式怎么来的？

球面坐标系下三重积分的计算公式是怎么推导出来的？

我们知道，在笛卡尔坐标系下，一个区域 $V$ 上的三重积分可以表示为：

$$ iiint_V f(x, y, z) , dx , dy , dz $$

但是，当积分区域是球体、圆锥体或者其他具有球对称性的区域时，用笛卡尔坐标计算会非常繁琐。这时，引入球面坐标系就显得尤为方便了。那么，球面坐标系下的三重积分公式是如何来的呢？这背后涉及到一个核心概念：坐标变换与雅可比行列式（Jacobian determinant）。

一、 从笛卡尔坐标到球面坐标的映射

首先，我们需要明确笛卡尔坐标 $(x, y, z)$ 与球面坐标 $( ho, heta, phi)$ 之间的关系。这里我们采用一种常见的定义方式（请注意，不同的教科书或领域可能在角度的定义上略有差异，但原理是相通的）：

$ ho$ (rho)：表示点到原点的距离，即 $ ho = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
$ heta$ (theta)：表示点在 $xy$ 平面上的投影与正 $x$ 轴之间的夹角（方位角），通常取值范围是 $[0, 2pi)$ 或 $(pi, pi]$。
$phi$ (phi)：表示点到原点的连线与正 $z$ 轴之间的夹角（天顶角或极角），通常取值范围是 $[0, pi]$。

基于这些定义，我们可以得到笛卡尔坐标 $(x, y, z)$ 用球面坐标 $( ho, heta, phi)$ 表示的变换公式：

$x = ho sin phi cos heta$
$y = ho sin phi sin heta$
$z = ho cos phi$

二、 为什么需要雅可比行列式？

在进行坐标变换时，我们不能简单地将 $dx , dy , dz$ 直接替换成 $d ho , d heta , dphi$。这是因为，虽然我们在数学上进行了变量替换，但在积分的本质上，我们是根据一个微小的“体积元”来累加函数值的。

想象一下，在笛卡尔坐标系下，一个微小的体积元可以看作是一个长宽高分别为 $dx, dy, dz$ 的小立方体，其体积是 $dV = dx , dy , dz$。

而在球面坐标系下，我们的“基本单元”也需要用球面坐标来表示。如果我们直接用 $d ho, d heta, dphi$ 来描述一个微小的体积元，它们分别代表了：

$d ho$: 在径向上（沿着 $ ho$ 的方向）的一小段长度。
$d heta$: 在方位角方向上的一小段弧长（半径为 $ ho sin phi$）。
$dphi$: 在天顶角方向上的一小段弧长（半径为 $ ho$）。

这三者组合起来，并不能直接构成一个微小的体积元。关键在于，从笛卡尔坐标系到球面坐标系的变换改变了体积元的“形状”和“大小”。一个在球面坐标系下看起来“均匀”的微小变化，在笛卡尔坐标系下所对应的体积，可能并不均匀，或者说它不是一个简单的“立方体”了。

雅可比行列式的作用，正是为了量化这种由于坐标变换引起的体积变化比例。它告诉我们，一个在球面坐标系下的微小体积元 $d ho , d heta , dphi$，在笛卡尔坐标系下所对应的真实体积是多少。

三、 雅可比行列式的计算

对于从 $(x, y, z)$ 到 $( ho, heta, phi)$ 的坐标变换，其雅可比矩阵是一个由偏导数组成的矩阵：

$$
J =
egin{pmatrix}
frac{partial x}{partial ho} & frac{partial x}{partial heta} & frac{partial x}{partial phi} \
frac{partial y}{partial ho} & frac{partial y}{partial heta} & frac{partial y}{partial phi} \
frac{partial z}{partial ho} & frac{partial z}{partial heta} & frac{partial z}{partial phi}
end{pmatrix}
$$

现在，我们来计算这些偏导数：

$x = ho sin phi cos heta$
$frac{partial x}{partial ho} = sin phi cos heta$
$frac{partial x}{partial heta} = ho sin phi (sin heta) = ho sin phi sin heta$
$frac{partial x}{partial phi} = ho cos phi cos heta$

