为什么计算机采用补码而不是原码或反码？
咱们今天就来聊聊，为啥电脑里头，数字都是用“补码”这玩意儿来表示的，而不是咱一开始学到的“原码”或者“反码”。这事儿说起来，其实是为了让计算机能更方便、更高效地干活儿，尤其是在做加减法的时候。
先简单回顾一下那几个“码”
要理解补码的好处，得先知道原码和反码是啥。
原码： 这个最直观了。一个数的原码，就是它本身的二进制表示，最高位是符号位（0表示正，1表示负）。比如，+5 的原码可能是 `0000 0101`，5 的原码就是 `1000 0101`（假设是8位）。
反码： 原码是咱人为规定的，但为了在计算时省事儿，就有了反码。它的规则是：正数的反码和原码一样；负数的反码，是在原码的基础上，将符号位不变，其余各位按位取反。比如，5 的原码 `1000 0101`，它的反码就是 `1111 1010`（符号位1不变，后面的0000 0101变成1111 1010）。
为啥原码和反码在计算时有点麻烦？
咱们就拿加法举例子。
正数加正数： 这个没啥问题，原码、反码、补码都一样，直接按二进制加就行。
正数加负数： 这就有点意思了。比如，计算 `5 + (5)`。
用原码： `0000 0101` (5) + `1000 0101` (5) = `1000 1010`。这结果看起来不像0，而且最高位是1，表示负数，但计算出来的值也不对。计算机得加额外的判断和处理，才能从这个结果里算出是0。
用反码： `0000 0101` (5) + `1111 1010` (5) = `1111 1111`。这个结果的二进制值是1。虽然比原码结果“离谱”一点，但它至少表示了一个负数。而且，如果仔细看，你会发现 `0000 0101` (5) + `1111 1010` (5) 加上一个进位（carry）1，就能得到 `1 0000 0000`。这个 `1` 被丢弃了，剩下的 `0000 0000` 就是0。所以，反码在加法上，至少能“凑合”出正确结果，但还是需要处理那个进位。
再说说减法：
计算机里没啥“减法器”，都是用“加法器”来完成的。减法就是通过加负数来实现的。比如 `5 3`，就等于 `5 + (3)`。
用原码做减法： `5 + (3)`。 5的原码是 `0000 0101`。 3的原码是 `1000 0011`。 `0000 0101` + `1000 0011` = `1000 0110`。 这个结果是6，完全不对。计算机就得加很多额外的逻辑来判断和纠正。
用反码做减法： `5 + (3)`。 5的反码是 `0000 0101`。 3的反码是 `1111 1100`。 `0000 0101` + `1111 1100` = `1111 1001`。 这个结果是7，还是不对。
补码的“魔法”在哪里？
补码的出现，就是为了解决上面这些计算上的麻烦。它的规则是：
正数的补码就是它本身的原码。
负数的补码，是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位按位取反，再加1。 （也可以理解为，对负数的原码，符号位不变，其余位取反，然后结果加1）。
举个例子，8位表示：
+5 的补码： `0000 0101` (和原码一样)
5 的补码：
1. 5 的原码： `1000 0101`
2. 符号位不变，其余位取反： `1111 1010`
3. 加1： `1111 1011`。 所以 5 的补码就是 `1111 1011`。
为什么补码在加法和减法时表现如此优秀？
关键就在于，用补码做加法，和处理正数加正数的结果是一样的！ 计算机就不需要区分是在做加法还是减法，也不需要根据符号来执行不同的操作。
我们再来算一下 `5 + (5)`，用补码：
`0000 0101` (5 的补码) + `1111 1011` (5 的补码) = `1 0000 0000`
看！这个结果，我们把最高位的那个进位 `1` 丢掉（溢出了），剩下的 `0000 0000` 就是 `0`！ 完美！
再算一下 `5 3`，也就是 `5 + (3)`：
5 的补码： `0000 0101`
3 的补码：
