为什么极限理论是基于实数的完备性？
极限理论是基于实数的完备性，这个说法非常核心且重要。为了详细地解释这一点，我们需要深入理解什么是实数的完备性，以及它与极限概念的紧密联系。
一、什么是实数的完备性？
实数的完备性是指实数集合 $mathbb{R}$ 的一个非常重要的性质，它使得实数集合在数轴上没有“空隙”。有几种等价的定义方式，其中最常见和最直观的是：
1. 戴德金分割（Dedekind Cut）的完备性：
概念： 戴德金分割将实数集合 $mathbb{R}$ 分割成两个非空子集 $A$ 和 $B$，使得满足以下条件：
$A cup B = mathbb{R}$
$A cap B = emptyset$
对于任意 $a in A$ 和 $b in B$，都有 $a < b$。
完备性陈述： 任何一个满足上述条件的戴德金分割，其中集合 $A$ 必定存在最大值（即存在一个 $a_0 in A$ 使得对于所有 $a in A$，都有 $a le a_0$），或者集合 $B$ 必定存在最小值（即存在一个 $b_0 in B$ 使得对于所有 $b in B$，都有 $b ge b_0$）。
直观解释： 想象一下在数轴上画一条线。这条线要么正好经过一个点（这个点就是分割点），要么这个点是属于左边的集合（A）的最后一个点，要么是属于右边的集合（B）的第一个点。换句话说，数轴上没有“断裂”或“遗漏”的点。
2. 单调有界数列的收敛性（上确界原理/最小上界原理）：
概念：
上界（Upper Bound）： 对于一个实数集合 $S$，如果存在一个实数 $M$，使得对于所有 $s in S$，都有 $s le M$，那么 $M$ 就是集合 $S$ 的一个上界。
上确界（Supremum / Least Upper Bound, LUB）： 如果集合 $S$ 存在上界，并且在所有上界中，存在一个最小的那个，那么这个最小的上界就是集合 $S$ 的上确界。记作 $sup(S)$。
下界（Lower Bound）： 对于一个实数集合 $S$，如果存在一个实数 $m$，使得对于所有 $s in S$，都有 $s ge m$，那么 $m$ 就是集合 $S$ 的一个下界。
下确界（Infimum / Greatest Lower Bound, GLB）： 如果集合 $S$ 存在下界，并且在所有下界中，存在一个最大的那个，那么这个最大的下界就是集合 $S$ 的下确界。记作 $inf(S)$。
完备性陈述（上确界原理）： 任何一个非空且有上界的实数集合，都存在其上确界。
等价陈述： 任何一个非空且有下界的实数集合，都存在其下确界。
直观解释： 如果你有一堆数字，它们都被某个数“挡住”，不会无限大下去，那么这堆数字一定有一个最接近的“顶”，这个“顶”就是上确界。同样，它们也一定有一个最接近的“底”。
为什么上确界原理如此重要？
它区分了实数和有理数： 有理数集合 $mathbb{Q}$ 是不完备的。例如，考虑集合 $S = {q in mathbb{Q} mid q^2 < 2}$。这个集合有上界（例如 2），但是它在有理数范围内没有上确界。任何一个有理数 $q$ 如果 $q^2 > 2$，它就不是上界。而任何一个有理数 $p$ 如果 $p^2 < 2$，那么总能找到一个更大的有理数 $p'$ 使得 $p'^2 < 2$（例如通过逼近 $sqrt{2}$）。所以，$sqrt{2}$ 这个数在有理数集合里找不到，它是一个“洞”。而实数系统恰好填补了这些“洞”。
二、极限理论为何基于实数的完备性？
极限是微积分和分析学的基石，它描述了函数或数列“趋向于”某个值的行为。具体来说，我们关注的是：
数列的极限： ${a_n}$，当 $n o infty$ 时，我们想知道它是否趋向于一个固定的值 $L$。
函数的极限： $lim_{x o c} f(x) = L$，当 $x$ 趋向于 $c$ 时，$f(x)$ 的值是否趋向于 $L$。
实数的完备性保证了这些极限的存在性，或者说，它提供了定义和证明极限存在的必要工具。我们来看几个关键点：
1. 收敛性与有界性（特别是单调有界）：
定理： 任何一个单调有界数列在实数域上必定收敛。