$y = ho sin phi sin heta$
$frac{partial y}{partial ho} = sin phi sin heta$
$frac{partial y}{partial heta} = ho sin phi cos heta$
$frac{partial y}{partial phi} = ho cos phi sin heta$

$z = ho cos phi$
$frac{partial z}{partial ho} = cos phi$
$frac{partial z}{partial heta} = 0$
$frac{partial z}{partial phi} = ho sin phi$

将这些偏导数代入雅可比矩阵：

$$
J =
egin{pmatrix}
sin phi cos heta & ho sin phi sin heta & ho cos phi cos heta \
sin phi sin heta & ho sin phi cos heta & ho cos phi sin heta \
cos phi & 0 & ho sin phi
end{pmatrix}
$$

现在，计算这个矩阵的行列式，即雅可比行列式 $J$:

$J = sin phi cos heta egin{vmatrix} ho sin phi cos heta & ho cos phi sin heta \ 0 & ho sin phi end{vmatrix} ( ho sin phi sin heta) egin{vmatrix} sin phi sin heta & ho cos phi sin heta \ cos phi & ho sin phi end{vmatrix} + ho cos phi cos heta egin{vmatrix} sin phi sin heta & ho sin phi cos heta \ cos phi & 0 end{vmatrix}$

让我们逐项计算：

第一项：
$sin phi cos heta ( ho sin phi cos heta ( ho sin phi) 0)$
$= sin phi cos heta ( ho^2 sin^2 phi cos heta)$
$= ho^2 sin^3 phi cos^2 heta$

第二项：
$+ ho sin phi sin heta (sin phi sin heta ( ho sin phi) ho cos phi sin heta cos phi)$
$= ho sin phi sin heta ( ho sin^2 phi sin heta ho cos^2 phi sin heta)$
$= ho sin phi sin heta ( ho sin heta (sin^2 phi + cos^2 phi))$
$= ho sin phi sin heta ( ho sin heta)$ （因为 $sin^2 phi + cos^2 phi = 1$）
$= ho^2 sin^2 phi sin^2 heta$

第三项：
$+ ho cos phi cos heta (0 ho sin phi cos heta cos phi)$
$= ho cos phi cos heta ( ho sin phi cos phi cos heta)$
$= ho^2 sin phi cos^2 phi cos^2 heta$

把这三项加起来：
$J = ( ho^2 sin^3 phi cos^2 heta) + ( ho^2 sin^2 phi sin^2 heta) + ( ho^2 sin phi cos^2 phi cos^2 heta)$

这里好像算错了，我们重新来计算第二项的内部行列式：
$egin{vmatrix} sin phi sin heta & ho cos phi sin heta \ cos phi & ho sin phi end{vmatrix} = (sin phi sin heta)( ho sin phi) ( ho cos phi sin heta)(cos phi)$
$= ho sin^2 phi sin heta ho cos^2 phi sin heta$
$= ho sin heta (sin^2 phi + cos^2 phi) = ho sin heta$

那么第二项整体是：
$(+ ho sin phi sin heta) ( ho sin heta) = ho^2 sin phi sin^2 heta$

我们再重新审视第三项的内部行列式：
$egin{vmatrix} sin phi sin heta & ho sin phi cos heta \ cos phi & 0 end{vmatrix} = (sin phi sin heta)(0) ( ho sin phi cos heta)(cos phi)$
$= ho sin phi cos phi cos heta$

那么第三项整体是：
$(+ ho cos phi cos heta) ( ho sin phi cos phi cos heta) = ho^2 sin phi cos^2 phi cos^2 heta$

回头看第一项：
$egin{vmatrix} ho sin phi cos heta & ho cos phi sin heta \ 0 & ho sin phi end{vmatrix} = ( ho sin phi cos heta)( ho sin phi) ( ho cos phi sin heta)(0)$
$= ho^2 sin^2 phi cos heta$

第一项整体是：
$(sin phi cos heta) ( ho^2 sin^2 phi cos heta) = ho^2 sin^3 phi cos^2 heta$

加起来：
$J = ho^2 sin^3 phi cos^2 heta ho^2 sin phi sin^2 heta ho^2 sin phi cos^2 phi cos^2 heta$

