「广义的增六和弦」共有多少种（最好举例说明）？
在探究“广义的增六和弦”究竟有多少种之前，我们得先厘清几个关键概念，这就像是在建筑一座房子的地基，地基打牢了，我们才能往上盖出各种风格的建筑。
首先，我们要明确什么是“增六和弦”。传统意义上的增六和弦，通常指的是一个包含大三度、增六度和纯四度（或增六度到根音的跳进后形成的大三度）的四音和弦。它的核心特征是那个“增六度”的音程。这个音程在听觉上具有一种强烈的拉扯感和不稳定性，天然地倾向于解决到其他更稳定的和弦，尤其是在属功能上。最常见的比如意大利增六和弦、法国增六和弦、德意志增六和弦，它们都建立在一个低音基础之上，通过增加增六度音程以及其他音构成四音和弦，通常用于解决到属和弦的属音上，制造出强烈的倾向性。
而我们今天要探讨的“广义的增六和弦”，顾名思义，就是将增六度的概念进行泛化和延伸。它不再局限于传统意义上由某个特定音程组合而成的“标准”增六和弦，而是把“增六度”这个核心音程关系作为一种“构件”，然后围绕它去构建更广泛的和弦类型。这就像是在说，我们不只谈论砖块砌成的墙，也包括用其他材料，只要保留了“长而有张力”的这种特性，都可以算是“广义的墙”。
那么，“广义的增六和弦”究竟有多少种呢？这其实是一个没有固定数字答案的问题，因为它取决于我们如何定义“广义”以及允许的组合方式。但我们可以从几个维度来理解和分类：
维度一：基于传统增六和弦的变体
我们可以从最熟悉的意大利、法国、德意志增六和弦出发，看看如何“广义化”它们：
意大利增六和弦（It+6）：通常是 `降₄ 1 升₆`。例如在C大调中是 `F A 升A`。这里关键是 F 到 升A 是一个增六度。
广义化思考：如果我们允许在这个基础上加入其他音，只要保留了 F 和 升A 的增六度关系，它就可以被看作是一种广义的意大利增六和弦的变体。比如，我们在这个三音和弦的基础上再加入一个音，形成四音甚至五音和弦。
举例：在C大调中，如果我们加入一个根音 C，形成 C F A 升A。虽然和弦结构更复杂，但 F 到 升A 的增六度关系依然存在。或者我们在这个基础上再加入一个八度音，如 C F A 升A C。
再举例：如果我们在C大调中，将 F 升高一个八度，形成 F' A 升A，这也是一个增六度关系。
法国增六和弦（Fr+6）：通常是 `降₄ 1 2 升₆`。例如在C大调中是 `F A B 升A`。这里依然有 F 到 升A 的增六度。
广义化思考：同样，我们可以加入其他音，只要 F 升A 的增六度关系不变。
举例：在C大调中，F A B 升A C。这里多了个 C 音。
德意志增六和弦（Ger+6）：通常是 `降₄ 1 降₃ 升₆`。例如在C大调中是 `F A 降E 升A`。这里依然是 F 到 升A 的增六度。
广义化思考：依然是加入其他音，保持 F 升A 的增六度关系。
举例：在C大调中，F A 降E 升A D。
维度二：基于“增六度”音程本身的泛化
传统增六和弦的增六度通常是指根音到导音（或其他特定音）的上方音（升导音）形成的音程，比如 C 到 升A 就是一个增六度。但“增六度”本身就是一个音程，理论上，任何两个音之间形成增六度，都可以被看作是构建“广义增六和弦”的基础。
定义：广义增六和弦，可以被定义为任何包含一个增六度音程的四音或多音和弦。
举例：
基础增六度音程：一个非常简单的广义增六和弦，可以是两个音：`C 升A`。这本身就包含了一个增六度。如果我们在这个基础上构建和弦：
`C E 升A` (C大三和弦 + 升A)，这里 C 到 升A 是增六度。
`C G 升A` (C属五和弦 + 升A)，这里 C 到 升A 是增六度。
`C E G 升A` (C属七和弦 + 升A)，依然保持了 C 到 升A 的增六度。
非传统根音：传统的增六和弦通常是建立在降四级音上的。但广义上，我们可以让其他音成为基础。
假设我们想构建一个围绕 `D 升B` 这个增六度音程的和弦。我们可以围绕这两个音进行组合：
`D F 升B` (D大三和弦 + 升B)。D 到 升B 是增六度。
`D A 升B` (D属五和弦 + 升B)。D 到 升B 是增六度。
`D F A 升B` (D属七和弦 + 升B)。
维度三：功能与音响效果的延展
增六和弦之所以重要，很大程度上是因为它的音乐功能和独特的音响效果。广义上，任何具有强烈倾向性、能够制造出和声色彩和动态的包含增六度音程的和弦，都可以算作广义增六和弦的范畴。