解释： 如果一个数列 ${a_n}$ 是单调递增且有上界的，那么根据上确界原理，它的值域 ${a_n mid n in mathbb{N}}$ 必定存在一个上确界，我们记为 $L = sup{a_n}$。这个 $L$ 就是数列的极限。
为什么？因为 $L$ 是上确界，所以对于任意 $epsilon > 0$，存在一个 $N$ 使得 $a_N > L epsilon$。由于数列是单调递增的，对于所有 $n > N$，都有 $a_n ge a_N > L epsilon$。同时，因为 $L$ 是上确界，对于所有 $n$，都有 $a_n le L$。因此，$L epsilon < a_n le L$。这正是数列收敛于 $L$ 的定义（使用 $epsilonN$ 定义）。
重要性： 如果实数域不完备（例如只有有理数），那么一个单调有界但有“洞”的数列，例如在有理数域中逼近 $sqrt{2}$ 的数列，就无法保证收敛到一个有理数。完备性确保了我们总能找到那个“洞”被填满的极限值。
2. $epsilonN$ 或 $epsilondelta$ 定义的本质：
定义回顾（数列）： 数列 ${a_n}$ 收敛于 $L$ 意味着：对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时， $|a_n L| < epsilon$。
解释： 这个定义本身就隐含了实数的完备性。它要求我们能够“任意地”缩小一个以 $L$ 为中心的开区间 $(Lepsilon, L+epsilon)$，并且保证数列的项最终都会落在这个区间内。
“任意地缩小”意味着我们可以选择任意小的 $epsilon$，这需要实数能够被无限细分。
“存在一个 $N$” 意味着我们只需要找到“足够大”的 $n$ 就行。这通常涉及到对“足够大”的理解，而这个“足够大”的概念往往是通过某种序列的增长或者集合的界来确定的。
完备性如何体现： 完备性保证了这种“收缩区间”的概念是有意义的，并且总能找到一个满足条件的 $N$。当我们将区间 $(Lepsilon, L+epsilon)$ 不断缩小，数列的项总会“被压缩”到 $L$ 的附近。如果存在“洞”，我们可能无法确定这个压缩的最终目标是什么，或者这个压缩过程本身就没有明确的终点。
3. 极限的唯一性：
定理： 如果一个数列或函数有极限，那么这个极限是唯一的。
证明思路： 通常使用反证法，假设存在两个不同的极限 $L_1$ 和 $L_2$。然后选取一个合适的 $epsilon$，例如 $epsilon = |L_1 L_2| / 3$。根据极限的定义，存在 $N_1$ 和 $N_2$，使得当 $n > N_1$ 时 $|a_n L_1| < epsilon$，当 $n > N_2$ 时 $|a_n L_2| < epsilon$。然后利用三角不等式 $|L_1 L_2| = |L_1 a_n + a_n L_2| le |L_1 a_n| + |a_n L_2| < epsilon + epsilon = 2epsilon$。将 $epsilon = |L_1 L_2| / 3$ 代入，得到 $|L_1 L_2| < 2|L_1 L_2| / 3$，这是一个矛盾。
完备性的作用： 这种证明依赖于实数可以进行精确的比较和算术运算，并且可以找到任意小的正数 $epsilon$。完备性保证了实数域的“密度”和“连续性”，使得我们能够进行这种精细的分析。
4. 柯西序列（Cauchy Sequence）：
定义： 一个数列 ${a_n}$ 是柯西序列，如果对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $m > N$ 且 $n > N$ 时， $|a_m a_n| < epsilon$。
完备性的另一种表述： 实数域是完备的当且仅当它的每一个柯西序列都收敛于实数域中的一个点。
解释： 柯西序列描述了一个数列的项越来越靠近彼此，没有趋向“散开”的趋势。如果实数域是完备的，那么只要数列的项最终足够靠近，它就必然会收敛到某个实数。