仍然没有简化。让我们回到雅可比行列式的定义，并用一个更直观的方式去理解它在体积变换中的作用。

更直观的理解：

想象一下，在球面坐标系下，我们取一个微小的区域，它由以下几个向量围成：
$mathbf{v}_1$: 沿 $ ho$ 方向的变化，长度为 $d ho$。
$mathbf{v}_2$: 沿 $ heta$ 方向的变化。这个向量的长度是半径 $ ho sin phi$ 乘以 $d heta$。方向是垂直于 $ ho$ 和 $z$ 轴的。
$mathbf{v}_3$: 沿 $phi$ 方向的变化。这个向量的长度是半径 $ ho$ 乘以 $dphi$。方向是垂直于 $ ho$ 的，并且在包含 $z$ 轴的平面内。

这些向量可以表示为：
$mathbf{dr} approx d ho , hat{mathbf{e}}_ ho$
$mathbf{d heta} approx ( ho sin phi , d heta) , hat{mathbf{e}}_ heta$
$mathbf{dphi} approx ( ho , dphi) , hat{mathbf{e}}_phi$

其中 $hat{mathbf{e}}_ ho, hat{mathbf{e}}_ heta, hat{mathbf{e}}_phi$ 是球面坐标系的单位正交基向量。

一个微小的体积元 $dV$ 在笛卡尔坐标系下可以看作是由这三个方向的微小位移向量的叉乘再乘以第三个位移向量（或者说，由这三个向量构成的平行六面体的体积）决定的。

$$ dV = |(mathbf{dr} imes mathbf{d heta}) cdot mathbf{dphi}| $$

这里的叉乘和点乘操作，正是雅可比行列式计算的本质。
$mathbf{dr} imes mathbf{d heta}$: $mathbf{dr}$ 是沿径向，$mathbf{d heta}$ 是切向。它们垂直，所以叉乘的模是 $d ho cdot ( ho sin phi , d heta)$。方向呢？它会指向 $hat{mathbf{e}}_phi$ 的方向。
$(mathbf{dr} imes mathbf{d heta}) cdot mathbf{dphi}$: 这个结果就是由这三个向量构成的平行六面体的体积。

让我们使用单位正交基向量来计算这个体积：
$hat{mathbf{e}}_ ho = (sin phi cos heta, sin phi sin heta, cos phi)$
$hat{mathbf{e}}_ heta = (sin heta, cos heta, 0)$
$hat{mathbf{e}}_phi = (cos phi cos heta, cos phi sin heta, sin phi)$

这个体积的计算就是这三个向量作为行向量（或者列向量）构成的行列式的值：

$$
egin{vmatrix}
sin phi cos heta & sin phi sin heta & cos phi \
sin heta & cos heta & 0 \
cos phi cos heta & cos phi sin heta & sin phi
end{vmatrix}
$$

让我们来计算这个行列式的值：

1. 沿第一行展开：
$sin phi cos heta egin{vmatrix} cos heta & 0 \ cos phi sin heta & sin phi end{vmatrix} sin phi sin heta egin{vmatrix} sin heta & 0 \ cos phi cos heta & sin phi end{vmatrix} + cos phi egin{vmatrix} sin heta & cos heta \ cos phi cos heta & cos phi sin heta end{vmatrix}$

2. 计算子行列式：
$egin{vmatrix} cos heta & 0 \ cos phi sin heta & sin phi end{vmatrix} = cos heta (sin phi) 0 = sin phi cos heta$
$egin{vmatrix} sin heta & 0 \ cos phi cos heta & sin phi end{vmatrix} = (sin heta) (sin phi) 0 = sin phi sin heta$
$egin{vmatrix} sin heta & cos heta \ cos phi cos heta & cos phi sin heta end{vmatrix} = (sin heta)(cos phi sin heta) (cos heta)(cos phi cos heta)$
$= cos phi sin^2 heta cos phi cos^2 heta = cos phi (sin^2 heta + cos^2 heta) = cos phi$

3. 将子行列式代回：
$sin phi cos heta (sin phi cos heta) sin phi sin heta (sin phi sin heta) + cos phi (cos phi)$
$= sin^2 phi cos^2 heta sin^2 phi sin^2 heta cos^2 phi$
$= sin^2 phi (cos^2 heta + sin^2 heta) cos^2 phi$
$= sin^2 phi (1) cos^2 phi$
$= (sin^2 phi + cos^2 phi) = 1$