解决倾向性：传统增六和弦最典型的功能是解决到属和弦的属音上，也就是它的增六度音程中的两个音各自向内或向外进行解决，最终形成八度或主音。
广义化思考：如果一个和弦，即使不是标准形态，但它内部包含了增六度，并且这种增六度能以某种方式制造出类似的功能性或音响效果，我们也可以将其视为广义增六和弦。
例子：在爵士乐或现代和声中，可能会出现更复杂的包含增六度的和弦，它们可能不严格遵循古典和声的解决方式，但依然利用了增六度的张力。例如，一个带有降九度（相当于增八度）的属和弦，也可以间接包含增六度的色彩。但这已经有点超出“增六和弦”的直接概念了，更像是“包含增六度音程的复杂和弦”。
总结一下，“广义的增六和弦”有多少种？
严格来说，没有一个固定的数字可以准确回答这个问题，因为它是一个开放性的概念。我们可以从以下几点理解它的多样性：
1. 基于传统型（意大利、法国、德意志）的音量拓展：
在三音的基础上，增加一个或多个音（比如根音、七音、九音等），只要保留了核心的增六度关系。
举例：在C大调，意大利增六和弦是 `F A 升A`。广义化后可以有：
`C F A 升A`
`F A 升A C` (同上述，但根音不同)
`F A C 升A`
`F A 升A E` (假设E是引入的音)
以及任何由这几个音自由组合成四音或更多音的和弦。
2. 基于任何一个增六度音程的构建：
只要两个音构成增六度，就可以以此为基础构建和弦。增六度音程的数量是无限的（因为音高是连续的），但我们通常关注的是在某个调性框架内，可识别的增六度。
举例：
`C 升A` (增六度) 可以衍生出 `C E 升A`，`C G 升A` 等。
`D 升B` (增六度) 可以衍生出 `D F 升B`，`D A 升B` 等。
`E 升C` (增六度) 可以衍生出 `E G 升C`，`E B 升C` 等。
以此类推，在十二个音中，任何音都可以是增六度关系中的一个音。
3. 考虑调性与声部进行：
虽然我们讨论的是和弦本身，但在实际音乐创作中，声部进行和调性环境会影响我们如何感知一个和弦。有时一个本来不是增六和弦的音响，如果通过巧妙的声部进行，能够模拟出增六和弦的色彩和倾向，也可以被看作是一种广义的“增六度色彩”。
所以，如果我们不设定严格的边界，而是基于“包含一个增六度音程”这个最核心的特征来定义，那么“广义的增六和弦”的种类是极其庞大且难以计数的，因为它涉及到所有可能的音高组合。
但如果我们要理解这个概念在音乐实践中的意义，通常是指那些保留了传统增六和弦那种特有的张力和解决倾向，并且主要由增六度音程作为关键构件的和弦。在这种理解下，我们可以说，传统的意大利、法国、德意志增六和弦是基础，而所有基于它们音的增减、扩展，以及所有其他包含增六度音程、能够产生类似和声效果的和弦，都属于“广义的增六和弦”的范畴。
可以这么理解：传统增六和弦是“增六和弦家族”里的明星成员，而广义的增六和弦则是这个家族的所有亲戚，甚至是一些远房表亲，只要他们身上还带着“增六度”这个家族基因，并且能够产生出 quelque chose (某种东西) 的时候。因此，与其纠结具体有多少种，不如理解“广义”意味着将这个概念的边界向外推得更宽泛，去发现更多由增六度这个迷人音程所带来的音乐可能性。
首先，我们要明确什么是“增六和弦”。传统意义上的增六和弦，通常指的是一个包含大三度、增六度和纯四度（或增六度到根音的跳进后形成的大三度）的四音和弦。它的核心特征是那个“增六度”的音程。这个音程在听觉上具有一种强烈的拉扯感和不稳定性，天然地倾向于解决到其他更稳定的和弦，尤其是在属功能上。最常见的比如意大利增六和弦、法国增六和弦、德意志增六和弦，它们都建立在一个低音基础之上，通过增加增六度音程以及其他音构成四音和弦，通常用于解决到属和弦的属音上，制造出强烈的倾向性。
而我们今天要探讨的“广义的增六和弦”，顾名思义，就是将增六度的概念进行泛化和延伸。它不再局限于传统意义上由某个特定音程组合而成的“标准”增六和弦，而是把“增六度”这个核心音程关系作为一种“构件”，然后围绕它去构建更广泛的和弦类型。这就像是在说，我们不只谈论砖块砌成的墙，也包括用其他材料，只要保留了“长而有张力”的这种特性，都可以算是“广义的墙”。