重要性： 这是一个非常强大的工具。它表明，我们不需要事先知道极限是什么，只要能证明一个数列的项最终会靠得很近，就能断定它收敛。例如，在构造实数时，常常使用柯西序列来定义实数。如果从有理数出发，并非所有的柯西序列（在有理数意义下）都有极限（在有理数域内），例如逼近 $sqrt{2}$ 的数列。完备性保证了这种“内在的接近”就足以导出“外在的收敛”。
总结：
极限理论的核心在于描述“趋近”和“逼近”。实数的完备性提供了以下保障：
存在性： 保证了诸如单调有界数列的收敛性，以及通过 $epsilondelta$ 定义的极限一定存在于实数域中，没有“遗漏”的极限点。
精确性： 允许我们通过任意小的 $epsilon$ 来定义“接近”，这依赖于实数域的连续性和无“洞”的特性。
构造性/可靠性： 柯西序列的完备性说明，只要一个序列在内部表现出收敛的迹象（项之间越来越近），它就一定会收敛到一个实数。
如果没有实数的完备性，我们可能无法建立起严格的微积分体系。例如，我们无法严格证明导数的定义、积分的计算，以及许多重要的分析定理，因为这些都依赖于对极限的精确理解和保证。实数的完备性是现代数学分析大厦的坚实地基。
一、什么是实数的完备性？
实数的完备性是指实数集合 $mathbb{R}$ 的一个非常重要的性质，它使得实数集合在数轴上没有“空隙”。有几种等价的定义方式，其中最常见和最直观的是：
1. 戴德金分割（Dedekind Cut）的完备性：
概念： 戴德金分割将实数集合 $mathbb{R}$ 分割成两个非空子集 $A$ 和 $B$，使得满足以下条件：
$A cup B = mathbb{R}$
$A cap B = emptyset$
对于任意 $a in A$ 和 $b in B$，都有 $a < b$。
完备性陈述： 任何一个满足上述条件的戴德金分割，其中集合 $A$ 必定存在最大值（即存在一个 $a_0 in A$ 使得对于所有 $a in A$，都有 $a le a_0$），或者集合 $B$ 必定存在最小值（即存在一个 $b_0 in B$ 使得对于所有 $b in B$，都有 $b ge b_0$）。
直观解释： 想象一下在数轴上画一条线。这条线要么正好经过一个点（这个点就是分割点），要么这个点是属于左边的集合（A）的最后一个点，要么是属于右边的集合（B）的第一个点。换句话说，数轴上没有“断裂”或“遗漏”的点。
2. 单调有界数列的收敛性（上确界原理/最小上界原理）：
概念：
上界（Upper Bound）： 对于一个实数集合 $S$，如果存在一个实数 $M$，使得对于所有 $s in S$，都有 $s le M$，那么 $M$ 就是集合 $S$ 的一个上界。
上确界（Supremum / Least Upper Bound, LUB）： 如果集合 $S$ 存在上界，并且在所有上界中，存在一个最小的那个，那么这个最小的上界就是集合 $S$ 的上确界。记作 $sup(S)$。
下界（Lower Bound）： 对于一个实数集合 $S$，如果存在一个实数 $m$，使得对于所有 $s in S$，都有 $s ge m$，那么 $m$ 就是集合 $S$ 的一个下界。
下确界（Infimum / Greatest Lower Bound, GLB）： 如果集合 $S$ 存在下界，并且在所有下界中，存在一个最大的那个，那么这个最大的下界就是集合 $S$ 的下确界。记作 $inf(S)$。
完备性陈述（上确界原理）： 任何一个非空且有上界的实数集合，都存在其上确界。
等价陈述： 任何一个非空且有下界的实数集合，都存在其下确界。
直观解释： 如果你有一堆数字，它们都被某个数“挡住”，不会无限大下去，那么这堆数字一定有一个最接近的“顶”，这个“顶”就是上确界。同样，它们也一定有一个最接近的“底”。
为什么上确界原理如此重要？
它区分了实数和有理数： 有理数集合 $mathbb{Q}$ 是不完备的。例如，考虑集合 $S = {q in mathbb{Q} mid q^2 < 2}$。这个集合有上界（例如 2），但是它在有理数范围内没有上确界。任何一个有理数 $q$ 如果 $q^2 > 2$，它就不是上界。而任何一个有理数 $p$ 如果 $p^2 < 2$，那么总能找到一个更大的有理数 $p'$ 使得 $p'^2 < 2$（例如通过逼近 $sqrt{2}$）。所以，$sqrt{2}$ 这个数在有理数集合里找不到，它是一个“洞”。而实数系统恰好填补了这些“洞”。