这个结果的绝对值是 1。这说明上面的单位向量的行列式算错了，或者说单位向量的表示有误。

正确的理解是：

雅可比行列式的绝对值 $|J|$，表示了从旧坐标系的一个微小体积元到新坐标系对应微小体积元的体积变换的比例因子。

当从笛卡尔坐标 $(x, y, z)$ 变换到球面坐标 $( ho, heta, phi)$ 时，我们是反过来思考的。

我们从球面坐标的微小体积元 $dV_{ ext{球}} = d ho , ( ho sin phi , d heta) , ( ho , dphi)$ 开始考虑。

这里的 $d ho$ 是径向上的长度变化， $ ho sin phi , d heta$ 是沿方位角方向的弧长变化（这里的半径是 $ ho sin phi$）， $ ho , dphi$ 是沿天顶角方向的弧长变化（这里的半径是 $ ho$）。这三者相乘，就是构成一个微小体积元的三个“边”的长度。

$dV_{ ext{球}} = ho^2 sin phi , d ho , d heta , dphi$

所以，从笛卡尔坐标系到球面坐标系的变换，雅可比行列式就是这个体积因子 $ ho^2 sin phi$。
我们之前计算的雅可比行列式（$J$）的 符号 可能会因为单位向量定义的不同而变化，但其 绝对值 $|J|$ 是关键。

让我们回到之前计算的雅可比矩阵：
$$
J =
egin{pmatrix}
frac{partial x}{partial ho} & frac{partial x}{partial heta} & frac{partial x}{partial phi} \
frac{partial y}{partial ho} & frac{partial y}{partial heta} & frac{partial y}{partial phi} \
frac{partial z}{partial ho} & frac{partial z}{partial heta} & frac{partial z}{partial phi}
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
sin phi cos heta & ho sin phi sin heta & ho cos phi cos heta \
sin phi sin heta & ho sin phi cos heta & ho cos phi sin heta \
cos phi & 0 & ho sin phi
end{pmatrix}
$$

它的行列式计算结果应该是 $ ho^2 sin phi$。让我们重新计算一次，这次要仔细一些，尤其是在符号处理上。

$J = sin phi cos heta [( ho sin phi cos heta)( ho sin phi) ( ho cos phi sin heta)(0)]$
$ ( ho sin phi sin heta) [(sin phi sin heta)( ho sin phi) ( ho cos phi sin heta)(cos phi)]$
$+ ( ho cos phi cos heta) [(sin phi sin heta)(0) ( ho sin phi cos heta)(cos phi)]$

$J = sin phi cos heta [ ho^2 sin^2 phi cos heta]$
$+ ho sin phi sin heta [ ho sin^2 phi sin heta ho cos^2 phi sin heta]$
$+ ho cos phi cos heta [ ho sin phi cos phi cos heta]$

$J = ho^2 sin^3 phi cos^2 heta$
$+ ho sin phi sin heta [ ho sin heta (sin^2 phi + cos^2 phi)]$
$ ho^2 sin phi cos^2 phi cos^2 heta$

$J = ho^2 sin^3 phi cos^2 heta$
$+ ho sin phi sin heta [ ho sin heta]$
$ ho^2 sin phi cos^2 phi cos^2 heta$

$J = ho^2 sin^3 phi cos^2 heta ho^2 sin phi sin^2 heta ho^2 sin phi cos^2 phi cos^2 heta$

这里我似乎陷入了计算泥潭。正确的计算方法应该是利用行列式的性质或者直接看懂微元转换的本质。

让我们回到微元转换的直观理解。在一个小的球面区域，它的体积可以近似看作是：

径向变化 $d ho$。
在 $( ho, heta)$ 方向上的一个面积微元。这个面积微元在 $xy$ 平面上的投影是 $ ho , d heta , d ho$ (这是极坐标中的面积微元)，但我们是在球面上考虑，所以要考虑 $phi$ 的影响。
在 $( ho, phi)$ 方向上的一个面积微元。

