数学系课程中，《解析几何》到底有什么用？
首先，最直接也是最根本的用处，就是“将几何问题代数化，将代数问题几何化”。这简直是解析几何的灵魂所在。《解析几何》最了不起的地方，就是它用一套严谨的代数工具（比如坐标系、方程）来描述和研究几何对象。以前我们画个圆，知道它圆心在哪，半径多大，这感觉挺直观。但如果我们要知道圆上的点到某条直线的距离，或者两个圆相交的情况，光凭画图和想象就变得非常困难，甚至不可能精确。而解析几何一下子就解决了这个问题。
比如一个简单的例子：我们知道一个圆的方程是 $(xa)^2 + (yb)^2 = r^2$。一旦有了这个方程，我们就可以通过代数运算来回答各种关于这个圆的问题。比如，判断一个点 $(x_0, y_0)$ 是否在圆上，只需把它代入方程看看是否成立。判断点是否在圆内或圆外，也非常简单。要找圆和一条直线 $Ax+By+C=0$ 的交点？那不过是解一个方程组罢了。这种化繁为简，将抽象的几何关系转化为具体的数值计算和代数推导，是解析几何最强大的能力。
反过来，解析几何也让我们能用几何的直观去理解复杂的代数问题。有时候一个代数表达式可能看起来很抽象，让人摸不着头脑。这时候，我们就可以尝试把它看作是某个几何对象在某个坐标系下的方程。比如，一个二元一次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 在解析几何里，就对应着一条二次曲线。通过分析它的系数，我们可以知道它是椭圆、双曲线、抛物线，还是退化的直线束等等。这种几何化的视角，能够极大地帮助我们理解和分析代数结构，甚至发现隐藏在数字背后的规律。
更进一步，解析几何为我们理解和操作多维空间奠定了基础。我们习惯了二维平面和三维空间中的几何，但很多数学和物理问题是发生在更高维度的。我们没法直接“画”出四维空间中的一个球体，但解析几何的代数语言可以做到。比如，在四维空间中，一个超球的方程可以是 $(xa)^2 + (yb)^2 + (zc)^2 + (wd)^2 = r^2$。通过代数运算，我们依然可以研究它的性质，比如它的“体积”（超体积）或者它与超平面的交集。这对于现代数学和物理学，比如相对论中的时空几何，机器学习中的高维数据分析，都是必不可少的。
解析几何中的向量代数，更是工具箱里的利器。向量的引入，让我们能够用更简洁、更强大的方式来处理几何关系。点可以看作是位置向量，直线和平面可以用方向向量和法向量来描述。向量的点乘（内积）可以用来计算角度和投影，向量的叉乘（外积）可以用来计算垂直向量和面积（或体积）。这些工具在物理学中更是无处不在，比如力学中的功、力矩，电磁学中的磁场、电场强度等等，都离不开向量的描述和运算。在计算机图形学中，处理三维模型、光照、动画，更是高度依赖向量和矩阵（本质上是向量的组合）的运算。
此外，解析几何的坐标变换思想，对于解决各种问题也是至关重要的。我们经常会遇到一个问题，在某个坐标系下很难处理，但如果换一个更“方便”的坐标系，问题就迎刃而解了。比如，旋转坐标系可以消除二次曲线中的交叉项 $xy$，从而更容易识别曲线的类型和性质。平移坐标系可以消除线性项，将二次曲线化为标准形式。这些坐标变换的规则，都来自解析几何的研究。在工程领域，比如设计航空器或汽车，需要考虑不同参考系下的运动和受力分析，坐标变换的能力就显得尤为重要。
总而言之，《解析几何》并非只是中学数学的“升级版”，它是一门承前启后的基础课程。它为我们打开了一扇门，让我们能够用代数的严谨和力量去探索和理解几何世界的规律，并且将这种能力延伸到更高维度和更广泛的领域。无论是在纯粹的数学研究，还是在物理、工程、计算机科学等应用领域，解析几何所提供的思想和工具，都是不可或缺的基石。它教会我们的不仅仅是如何解题，更是如何思考，如何用数学的语言去描述和解决现实世界中的问题。那种将抽象的几何概念转化为具体的方程，然后通过代数运算得出结论的“感觉”，一旦体会到，就会觉得它无处不在，威力无穷。
网友意见
谢邀。
没啥用。美国大学数学系没见过几个把Euclidean geometry列为数学专业毕业要求课程的。国内必修解析几何应该是继承了前苏联传统，然后又不想改。你去看看解析几何习题集，比较老的那种都有很强的前苏联特色，技巧性强，跟吉米多维奇的风格差不多。
解析几何能够为后续的微分几何（古典曲线曲面论）提供一些计算的例子，不过也没必要专门花一学期学。好的曲面论的书，应该能让一个学过微积分线代的人就直接上手，do Carmo那本Differential geometry for curves and surfaces应该不错。
说起解析几何，我们这届有几个大部分数学专业课拿A的学霸，就栽在解几上了，可能拿了C。因为解几考试题就是计算量大，繁杂，跟你的概念理解能力关系不大。这几个学霸有些也栽在另几门课上了，比如数学模型，或者基础物理实验。不过现在这几个人做学术的除了做纯数的以外也都找到了不错的位子，去业界的也都去了很好的公司，发展都不错。所以你看，解几真的没影响。做纯数的做的不好，这倒是另外一码事，跟解几没关系。。