二、极限理论为何基于实数的完备性？
极限是微积分和分析学的基石，它描述了函数或数列“趋向于”某个值的行为。具体来说，我们关注的是：
数列的极限： ${a_n}$，当 $n o infty$ 时，我们想知道它是否趋向于一个固定的值 $L$。
函数的极限： $lim_{x o c} f(x) = L$，当 $x$ 趋向于 $c$ 时，$f(x)$ 的值是否趋向于 $L$。
实数的完备性保证了这些极限的存在性，或者说，它提供了定义和证明极限存在的必要工具。我们来看几个关键点：
1. 收敛性与有界性（特别是单调有界）：
定理： 任何一个单调有界数列在实数域上必定收敛。
解释： 如果一个数列 ${a_n}$ 是单调递增且有上界的，那么根据上确界原理，它的值域 ${a_n mid n in mathbb{N}}$ 必定存在一个上确界，我们记为 $L = sup{a_n}$。这个 $L$ 就是数列的极限。
为什么？因为 $L$ 是上确界，所以对于任意 $epsilon > 0$，存在一个 $N$ 使得 $a_N > L epsilon$。由于数列是单调递增的，对于所有 $n > N$，都有 $a_n ge a_N > L epsilon$。同时，因为 $L$ 是上确界，对于所有 $n$，都有 $a_n le L$。因此，$L epsilon < a_n le L$。这正是数列收敛于 $L$ 的定义（使用 $epsilonN$ 定义）。
重要性： 如果实数域不完备（例如只有有理数），那么一个单调有界但有“洞”的数列，例如在有理数域中逼近 $sqrt{2}$ 的数列，就无法保证收敛到一个有理数。完备性确保了我们总能找到那个“洞”被填满的极限值。
2. $epsilonN$ 或 $epsilondelta$ 定义的本质：
定义回顾（数列）： 数列 ${a_n}$ 收敛于 $L$ 意味着：对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时， $|a_n L| < epsilon$。
解释： 这个定义本身就隐含了实数的完备性。它要求我们能够“任意地”缩小一个以 $L$ 为中心的开区间 $(Lepsilon, L+epsilon)$，并且保证数列的项最终都会落在这个区间内。
“任意地缩小”意味着我们可以选择任意小的 $epsilon$，这需要实数能够被无限细分。
“存在一个 $N$” 意味着我们只需要找到“足够大”的 $n$ 就行。这通常涉及到对“足够大”的理解，而这个“足够大”的概念往往是通过某种序列的增长或者集合的界来确定的。
完备性如何体现： 完备性保证了这种“收缩区间”的概念是有意义的，并且总能找到一个满足条件的 $N$。当我们将区间 $(Lepsilon, L+epsilon)$ 不断缩小，数列的项总会“被压缩”到 $L$ 的附近。如果存在“洞”，我们可能无法确定这个压缩的最终目标是什么，或者这个压缩过程本身就没有明确的终点。
3. 极限的唯一性：
定理： 如果一个数列或函数有极限，那么这个极限是唯一的。
证明思路： 通常使用反证法，假设存在两个不同的极限 $L_1$ 和 $L_2$。然后选取一个合适的 $epsilon$，例如 $epsilon = |L_1 L_2| / 3$。根据极限的定义，存在 $N_1$ 和 $N_2$，使得当 $n > N_1$ 时 $|a_n L_1| < epsilon$，当 $n > N_2$ 时 $|a_n L_2| < epsilon$。然后利用三角不等式 $|L_1 L_2| = |L_1 a_n + a_n L_2| le |L_1 a_n| + |a_n L_2| < epsilon + epsilon = 2epsilon$。将 $epsilon = |L_1 L_2| / 3$ 代入，得到 $|L_1 L_2| < 2|L_1 L_2| / 3$，这是一个矛盾。
完备性的作用： 这种证明依赖于实数可以进行精确的比较和算术运算，并且可以找到任意小的正数 $epsilon$。完备性保证了实数域的“密度”和“连续性”，使得我们能够进行这种精细的分析。