那么，“广义的增六和弦”究竟有多少种呢？这其实是一个没有固定数字答案的问题，因为它取决于我们如何定义“广义”以及允许的组合方式。但我们可以从几个维度来理解和分类：
维度一：基于传统增六和弦的变体
我们可以从最熟悉的意大利、法国、德意志增六和弦出发，看看如何“广义化”它们：
意大利增六和弦（It+6）：通常是 `降₄ 1 升₆`。例如在C大调中是 `F A 升A`。这里关键是 F 到 升A 是一个增六度。
广义化思考：如果我们允许在这个基础上加入其他音，只要保留了 F 和 升A 的增六度关系，它就可以被看作是一种广义的意大利增六和弦的变体。比如，我们在这个三音和弦的基础上再加入一个音，形成四音甚至五音和弦。
举例：在C大调中，如果我们加入一个根音 C，形成 C F A 升A。虽然和弦结构更复杂，但 F 到 升A 的增六度关系依然存在。或者我们在这个基础上再加入一个八度音，如 C F A 升A C。
再举例：如果我们在C大调中，将 F 升高一个八度，形成 F' A 升A，这也是一个增六度关系。
法国增六和弦（Fr+6）：通常是 `降₄ 1 2 升₆`。例如在C大调中是 `F A B 升A`。这里依然有 F 到 升A 的增六度。
广义化思考：同样，我们可以加入其他音，只要 F 升A 的增六度关系不变。
举例：在C大调中，F A B 升A C。这里多了个 C 音。
德意志增六和弦（Ger+6）：通常是 `降₄ 1 降₃ 升₆`。例如在C大调中是 `F A 降E 升A`。这里依然是 F 到 升A 的增六度。
广义化思考：依然是加入其他音，保持 F 升A 的增六度关系。
举例：在C大调中，F A 降E 升A D。
维度二：基于“增六度”音程本身的泛化
传统增六和弦的增六度通常是指根音到导音（或其他特定音）的上方音（升导音）形成的音程，比如 C 到 升A 就是一个增六度。但“增六度”本身就是一个音程，理论上，任何两个音之间形成增六度，都可以被看作是构建“广义增六和弦”的基础。
定义：广义增六和弦，可以被定义为任何包含一个增六度音程的四音或多音和弦。
举例：
基础增六度音程：一个非常简单的广义增六和弦，可以是两个音：`C 升A`。这本身就包含了一个增六度。如果我们在这个基础上构建和弦：
`C E 升A` (C大三和弦 + 升A)，这里 C 到 升A 是增六度。
`C G 升A` (C属五和弦 + 升A)，这里 C 到 升A 是增六度。
`C E G 升A` (C属七和弦 + 升A)，依然保持了 C 到 升A 的增六度。
非传统根音：传统的增六和弦通常是建立在降四级音上的。但广义上，我们可以让其他音成为基础。
假设我们想构建一个围绕 `D 升B` 这个增六度音程的和弦。我们可以围绕这两个音进行组合：
`D F 升B` (D大三和弦 + 升B)。D 到 升B 是增六度。
`D A 升B` (D属五和弦 + 升B)。D 到 升B 是增六度。
`D F A 升B` (D属七和弦 + 升B)。
维度三：功能与音响效果的延展
增六和弦之所以重要，很大程度上是因为它的音乐功能和独特的音响效果。广义上，任何具有强烈倾向性、能够制造出和声色彩和动态的包含增六度音程的和弦，都可以算作广义增六和弦的范畴。
解决倾向性：传统增六和弦最典型的功能是解决到属和弦的属音上，也就是它的增六度音程中的两个音各自向内或向外进行解决，最终形成八度或主音。
广义化思考：如果一个和弦，即使不是标准形态，但它内部包含了增六度，并且这种增六度能以某种方式制造出类似的功能性或音响效果，我们也可以将其视为广义增六和弦。
例子：在爵士乐或现代和声中，可能会出现更复杂的包含增六度的和弦，它们可能不严格遵循古典和声的解决方式，但依然利用了增六度的张力。例如，一个带有降九度（相当于增八度）的属和弦，也可以间接包含增六度的色彩。但这已经有点超出“增六和弦”的直接概念了，更像是“包含增六度音程的复杂和弦”。
总结一下，“广义的增六和弦”有多少种？
严格来说，没有一个固定的数字可以准确回答这个问题，因为它是一个开放性的概念。我们可以从以下几点理解它的多样性：
1. 基于传统型（意大利、法国、德意志）的音量拓展：
在三音的基础上，增加一个或多个音（比如根音、七音、九音等），只要保留了核心的增六度关系。
举例：在C大调，意大利增六和弦是 `F A 升A`。广义化后可以有：
`C F A 升A`
