将一个正方体电阻平均分为九份，挖掉中间一块，现在的电阻是多少？
1. 理解正方体电阻的原始状态
我们先假设这是一个均匀的、各向同性的正方体电阻。这意味着：
材料均匀： 整个正方体由同一种导电材料构成，其电阻率（ρ，rho）是恒定的。
形状规则： 这是一个标准的立方体。
电阻率与尺寸有关： 对于一个均匀的导体，其电阻 $R$ 可以用以下公式表示：
$R = ho frac{L}{A}$
其中：
$R$ 是电阻。
$ ho$ 是材料的电阻率。
$L$ 是导体沿电流方向的长度。
$A$ 是导体横截面的面积。
对于一个边长为 $a$ 的正方体，如果电流沿一个轴方向通过，那么 $L = a$，$A = a^2$。所以原始正方体的电阻可以表示为：
$R_{original} = ho frac{a}{a^2} = ho frac{1}{a}$
2. “平均分为九份” 的理解
“平均分为九份” 这句话有几种可能的理解，但最符合物理分割情景的是将正方体沿着三个轴的每个轴进行等比分割，形成 3x3x3 = 27 个小立方体。
想象一下，你把正方体想象成一个大骰子。
沿着X轴，你切了两刀，将它分成三层。
沿着Y轴，你又切了两刀，将每层分成三行。
沿着Z轴，你再切了两刀，将每行分成三块。
这样一来，你就得到了 3x3x3 = 27 个完全相同的小立方体。
3. “挖掉中间一块” 的含义
“中间一块” 指的是这 27 个小立方体中，位于最中心的那个。
想象一下，你把这 27 个小立方体排列成一个大的 3x3x3 的立方体结构。中间那个小立方体是没有暴露在任何表面的，它被周围的 26 个小立方体包裹着。
4. 物理操作的困难性与理想化假设
在现实世界中，要将一个实心的正方体电阻精确地“平均分成九份”（更准确地说是27份），然后“挖掉中间一块”，这是一个非常困难甚至不可能完成的操作，特别是对于我们日常接触到的电阻而言。
切割精度： 任何切割都会引入损耗、改变接触面等，无法做到理想的精确分割。
材料连续性： 如果是实心的金属块，切割会破坏原有的材料连续性。
电阻概念： 电阻是材料对电流的阻碍能力，它取决于材料的性质和几何形状。
因此，为了解决这个问题，我们必须假设一个理想化的场景：
正方体是完全均匀的，电阻率处处相同。
分割是完全精确的，没有材料损耗。
“挖掉中间一块” 是将中心的小立方体完全移除，不影响其他小立方体的连接关系。
我们关注的是剩余部分的总电阻，并且电流的流动路径是连续的。
5. 分析剩余部分的电阻连接方式
当中间的那个小立方体被挖掉后，原来的 27 个小立方体变成了 26 个。这些剩余的小立方体之间是如何连接的呢？
让我们考虑原先 3x3x3 的大立方体。
中心小立方体是唯一的，它被 6 个小立方体直接“贴面”接触。
这 6 个小立方体是中心层的、位于边缘上的。
这些边缘上的小立方体又进一步与位于角上或面上的小立方体相连。
当挖掉中间一块后，原本连接着中心块的 6 个小立方体现在内部出现了“空洞”。它们与周围其他小立方体的连接方式没有改变。
关键在于如何理解“现在的电阻是多少？”
这里存在几种可能性，但最符合物理题意的理解是：我们仍然将电流从原来的整体的两个相对面（比如上下底面）输入和输出，只是现在中间少了一块。
如果我们假设电流仍然从原始正方体上下两个相对的表面流过，并且所有剩余的小立方体仍然以某种方式保持着它们在原先结构中的相对位置和连接（虽然中间有空隙），那么这个问题就会变得非常复杂，需要用到复杂的电磁场理论和数值计算方法。
然而，如果问题是问，将一个大正方体分割成 27 个小立方体，并假设电流只通过其中 26 个小立方体，这些小立方体是如何连接的呢？