1. 3 的原码： `1000 0011`
2. 符号位不变，其余位取反： `1111 1100`
3. 加1： `1111 1101`。 所以 3 的补码是 `1111 1101`。
现在计算 `5 + (3)`：
`0000 0101` (5 的补码) + `1111 1101` (3 的补码) = `10000 0010`
同样，最高位的进位 `1` 溢出被丢弃，剩下的 `0000 0010` 就是 `2`！ 算对了！
总结一下补码的优点：
1. 统一加法电路： 最核心的好处就是，计算机可以用同一个加法电路来处理所有的加法和减法。减法 `a b` 实际上被转化成了 `a + (b)`。有了补码，这个 `(b)` 的表示方式恰好能和加法运算无缝衔接，不需要额外的判断和逻辑。这大大简化了计算机的硬件设计，也提高了运算速度。
2. 简化对负数的表示： 补码的范围，一个 `n` 位的补码系统，可以表示从 `2^(n1)` 到 `2^(n1) 1` 的数。和原码/反码不同，补码在表示负数的数量上，比正数多一个（比如8位：原码/反码表示范围是 127 到 127，但补码可以表示 128 到 127）。而且，0 的表示是唯一的（都是 `0000 0000`），这避免了原码中 +0 和 0 两种表示方式带来的混淆。
3. 运算的自然延伸： 很多时候，补码的运算结果，哪怕出现了溢出（最高位进位），丢掉进位后的结果，也恰好是正确的。这是因为补码的定义方式，在模 `2^n` 的意义下，负数恰好是它对应正数的“补数”。
简单来说，补码就像是一种“聪明”的编码方式，它巧妙地利用了二进制运算的特性，让计算机在处理数字运算时，能够“一条龙”地解决问题，省去了大量的判断和转换步骤。这就是为什么从我们接触计算机的那一刻起，它就已经在幕后使用补码来表示负数了。
先简单回顾一下那几个“码”
要理解补码的好处，得先知道原码和反码是啥。
原码： 这个最直观了。一个数的原码，就是它本身的二进制表示，最高位是符号位（0表示正，1表示负）。比如，+5 的原码可能是 `0000 0101`，5 的原码就是 `1000 0101`（假设是8位）。
反码： 原码是咱人为规定的，但为了在计算时省事儿，就有了反码。它的规则是：正数的反码和原码一样；负数的反码，是在原码的基础上，将符号位不变，其余各位按位取反。比如，5 的原码 `1000 0101`，它的反码就是 `1111 1010`（符号位1不变，后面的0000 0101变成1111 1010）。
为啥原码和反码在计算时有点麻烦？
咱们就拿加法举例子。
正数加正数： 这个没啥问题，原码、反码、补码都一样，直接按二进制加就行。
正数加负数： 这就有点意思了。比如，计算 `5 + (5)`。
用原码： `0000 0101` (5) + `1000 0101` (5) = `1000 1010`。这结果看起来不像0，而且最高位是1，表示负数，但计算出来的值也不对。计算机得加额外的判断和处理，才能从这个结果里算出是0。
用反码： `0000 0101` (5) + `1111 1010` (5) = `1111 1111`。这个结果的二进制值是1。虽然比原码结果“离谱”一点，但它至少表示了一个负数。而且，如果仔细看，你会发现 `0000 0101` (5) + `1111 1010` (5) 加上一个进位（carry）1，就能得到 `1 0000 0000`。这个 `1` 被丢弃了，剩下的 `0000 0000` 就是0。所以，反码在加法上，至少能“凑合”出正确结果，但还是需要处理那个进位。
再说说减法：
计算机里没啥“减法器”，都是用“加法器”来完成的。减法就是通过加负数来实现的。比如 `5 3`，就等于 `5 + (3)`。
用原码做减法： `5 + (3)`。 5的原码是 `0000 0101`。 3的原码是 `1000 0011`。 `0000 0101` + `1000 0011` = `1000 0110`。 这个结果是6，完全不对。计算机就得加很多额外的逻辑来判断和纠正。