我们回头看球面坐标的微元：
$d ho$: 径向长度。
$ ho sin phi , d heta$: 沿 $ heta$ 方向的弧长（这个半径是 $ ho sin phi$）。
$ ho , dphi$: 沿 $phi$ 方向的弧长（这个半径是 $ ho$）。

这些微小的长度乘起来，就得到了球面坐标系下的体积微元：
$dV = (d ho) cdot ( ho sin phi , d heta) cdot ( ho , dphi) = ho^2 sin phi , d ho , d heta , dphi$

这个因子 $ ho^2 sin phi$ 就是从笛卡尔坐标的 $dx , dy , dz$ 转换到球面坐标的 $d ho , d heta , dphi$ 时，需要乘以的系数，也就是雅可比行列式的绝对值 $|J|$。

为什么是 $ ho^2 sin phi$？

想象一个扇环体：
考虑一个固定的 $phi$ 值，它在 $xz$ 平面上是一个角度为 $phi$ 的直线。
在 $xy$ 平面上，我们有一个极坐标扇形，面积是 $frac{1}{2} r^2 d heta$。这里的 $r = ho sin phi$ 是点到 $z$ 轴的距离。所以，这个扇形的面积微元是 $( ho sin phi) , d heta , d ho$ （如果我们沿着 $ ho$ 方向也取一个微元的话）。
更准确地说，考虑一个“球冠层”：
我们从半径为 $ ho$ 增加到 $ ho + d ho$。
我们从角度 $ heta$ 变化到 $ heta + d heta$。
我们从角度 $phi$ 变化到 $phi + dphi$。

在球面坐标系下，这个微小体积元的三个“边”的长度分别是：
$d ho$ (径向)
$ ho sin phi , d heta$ (沿 $ heta$ 方向的弧长)
$ ho , dphi$ (沿 $phi$ 方向的弧长)

这三个长度的乘积，就是这个微小体积元在球面坐标系下的“体积”：
$dV = d ho cdot ( ho sin phi , d heta) cdot ( ho , dphi) = ho^2 sin phi , d ho , d heta , dphi$

这个因子 $ ho^2 sin phi$ 正是坐标变换的 Jacobian determinant (绝对值)。

四、 球面坐标系下的三重积分公式

因此，当我们在球面坐标系下计算一个区域 $V'$ 上的三重积分 $iiint_{V'} f( ho, heta, phi) , dV$ 时，这个 $dV$ 就被替换成了 $ ho^2 sin phi , d ho , d heta , dphi$。

如果原始的笛卡尔坐标区域为 $V$，并且我们知道它在球面坐标下的对应区域为 $V'$，那么三重积分公式变为：

$$ iiint_V f(x, y, z) , dx , dy , dz = iiint_{V'} f( ho sin phi cos heta, ho sin phi sin heta, ho cos phi) cdot ho^2 sin phi , d ho , d heta , dphi $$

其中，$V'$ 是在球面坐标系下表示的积分区域，通常是 $ ho_1 le ho le ho_2$, $ heta_1 le heta le heta_2$, $phi_1 le phi le phi_2$ 这样的积分限。

五、 总结

为什么需要变换？ 为了简化积分区域和被积函数。
核心工具是雅可比行列式。 它量化了不同坐标系下体积元的变化比例。
球面坐标体积微元： $dV = ho^2 sin phi , d ho , d heta , dphi$。
公式： 将笛卡尔坐标 $(x, y, z)$ 替换为球面坐标的表达式，并将 $dx , dy , dz$ 替换为 $ ho^2 sin phi , d ho , d heta , dphi$。

理解这个公式的关键在于理解雅可比行列式在坐标变换中的作用——它是一个“体积缩放因子”，确保了积分的数值在变换前后保持不变。 $ ho^2 sin phi$ 这个因子源于球面坐标系下微小体积元的几何结构。

是算出来的，造它就完了！

两边微分：

然后开始计算 到 的微元变换：

于是有：

换成大家熟悉的符号就是：

上面的推导形式上比较简洁，当然要是看着不顺眼，也可以用雅克比行列式。如果既觉得上面的手算法不顺眼，又觉得雅克比行列式太难算，那就管它严不严谨画个图用几何法凑出来球面体积微元：

有些时候形象直观虽然会丧失一定的严谨性，但是不得不说是最保护头发的（ ╮╯▽╰╭）