最常见的理解是，所有 26 个小立方体都以某种方式串并联在一起，形成一个整体。 如果我们假设它们依然保持着在原始大立方体中的相对位置，并且有物理连接（例如是焊接在一起），那么问题就变成了计算这 26 个小立方体的等效电阻。
让我们回到最直接的、也是最可能被问到的情况：将一个正方体材料（比如均匀的导电材料）处理成如上所述的结构，然后测量其两端（原始的相对表面）的总电阻。
一个简化的、更合理的解释方向：
如果题目是想考察我们对电阻的串联和并联的理解，并且有一个简化模型，那么我们可以这样考虑：
假设我们现在有 26 个完全相同的小立方体。让我们忽略它们原来是如何连接的（因为挖掉中间一块，原先的连接方式会变得非常复杂，很难用简单的串并联来描述）。
如果我们假设这 26 个小立方体是以某种“串并联组合”来形成新的电阻结构，那么“现在的电阻是多少？”这个问题就没有一个单一的答案，因为它取决于这 26 个小立方体是如何重新连接的。
然而，如果问题是更加“概念性”的，比如：
1. 我们把正方体切成了 27 个小立方体。 每个小立方体的电阻可以看作是 $R_{small}$。
2. 挖掉了中间一块。 我们剩下 26 个小立方体。
3. “现在的电阻是多少？” 这个提问方式本身就存在歧义，因为它没有说明这 26 个小立方体是如何连接以构成新的整体的。
最“陷阱”的回答和最“物理”的分析：
很多人看到“平均分为九份，挖掉中间一块”会想到 3x3 的平面网格，然后挖掉中间一个。但正方体是三维的，所以应该是 3x3x3 = 27 份。
关键点：如果“挖掉中间一块”导致了连接的中断，那么电阻会发生变化。
考虑最简单的模型：
我们将一个边长为 $a$ 的正方体材料进行切割，将其分割成 27 个边长为 $a/3$ 的小立方体。
每个小立方体的原始电阻是 $R_{small} = ho frac{a/3}{(a/3)^2} = ho frac{1}{a/3} = 3 ho frac{1}{a}$。
而原始大立方体的电阻是 $R_{original} = ho frac{1}{a}$。
所以，每个小立方体的电阻是原始大立方体电阻的 3 倍。
如果我们将 27 个小立方体以串联的方式连接起来（只是一个比喻，不是物理连接）：
总电阻会是 $27 imes R_{small} = 27 imes (3 ho frac{1}{a}) = 81 ho frac{1}{a} = 81 R_{original}$。
如果我们将 27 个小立方体以并联的方式连接起来：
总电阻会是 $frac{R_{small}}{27} = frac{1}{27} imes (3 ho frac{1}{a}) = frac{1}{9} ho frac{1}{a} = frac{1}{9} R_{original}$。
回到“挖掉中间一块”这个操作本身：
这是一个破坏性的操作。
如果原来是将电流从正方体的两个相对的面上通过（例如，从上面通，从下面出）。
那么，在挖掉中间一块之后，电流路径被改变了。原本流经中心部分的电流，现在必须绕过这个空洞。
让我们考虑一个非常重要的场景：一个实心的、均匀的正方体导体。
将这个正方体沿着三个维度都切成三等份，得到 27 个小立方体。
中间那个小立方体是被 6 个小立方体从六个面（上、下、左、右、前、后）包裹着的。
当挖掉中间那块之后，这 6 个相邻的小立方体之间，原先是紧密接触的，现在它们与中间的空隙相连。
如果这些小立方体之间原本是通过“体接触”形成电流通路（即材料是连续的），那么挖掉中间一块并没有改变它们之间的连接方式，只是在内部多了一个空隙。