用反码做减法： `5 + (3)`。 5的反码是 `0000 0101`。 3的反码是 `1111 1100`。 `0000 0101` + `1111 1100` = `1111 1001`。 这个结果是7，还是不对。
补码的“魔法”在哪里？
补码的出现，就是为了解决上面这些计算上的麻烦。它的规则是：
正数的补码就是它本身的原码。
负数的补码，是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位按位取反，再加1。 （也可以理解为，对负数的原码，符号位不变，其余位取反，然后结果加1）。
举个例子，8位表示：
+5 的补码： `0000 0101` (和原码一样)
5 的补码：
1. 5 的原码： `1000 0101`
2. 符号位不变，其余位取反： `1111 1010`
3. 加1： `1111 1011`。 所以 5 的补码就是 `1111 1011`。
为什么补码在加法和减法时表现如此优秀？
关键就在于，用补码做加法，和处理正数加正数的结果是一样的！ 计算机就不需要区分是在做加法还是减法，也不需要根据符号来执行不同的操作。
我们再来算一下 `5 + (5)`，用补码：
`0000 0101` (5 的补码) + `1111 1011` (5 的补码) = `1 0000 0000`
看！这个结果，我们把最高位的那个进位 `1` 丢掉（溢出了），剩下的 `0000 0000` 就是 `0`！ 完美！
再算一下 `5 3`，也就是 `5 + (3)`：
5 的补码： `0000 0101`
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2. 符号位不变，其余位取反： `1111 1100`
3. 加1： `1111 1101`。 所以 3 的补码是 `1111 1101`。
现在计算 `5 + (3)`：
`0000 0101` (5 的补码) + `1111 1101` (3 的补码) = `10000 0010`
同样，最高位的进位 `1` 溢出被丢弃，剩下的 `0000 0010` 就是 `2`！ 算对了！
总结一下补码的优点：
1. 统一加法电路： 最核心的好处就是，计算机可以用同一个加法电路来处理所有的加法和减法。减法 `a b` 实际上被转化成了 `a + (b)`。有了补码，这个 `(b)` 的表示方式恰好能和加法运算无缝衔接，不需要额外的判断和逻辑。这大大简化了计算机的硬件设计，也提高了运算速度。
2. 简化对负数的表示： 补码的范围，一个 `n` 位的补码系统，可以表示从 `2^(n1)` 到 `2^(n1) 1` 的数。和原码/反码不同，补码在表示负数的数量上，比正数多一个（比如8位：原码/反码表示范围是 127 到 127，但补码可以表示 128 到 127）。而且，0 的表示是唯一的（都是 `0000 0000`），这避免了原码中 +0 和 0 两种表示方式带来的混淆。
3. 运算的自然延伸： 很多时候，补码的运算结果，哪怕出现了溢出（最高位进位），丢掉进位后的结果，也恰好是正确的。这是因为补码的定义方式，在模 `2^n` 的意义下，负数恰好是它对应正数的“补数”。
简单来说，补码就像是一种“聪明”的编码方式，它巧妙地利用了二进制运算的特性，让计算机在处理数字运算时，能够“一条龙”地解决问题，省去了大量的判断和转换步骤。这就是为什么从我们接触计算机的那一刻起，它就已经在幕后使用补码来表示负数了。
网友意见
计算机的加减法运算天生是一个模2^N的同余类上的运算，满2^N会抛弃进位，那表示有符号数时使用同余类代表很正常吧，比如-1 = 2^N -1 (mod 2^N)，-2 = 2^N-2 (mod 2^N)，这实际上就是补码了。
简单回答：对补码来说 5-3 跟 5+(-3) 是相同的操作，而这两个式子本来就应该是等价的。所以补码才是最自然而合理的编码。
如果不用补码，就需要对加法和减法，正号跟负号设计若干种不同运算，大幅度降低了计算效率，增加了晶体管复杂度。
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