解析几何，是几何，是解析的几何。
就分析方向而言，数学分析是分析类课程的基础，一切分析类型的问题几乎都在数分中有对应的原型。分析类的学科总的来说基本研究方法就是收敛，在各种空间中的各类收敛。这是站在分析的角度去辐射所有数学方向。
国内数学本科教育比较侧重分析方向的教育（受苏联的影响，个人体会很深），学生需要花费大量时间学习分析的课程，而代数、几何、概率则以一种类似分析方向的辅助一样的角色而存在，说解析几何不重要，我觉得多多少少是受到「分析中心主义」想法的影响。
你完全可以换位思考「几何中心」，从几何的发展去理解其他学科。几何是数学之母，数学成为一个精密系统的标志就是《几何原本》。几何对于数学而言是本质的，无所不包的，任何数学问题的来源几乎都有几何背景（正如代数以及其他方向一样）。解析几何、拓扑学、微分几何、代数几何……几何方向有他自己的发展脉络，这和数分之于分析方向是一个道理。
解析几何的教学方式确实可以讨论一下。解析几何对学高代帮助很大，事实上有些课本就是将两者结合起来讲。
线性代数就是为解析几何而生的，两者的关系本就水乳交融：超平面之间的交集，导出线性方程组，于是就引入了矩阵；二次曲面的标准化处理，引入了正定矩阵的一系列技巧，分析也沾了光（在求极值问题Hessian矩阵便是）。在学习高等代数乃至是多元回归分析的时候，我的同学基本都处于懵逼的状态，因为他们不知道几何背景，所以只能靠死记硬背。几何的力量，就是一览众山小，你可以看到所有孤立的山峰其实都是起伏的山脉的一部分，你知道从哪里来到哪里去，几何可以快速让你确定研究方向。
数学家的品味是一点一点熏陶而成的，几何学家对几何的感觉就需要解析几何等这样的课程的滋养。几何最终的目标就是研究分类，这与克莱因的不变量理论是等价的，不变量就是分类的标志。几何的不变量可能是一个数（判别式），也可能是一个群（基本群）……几何的分类一旦成功，这将是一劳永逸的工作，是精美的艺术品，是数学家一生成就的美丽标志。
以上是一位「几何中心主义者」的发言。
当然说数学分析仅仅属于分析方向有失偏颇，事实上数学分析也有大量几何的内容，众所周知菲砖无所不包。
陈省身在南开授课就有一个简要的微积分讲义，就十分「几何中心」，你以为的微积分的画风是极限、连续、导数、积分……而陈的讲义写的是曲面基本形式、外微分stokes公式、Gauss-Bonnet定理……
你一定会惊呼：一定是我打开的方式不对。其实数学分析本身就有很多种打开的方式。
第一次讲解析几何，所用教材：《解析几何》吕林根老师，许子道老师，第四版。讲过一个学期的感受（用处方面）：
1，为《微分几何》做简单铺垫（仅体现在“向量函数”这个概念，但在本课程里，似乎不如坐标式参数方程更容易被接受）；
2，第二章和第四章许多处理手法略显无厘头，这些看似“空降”的内容，实际上介绍了一些解析几何的处理手法，个人感觉，像是你学会了某种棋类的走子规则和杀招，作用是你能“赢”几局（也就是用无厘头手法成功处理特定几何问题。当然，给数学系学生讲，讲明来由，又尽可能让内容系统化，也花了一定时间——毕竟俺是菜鸟青椒，研究方向也没接触太多的几何学）；
3，第三章空间的平面和直线，不管数学还是非数学专业，都是要求掌握的，不同的是内容量和知识构建；
4，二次曲线和曲面部分，与其说分类思想和结论本身很重要，倒不如说以分类主题为引子观赏矩阵和行列式“唱戏”是更为突出的用处。只可惜大部分解析几何教材（甚至包括《高等代数与解析几何》教材）都没能在理论推导中很好使用矩阵（原因是学过高代二次型章节，并能熟练使用矩阵以后，才会使矩阵处理不显生硬），以至于讲课时我只能像个老司机带着不懂驾驶的乘客们在二次曲面和曲线的乐园里兜风，比起严格遵循课本的“跋山涉水”可能无论对初学者还是讲授者都会留下比较愉悦的感受吧；
5，也基于上面一点，所以强烈建议学过高代以后再刷一遍几何里二次曲线和曲面章节，感受矩阵的削铁如泥，无论是对矩阵使用的快感，还是对二次型章节的直观理解，都能起到很好的作用；
6，再说个题外话，数学有啥用？事实上每一门数学课程的用处本身都可以成为一门独立的课程，问题过于庞大，历史也过于漫长。但是有一个共通的用处恐怕很难写进学术文献或者数学类（甚至数学史）的教科书，但它确实存在于每一位数学工作者的心中，那就是——数学使人快乐，使人浪漫而深邃。
以上仅为一个数学系小青椒（刷过绿漆的老学长～o.-）对解析几何半年教龄的一点感受层面的粗浅随记，至于真正让人获益的用处，还是需要多联系其它课程，一旦你在其它课程里也发现了解析几何的影子，它的用处就已然实现了，即便到时候可能说不出也意识不到。
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