但是，如果在分割之后，我们是假设这些小立方体是独立放置的，然后我们通过某种方式（比如焊接）将它们连接起来，形成一个整体。
问题的核心在于“现在的电阻是多少”是问哪一个整体的电阻？
最有可能是问：将一个边长为 $a$ 的正方体导体，在结构上进行改造，形成一个“框架”结构（挖掉中心实心部分），测量其从上表面到下表面的总电阻。
更直接的数学推导（基于理想化模型）：
假设我们把正方体看作一个由许多小单元组成的网络。
如果我们把正方体从一个方向（比如Z方向）看成是 3 层厚度，每层是 3x3 = 9 个小立方体。
中间那块被挖掉，意味着我们移除了中间层的中间一块。
如果问题是问，将这个结构重新看作一个整体，并且我们仍然从原始的上下两个表面施加电压（电流），那么：
简单来说，剩余 26 个小立方体，它们以某种方式组成了一个新的导电体。
由于挖掉了中心部分，电流路径被迫绕行，理论上电阻会增加。
为什么电阻会增加？
1. 路径长度增加： 原来可以直接通过中心块的电流路径现在被阻塞，电流需要绕道。
2. 有效横截面积减小（在某些局部）： 虽然总共有 26 块材料，但电流通过的“有效”通道可能变得更窄或更长。
3. 均匀性破坏： 虽然我们假设材料本身均匀，但整体的几何结构被破坏，不再是简单的长方体。
一个可能的简化模型和答案方向：
设原始正方体边长为 $a$，材料电阻率为 $ ho$。原始电阻 $R = ho frac{a}{a^2} = ho frac{1}{a}$。
我们将正方体沿着三个轴切成三等份，得到 27 个小立方体，边长为 $a/3$。
每个小立方体的电阻为 $r = ho frac{a/3}{(a/3)^2} = ho frac{1}{a/3} = 3 ho frac{1}{a} = 3R$。
我们将这 27 个小立方体看成一个 3x3x3 的网格。
中间那个小立方体被挖掉了。
如果我们将这 26 个小立方体看作一个整体，并假设电流仍然从原始的相对两个表面（例如顶部和底部）通过，那么这个问题变成了一个复杂的节点分析问题。
一个非常简化的类比：
想象一个由细绳编织成的立方体网格，在中心挖掉一个节点。
如果你在网格的两端施加拉力，这个网格的整体“阻力”（不易形变程度）会如何变化？
然而，更常见且更“标准”的理解是，在电阻问题中，当材料被分割后再重组连接时，我们会分析其串并联关系。
最直接的解答方式可能是基于一个“有效电阻”的假设：
如果我们将 26 个小立方体视为 26 个电阻元，它们是如何串并联组合的呢？
考虑一个 3x3x3 的立方体连接模型。
如果挖掉中心块，并假设剩余的 26 个块依然保持原有的相邻连接关系，然后我们从原始的顶部和底部两个表面施加电压。
这是一个复杂的电网络问题。但如果我们要给出一个“数字答案”，我们必须简化。
一个非常常见的简化假设是：
如果我们认为，尽管中间挖了洞，但剩余的 26 个小立方体仍然以某种方式“连接成一个整体”，并且我们测量的是这个整体的“等效电阻”。
最简化的、可能被认为是“答案”的思路（但非常不严谨）：
假设我们仍然是把 26 个小立方体看作电阻单元。
如果挖掉一块，导致整个结构的“通畅性”降低，电阻必然会比原始电阻（如果材料是连续的）要大。
问题的关键在于“平均分为九份”。
如果理解为在某个平面上平均分为九份，那又是另一种情况了。
但既然是“正方体电阻”，最自然的理解是三维分割。
最可能也是最直接的回答：
无法给出一个确切的数值答案，除非明确说明这 26 个小立方体是如何重新连接以构成新的电阻整体的。
但是，从物理直觉上讲：
1. 材料的电阻率 $ ho$ 不变。
2. 电流路径的几何形状被改变了。