`F A 升A C` (同上述，但根音不同)
`F A C 升A`
`F A 升A E` (假设E是引入的音)
以及任何由这几个音自由组合成四音或更多音的和弦。
2. 基于任何一个增六度音程的构建：
只要两个音构成增六度，就可以以此为基础构建和弦。增六度音程的数量是无限的（因为音高是连续的），但我们通常关注的是在某个调性框架内，可识别的增六度。
举例：
`C 升A` (增六度) 可以衍生出 `C E 升A`，`C G 升A` 等。
`D 升B` (增六度) 可以衍生出 `D F 升B`，`D A 升B` 等。
`E 升C` (增六度) 可以衍生出 `E G 升C`，`E B 升C` 等。
以此类推，在十二个音中，任何音都可以是增六度关系中的一个音。
3. 考虑调性与声部进行：
虽然我们讨论的是和弦本身，但在实际音乐创作中，声部进行和调性环境会影响我们如何感知一个和弦。有时一个本来不是增六和弦的音响，如果通过巧妙的声部进行，能够模拟出增六和弦的色彩和倾向，也可以被看作是一种广义的“增六度色彩”。
所以，如果我们不设定严格的边界，而是基于“包含一个增六度音程”这个最核心的特征来定义，那么“广义的增六和弦”的种类是极其庞大且难以计数的，因为它涉及到所有可能的音高组合。
但如果我们要理解这个概念在音乐实践中的意义，通常是指那些保留了传统增六和弦那种特有的张力和解决倾向，并且主要由增六度音程作为关键构件的和弦。在这种理解下，我们可以说，传统的意大利、法国、德意志增六和弦是基础，而所有基于它们音的增减、扩展，以及所有其他包含增六度音程、能够产生类似和声效果的和弦，都属于“广义的增六和弦”的范畴。
可以这么理解：传统增六和弦是“增六和弦家族”里的明星成员，而广义的增六和弦则是这个家族的所有亲戚，甚至是一些远房表亲，只要他们身上还带着“增六度”这个家族基因，并且能够产生出 quelque chose (某种东西) 的时候。因此，与其纠结具体有多少种，不如理解“广义”意味着将这个概念的边界向外推得更宽泛，去发现更多由增六度这个迷人音程所带来的音乐可能性。
网友意见
是个好问题。实际上，数量是巨大的。
我是从文章
来的，现将此问题简略叙述如下：
一个 n 音和弦的音级集合为 ，其中 ，定义一个新的和弦音级集合 ，满足：
- ，其中 且不存在 的情况
问：满足以上条件的和弦连接 有多少？
为了方便讨论，我们做以下限制：
- 固定 （其他情况都可平移得到）
- 忽略等音的不同记法
记 、 、 分别表示当 时的和弦连接 的数量，并记 的总数为 ，即
首先，显然我们有 ， ， ，即 的音程连接有 16 个。
下面计算 ：
这就是它的递推式了！
（附： ）
然后不停地代值即可。
随便举个栗子
二音的音程连接：
在此基础上构成三音和弦连接：
然后是四音：
五音：
补充：评论区提到了两个和弦的音的数量不同的情况，这种情况对应的双映射是：
需保证 方可使用。
若两个双射相邻，它们之间的 ic 距离只能是 4，5
同理也存在：
它不需要额外的使用限制。
此时 中 n 与 m 的关系为：
具体的选择还要视情况而定，全部统计出来太难了QAQ
下面列出符合问题描述中“同时包含等音、上行导音、下行导音”的条件的“广义增六”（四音）——属七（四音）的和弦连接：
以上分为三部分（每部分结束处都有终止线），第一部分的连接都有两个共同音，第二部分是一个共同音，第三部分没有共同音。带括号的连接是转位形式，因为原位不符合条件。其他没写出来的就是不符合条件的。带中括号的数字就是所谓的“音程向位集”。
广义增六到其他和弦的情况可类推。
问题描述中的广义增六和弦进行是第31个。
经 @Raymond 大神的指导，上面的第 10 个进行不属于半音体系，故应当排除掉。
终于可以传图了，下面是广义增六（三音）——大三和小三（三音）的进行：
带星号的是由于属于自然音体系而非半音体系而排除掉的。
补充一下，在符合条件的情况下（见前面的讨论），可以用前后音数不同的连接，此时有些排除掉的和弦也可选入，比如四音连接的第一个：
实际上，列表中空缺的包含“音程向位集”形为 [1,*,*,-1] 的连接都包含一音到两音的进行，这是由属七的小七度造成的。比如第五个实际上是这样：
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