4. 柯西序列（Cauchy Sequence）：
定义： 一个数列 ${a_n}$ 是柯西序列，如果对于任意给定的 $epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $m > N$ 且 $n > N$ 时， $|a_m a_n| < epsilon$。
完备性的另一种表述： 实数域是完备的当且仅当它的每一个柯西序列都收敛于实数域中的一个点。
解释： 柯西序列描述了一个数列的项越来越靠近彼此，没有趋向“散开”的趋势。如果实数域是完备的，那么只要数列的项最终足够靠近，它就必然会收敛到某个实数。
重要性： 这是一个非常强大的工具。它表明，我们不需要事先知道极限是什么，只要能证明一个数列的项最终会靠得很近，就能断定它收敛。例如，在构造实数时，常常使用柯西序列来定义实数。如果从有理数出发，并非所有的柯西序列（在有理数意义下）都有极限（在有理数域内），例如逼近 $sqrt{2}$ 的数列。完备性保证了这种“内在的接近”就足以导出“外在的收敛”。
总结：
极限理论的核心在于描述“趋近”和“逼近”。实数的完备性提供了以下保障：
存在性： 保证了诸如单调有界数列的收敛性，以及通过 $epsilondelta$ 定义的极限一定存在于实数域中，没有“遗漏”的极限点。
精确性： 允许我们通过任意小的 $epsilon$ 来定义“接近”，这依赖于实数域的连续性和无“洞”的特性。
构造性/可靠性： 柯西序列的完备性说明，只要一个序列在内部表现出收敛的迹象（项之间越来越近），它就一定会收敛到一个实数。
如果没有实数的完备性，我们可能无法建立起严格的微积分体系。例如，我们无法严格证明导数的定义、积分的计算，以及许多重要的分析定理，因为这些都依赖于对极限的精确理解和保证。实数的完备性是现代数学分析大厦的坚实地基。
网友意见
谢邀。
极限理论成立的前提至少要回答三个问题：
- 在何种环境（数域）中探讨极限？
- 极限存在吗？
- 极限具有可操作性吗？
实数域
事实上不是所有数域上都能讨论极限，就比如在有理数域 上，以下数列没有极限
小明这时候会立即说，那就在实数域上讨论极限啊，谁跟你在有理数域上墨迹了？
于是我们接着问：何为实数？
小明：…
小明仔细回想初中课本（初一数学第一章讲的内容就是实数）：实数分为有理数与无理数；实数能与数轴上的每一点一一对应……
小明讲得很好，他的第一个观点偏于实数的代数观点，第二个是纯几何观点，其实最后还差一个分析观点。代数观点概念清晰，可是有理数与无理数明明是你中有我我中有你（稠密），但却被无情地拆散，对于实数的看法不具有统一性；几何的观点非常形象，只是对于人眼不能察觉的精微之处力所不及。好理解，但说不清。
各有所长。
实数的分析观点有很多，最基本的是戴德金定理[1]。形象地来说，戴德金发现，如果没有无理数，那么数轴上将会有很多“空隙”；如果用无理数填补上，那么会得到一根完美的直线，它稠密且连续不断。这一填补的过程就叫做实数的完备化。
极限存在性
能够看得出，实数的完备性保证了数列极限不会跑到数轴的“空隙”中去。利用戴德金定理，可以证明确界原理、阿基米德公理成立，学过数学分析的人都知道，紧接着就可以推出其他五条实数公理了。其中尤其是柯西收敛准则，提供了数列收敛判别非常实用的方法。并且极限的定义也可以很自然地过渡而来（利用三角不等式）。事实上，收敛的数列我们干脆称之为柯西列，利用柯西列的概念，也可以给出实数的另外一种观点[2]：将等价的柯西列的极限视为实数，所谓等价，就是数列的极限相同。
极限的可操作性
我这里所谓的“可操作性”含义是模糊的：一方面我是指极限的定义是否具有可操作性，并非过分抽象或是感性的；另一方面，我是指极限的运算是否具有可操作性，这一点是显然的，因为，我们对待极限，和对待一个实数的态度几乎没有分别，正如前文关于柯西列的讨论。
总结
我的讨论可能不够全面亦细节全无，但是极限立足于实数公理的过程相信有目共睹，这个简短的回答算是力所能及。
参考
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