3. 挖掉中心一块，相当于在电流路径上制造了一个“阻碍”或“绕行”。
因此，现在的电阻会比原来的电阻更大。
如果必须给出一个与原始电阻 R 的比较：
假设原始电阻是 $R_{original}$。
将正方体平均分为 27 个小立方体，每个小立方体的电阻是 $r_{small}$。
$R_{original} = ho frac{a}{a^2}$
$r_{small} = ho frac{a/3}{(a/3)^2} = 3 ho frac{1}{a} = 3 R_{original}$。
如果我们将 27 个小立方体看作是串联排列（例如，沿一根长杆依次放置），总电阻会是 $27 imes r_{small} = 81 R_{original}$。
如果我们将 27 个小立方体看作是并联排列，总电阻会是 $frac{r_{small}}{27} = frac{3 R_{original}}{27} = frac{1}{9} R_{original}$。
回到挖掉中间一块的问题：
如果我们将剩余的 26 个小立方体看作一个整体，并且假设它们以某种方式仍然是串并联地连接，但是其中一个“节点”（中心块）被移除了。
一个最简单的模型是考虑“电阻网络”。
如果我们假设每个小立方体都有一个等效电阻，并且它们之间的连接方式是已知的。
如果问题是问“相对原始电阻值”，那么最合理的理解是：
由于电流路径被破坏，需要绕行，使得电流通过的有效“路径”变得更长或更曲折，因此电阻会增加。
最可能想考察的是“概念理解”而非精确计算：
这个问题的本质在于理解“电阻是材料的性质和几何形状共同决定的”。当几何形状被改变时，电阻也会改变。挖掉中心一块，破坏了原始的连续性和对称性，必然会改变电阻。
结论：
严格来说，在没有明确如何重新连接这 26 个小立方体的情况下，无法给出精确的数值答案。
但是，如果这是一个概念性问题，答案是：
现在的电阻会比原来更大。
原因：
挖掉中间一块使得电流路径被迫绕行，增加了电流通过的有效路径长度或复杂性，从而增大了对电流的阻碍作用。
如果非要用一个量化的大小关系来描述（基于某种不完整的简化）：
可以想象，27 个小立方体在一个 3x3x3 的结构中，它们之间的连接方式可以看作是一个复杂的电阻网络。挖掉中间一个，只是移除网络中的一个节点。对于整体电阻的影响，需要具体分析其连接方式。
一个“陷阱”的可能回答：
有人可能会错误地认为：
“一个正方体平均分成九份，挖掉中间一块。剩下八块。现在的电阻是原来的八份之几。”
这是错误的，因为正方体三维平均分应该是 3x3x3=27 份。并且即使是八块，它们如何连接也很重要。
总结：
1. 物理分割与电阻： 分割是将电阻材料分成多个部分，每个部分都有其自身的电阻。
2. 连接方式决定整体电阻： 这些部分是串联还是并联，或者更复杂的组合，决定了整体的等效电阻。
3. 挖掉中间一块的影响： 这是一个破坏性操作，它改变了电流的路径。
4. 结果： 通常情况下，这种操作会增加电阻，因为电流需要绕行。
因此，最准确的回答是：
“这个问题的答案无法确定，除非明确说明这 26 个小立方体是如何重新连接以构成新的整体电阻的。但根据物理原理，挖掉中间一块会改变电流路径，通常会导致电阻值比原来更大。”
网友意见
这是一个复杂形状的导体块的电阻问题。
稍微更新下前提：这里解的是均匀各向同性块状材料、直流电下的电阻。直流电没有趋肤效应，不均匀材料没法计算。
复杂形状导体内的电流分布不是简单的串并联关系，电流分布难以计算。
后面会给出数学推导，说明这个问题下，电势满足拉普拉斯方程。
这个问题不一定有解析解（我觉得正方体挖洞可以做无穷级数解，但是大家仍旧看不懂），但是我们可以利用数值计算，来解决这个问题。
事实上，物理学遇到的大部分问题，都是没有解析解的。我们总是可以利用数值方法，在一定的精度下解决问题。
一个著名的梗：三体相互作用，都无法严格解。严格的数学只能解两体相互作用。（最初是在1887年海因里.希布伦斯指出天体相互作用的三体问题不能严格解，后来发现三个原子，三个电子，三个。。。都不能严格解）
下面的结果来自物理学数值计算软件Comsol® Mutiphysics
我们做一个1m见方的立方体电阻，电阻率是1Ωm，于是它两个对面之间的电阻是1Ω。
下面所有图中蓝色面是负极面，红色面是正极面。我们计算的是红蓝两面之间的电阻。
首先给出能解析解的三种情况：
这个可以利用并联电路来解，很明显，电阻是9/8Ω。
其次给出不能解析解的四种情况：
可以看到，同样是挖掉1/9的导体，不同的形状给出不同的电阻大小。
有意思的一点是，最后一种情况和第一种情况是完全相同的。这是因为，八个最后一种情况恰好能拼接成长宽高都是两倍的第一种情况（考虑上表面和前表面的镜像）。根据对称性，这两者电阻一定相同。八合一情况如下图：
另外，中间挖掉的电阻，都大于上面可解析的电阻，这是为什么呢？因为电流要绕过中间的障碍（被挖的部分）导致等效传播距离更长了。
来看一下这几种情况的电流分布横截面：
上图彩色是电势分布，较为准确（是软件的直接求解量），红线是电流线，稍微有点误差（是软件根据电势分布又二次计算出来的），红线指示电流方向还是准确的，由于流线追踪的时候如果电流太小，流线就断开了，导致最左边两张图，最靠近孔洞的流线断掉了，从而不对称。这是数值误差问题。
我们看到，电流要绕过挖空的部分，造成的影响不只是空洞所在的位置，还限制了它挡住的部分。
感谢
@胡墨的提醒，这里如果不考虑电流被挡住造成的限制作用，考虑三电阻串联，应该是1/3+1/3+1/2=7/6Ω。
而由于电流挡住的限制作用，电流需要绕弯，导致等效电阻变大，电阻大于7/6Ω。
那么，什么时候挖空情况下电阻仍旧是7/6欧姆呢？我们假设电流竖着走（向着负极走）受到电阻，而横着走不受电阻影响（也就是各向异性电阻，横向电阻率为0），此时，上图的四种情况的电阻就是7/6Ω了。如下图，当横向电阻率接近0，纵向电阻率为1Ωm的时候的电场分布
此时电阻就是7/6Ω。
然后，我们看下如果挖除1/27的导体，会怎么样呢？
同样，根据对称性，第一种情况和最后一种情况，一定是一样的才对。
总之，题主问的这个电阻问题，难以解析求解，但是数值解可以给出所需精度的结果。
起床更新，方程部分。以下内容需要读者学过数学物理方法 或者类似的数学课程
这个问题的数值编程还是比较简单的，本质上是最简单的偏微分方程——拉普拉斯方程。
首先，电流满足流守恒方程
由于稳恒电流条件下，电荷积累不随时间变化，上述方程简化为：
另外，电流满足
电势满足
所以，最终
在均匀各向同性介质中，最终获得，就是拉普拉斯方程。
另外，边界条件也比较简单，电极面是固定电势输入，所以是第一类边界条件。
电绝缘面，电流一定平行于表面，所以电场平行于表面，也就是电势的梯度在表面的垂直分量为0,即第二类边界条件
方程和边条都确定，就可以解啦。解出电势分布，就可以再求电场分布，电流分布。通过电流面积分，即可知道总电流，从而得到总电阻。
拉普拉斯方程的数值解法还是很多的，最简单的就是有限差分方法，我写过一个二维的程序还挺好用。但是三维的程序消耗内存太大，还是商业软件优化得多，靠谱一些。
类似的话题
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有